幽灵盛典-好段摘抄大全200字

数列中裂项相消的常见策略
化娟
（
甘肃省临泽一中 734000
）
裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2 项差的形式.近
几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括 总结，以
供参考.
1 利用分式的通分进行裂项
通分在小学和初中阶段都是常 见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.
例如可以利用
1111
()
进行裂项.
n(nk)knnk
111



＿
12123123n
例1 求和1+
分析 因为
121

1
2



， 123nn(n2)nn1

1111111

2n< br>





22334nn1

n1
所以 原式=2

1
例2


已知等差数列

a
n

满足： a
3
=7,a
5
+a
7
=26,

a
n

的前n项和为S
n

（1） 求a
4
及S
n

（2） 令b
n

1
(nN)
,求数列

b
n

的前n项和为 T
n
.
2
a
n
1
分析 （1）略.
2
(2)由
a
n
2n1
，得
a
n
 14n(n1)
,
从而
b
n

1111
(),

4n(n1)4n n1
11111111
n
(1

)
=
(1
)
=.
4223nn14n1
n(n1)
因此
T
n
b
1
b
2
b
n
=
2 利用根式的分母有理化进行裂项
分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为 差的形式进行裂项.例如可以利用分式
1
nnk

1
(nk n)
等.
k
例3 已知数列

a
n

满 足
a
n

1
(n1)nnn1
，求
S
n
.

分析 由
a
n

(n1)nnn1
11
=.
< br>22
nn1
(n1)nnn1
(n1)nn(n1)
1
=
得
S
n
=
(1
111
111
.
)()

()1
223
nn1n1
3 利用配凑法进行裂项
把数列通过加一个数再减一个数或者乘一个数再除一个数，凑成差的形式进行裂项.
例如a
n
(a
n
a
n1
)(a
n1a
n2
)

(a
2
a
1
) a
1
等形式.
例4 已知数列且
a
2
6
，设< br>b
n
a
n
n
，求

b
n

a
n
满足条件
(n1)a
n1
(n1)(a< br>n
1)
，
的通项公式.
分析 将
a
n
b
n
n
代入
(n1)a
n1
(n1)(an
1)
，得

(n1)b
n1
(n1)b
n
2(n1)
，
从而
b
n1
b
n
2
(n2)
.
n( n1)(n1)nn(n1)
令
c
n

b
b
211
(n2),
则
c
n1
c
n
2( )
.
(n1)nn(n1)nn1
从而
c
n

(
c
n
c
n1
)

(
c< br>n1
c
n2
)


(c
3
c
2
)c
2
=
1b2
11111

1
)+
2
=
2
，


1) c
2
=2(
n12n1
n1n2n2n32
2
2)n(n1)2n
2
. 于是
b
n
c
n
n(n1)(
n1
2
(
4 利用两角差的正切公式进行裂项
把两角差的正切公式进行恒等变形，例如
tan(



)
tan

tan

可以 < br>1tan

tan

变形为
tan

ta n


tan

tan

1
或者其他 形式，从而解决问题.
tan(



)
例5 在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数
的乘积记作
T
n
，
n1.

（1） 求数列

a
n

的通项公式；
（2） 设
bn
tana
n
tana
n1
，求数列

b
n

的前n项和
S
n
.
分析 （1）
a
n
lgT
n
n2(n1).

（2）由题意和第（1）小题的计算结果，知
b
n
tan(n2)tan(n3)(n1)

另一方面 ，利用
tan1tan


k1

k

tan(k1)tank
，得
1tan(k1)tank
tan(k1)tank
n
tan(k1)tank
1,
tan1
n2
于是
S
n


tan(k1 )tank

tan(n3)tan3
btan(k1)tank1

n


i

tan1tan1

i1i3i3

M
logMlogN
，有些试题则可以 构造这种形式进行裂项.
N
n2
5 利用对数的运算性质进行裂项
对数运算有性质
log
a
例6 各项都是正数的等比数列

a
n

满足
a
n
1(nN)
，当
n 2
时，证明：
111n1
.



lg a
1
lga
2
lga
2
lga
3
lga< br>n1
lga
n
lga
1
lga
n
分析
设等比数列

a
n

的公比为q（q
0），由
a
n
q
，得
lga
n
lga
n1
lgq
，
a
n1
从而，
1
lga< br>n1
lga
n

111
()
，
lgqlga
n1
lga
n
因此， 左边=
1

111111

()()

()




lgq

lga
1
lga
2
lga
2
lga
3
lga
n1
lga
n

1111
lga
n
lga
1
1
(n1)lg q
n1
()
右式.
lgqlga
1
lg a
2
lgqlga
n
lga
1
lga
n
l ga
n
lga
1
lga
n
lga
1
6 利用排列数或组合数的性质进行裂项
mmm1
排列数有性质
nn!(n1) !n!
，组合数有这样的性质
C
n
，都可以作为裂项
C
n1
C
n
的依据.
!22!nn!_____
例7 求和：
11
分析 直接利用
nn!(n1)!n!
可得结果是
(n1)!1
. < br>例8求和：
S
n

12n



.
2!3!(n1)!

分析 有
nn11111
，得
S
n
1
.

(n1)!(n1)!n!(n1)!(n1)!
222
例9求和：
S
n
C
2
.
C
3
C
n
2332333
分析 利用组合数性质， 有
C
k
，从而
C
k
CSCCCC
1 kn2n13n1
.