开鲁二中-英语作文模板

一、解答题
1．已知等差数列




的前 项和为

，且

，

．
（Ⅰ）求数列




的通项公式；
（Ⅱ）若数列




满足





，

，求数列




的前 项和

．
【详解】
（Ⅰ）

，∴




，∴


则

，


.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

















,













-









（



（

）

（ ）


=




=


∴




2．已知数列

的前n项和为

，且

，



，


求数列

的通项公式；
设



，求数列

的前n项和

．
【答案】（1）



（2）


【详解】




，

，



，
即



，



，
两式相减，得





，即



，
又

，



，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以



；
设



，则



，










，












，
两式相减，得：

































．
【点睛】
本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位 相减法，利用错位相减法是解决
本题的关键，属于中档题．







试卷第1页，总7页

3．已知等差数列

的前 项和为

，满足











.数列

的前 项和为


，满足





.
（1）求数列

和

的通项公式；
（2）求数列





的前 项和

.
【答案】（1）
,









；（2）





.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得



，然后求得公差，即可求出数列

的通项，再利用












求得

的通项公式；
（2）先求出





的通项，然后利用数列求和中错位相减求和

.
【详解】
解：（1）由









，得











，解得

.
由















，解得

或

.
若
，所以

.所以









，则

，故

不合题意，
舍去.
所以等差数列

的公差



，
故

.
数列

对任意正整数 ，满足



.
当 时，





，解得

；
当 时，













，
所以






.
所以

是以首项

，公比


的等比数列，
故数列

的通项公式为







.
（2）由（1）知









，
所以


















，①
所以



















，②
①-②，得



























































试卷第2页，总7页

，
所以





.





4．已知数列

的首项

，且满足






求证：数列

为等差数列，并求数列

的通项公式；

记






，求数列

的前项和为

．

【答案】（1）证明见解析，



（2）




【解析】
【分析】
由







，得







，由此可判断
为等差数列，可求
，进而得到

;





求出

，利用错位相减法可求

．
【详解】
由




，得






，


又




，
为等差数列，首项为1，公差为2，




，






．






，












，










，
得，






























，




．
【点睛】
5．已知等差数列

的前 项的和为

，

，

.
（1）求数列

的通项公式；
（2）设






，记数列

的前 项和

，求使得

恒成立时 的最小正整数.
【分析】
（1）先设设等差数列

的公差为 ，由

，

列出方程组求出首项和公差
即可；
（2）由(1)先求出

，再由裂项相消法求数列的前 项和即可.
【详解】
试卷第3页，总7页

解：（1）设等差数列

的公差为 ，因为

，

，
所以









解得




所以数列

的通项公式为

.
（2）由（1）可知

















∴






































,
∴



，∴


，∴ 的最小正整数为1
6．已知




是首项为 的等比数列，各项均为正数，且



.
（1）求数列




的通项公式；
（2）设






，求数列





的前 项和

.
【分析】
（1）由



得q方程求解即可；（2）




变形为








裂项求和即可.
【详解】
（1）设




的公比为 ，
由



得

，
解得 ，或 ，
因




各项都为正数，所以 ，所以 ，所以



，














































7．已知数列

为等差数列，



，且

，

，

依次成等比数列.
（1）求数列

的通项公式；
（2）设




，数列




的前 项和为

，若




，求 的值.
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方 程
可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得bn


（










），运用裂项相消求和可得Sn，解
方程可得n．
【详解】
（1）设数列

的公差为 ，因为



，
所以 ，解得 .
试卷第4页，总7页

因为

，

，

依次成等比数列，所以






，
即







，解得

.
所以

.
（2）由（1）知


所以














，





，

所以

















，
由





，得 .
8．设正项数列

的前 项和

，且



是

与

的等比中项，其中

.
（Ⅰ）求数列

的通项公式；
（Ⅱ）设




【分析】
（Ⅰ）由



是

与

的等比中项列方程整理，可得出：数列




是首项为1，公
差为1的等差数列，问题得解。
（Ⅱ）整理





















，代入

的表示式子即可求解。
【详解】
解：（Ⅰ）∵



是

与

的等比中项，
∴













，
等 时，






，∴

.

当 时，














，
整理得












.
又

，∴







，
即数列




是首项为1，公差为1的等差数列.
∴











.
（Ⅱ）





















，
∴








































.
【点睛】
本题主要考查了

法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于
基础题。
9．已知等差数列

是递增数列，且



，



．
求数列

的通项公式；
若














，记数列

的前 项和为

，求证：

.





，求数列

的前 项和

．

【答案】（1）

；（2）


【解析】
【分析】
试卷第5页，总7页

根据等差数列




中，



，



，列出关于首项

、公差 的方程组，
解方程组可得

与 的值，从而可得数列




的通项公式；（2）由（1）可得
















，利用裂项相消法求和即可得结果.
【详解】



设首项为

，公差为d的等差数列




是递增数列，且



，



．
则：













，解得：

或9，

或1，由于数列为递增数列，
则：

，

．故： ，则：





．



由于

，则：




















．
所以：




























．
【点睛】
本题主要考查的知识要点为等差数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和
中的应用，属于中 档题型．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难
找到裂项的方向，突破这一难点的方 法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)












；（2）









； （3）














；（4）



















；需注意裂项之后相消的过程
中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
10．等差数列




的公差为正数，

，其前 项和为

；数列




为等比数列，

，
且







．
(I)求数列




与




的通项公式；
(II)设






，求数列




的前 项和

．

【答案】(Ⅰ)

，



；(Ⅱ)






.
【解析】
【分析】 （Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，数列{bn}为等比数列，设公比为q，运用等差数列
和 等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得cn＝b n


2n


2n+2（

），数列的分组求和和裂项相消求和，

化简整理即可得到所求和．
【详解】
解：(Ⅰ)设等差数列




的公差为d，等比数列




的公比为q，则










解得




∴

，



.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知







.
∴






















，
试卷第6页，总7页

∴

















.














【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和 裂
项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
11．已知数列




满足

，



，数列




满足

，且






是公差为
2的等差数列．
（Ⅰ）求




和




的通项公式；
（Ⅱ）求




的前n项和

．
【答案】（Ⅰ）



，



（Ⅱ）







【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和法求{bn}的前n项和Sn即可．
【详解】
解：（Ⅰ）由

，



，




是首项为 ，公比为 的等比数列.所以



．
因为



，所以






是首项为 ，公差为 的等差数列．
可得



．所以



．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，



．
数列




的前 项和为








































.
【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查分组求和法，是基本知识的考查．

试卷第7页，总7页