毒品图片-夏花

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）

一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
分段求和法（合并法求和）
利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减
法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定
的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)< br>na
1
d

22
(q1)

n a
1

n
2、等比数列求和公式：
S
n


a
1
(1q)
a
1
a
n
q

(q1)

1q

1q
n
11
2
3、
S
n


kn(n1)
4、
S
n


kn(n1)(2n1)

26
k1k1
n
5、
S
n

1
3
k[n(n1)]
2
< br>
2
k1
1
23n
，求
xxxx 
的前n项和.
log
2
3
n
[
例
1] 已知
log3
x

解：由
log
3
x
11log
3
xlog
3
2x

log
2
32
23n
由等比数列求和公式得
S
n
xxxx

（利用常用公式）

1
n
＝
x(1x)
2
(1
1
2
n
)
1x
＝＝1－
1

1
1
2
n
2

[
例
2] 设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
,求
f(n)
S
n
(n32)S
的最大值.
n1
解：由等差数列求和公式得
S
1
n

2
n(n1)
，
S
1
n

2
(n1)(n2)

∴
f(n)
S
n
(n32)S
＝
n
2

n1
n34n64
＝
1
1
1
n34
64
＝
8

2
50

n
(n
n
)50
∴ 当
n8
8
，即n＝8时，
f(n)
1
max

50


（利用常用公式）

题1.等比数列的前ｎ项和S
ｎ
＝2
ｎ
－１，则
＝
题2．若1
2
+2
2
+…+(
n
-1)
2
=
an
3
+
bn
2
+
cn
，则
a
= ,
b
= ,
c
=
.

解： 原式=

答案：


二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要 用于求数列{a
n
· b
n
}的前n
项和，其中{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.
23n1
[
例
3] 求和：
S
n
13x5 x7x(2n1)x
………………………①
解：由题可知，{
(2n 1)x
n1
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{
x
n 1
}的通项之积
234n
设
xS
n
1x3x5x 7x(2n1)x
………………………. ②
（设制错位）

234n1n
①－②得
(1x)S
n
12x2x2x 2x2x(2n1)x

（错位相减
）
1x
n1
(2n1)x
n
再利用等比数列的求和公式得：
(1x)S
n
12x
1x

(2n1)x
n1
(2n1)x
n
(1x)
∴
S
n


(1x)
2
[
例
4] 求数列
2462n
,2
,
3
,,
n
,
前n项的和.
2
222
2n1
解：由题可知，{
n
}的通项是等差数列{2n}的 通项与等比数列{
n
}的通项之积
2
2
2462n
设S
n

…………………………………①
练习题1 答案：
2
2
2
2
3
2
n
1
2
S
246
222

2n
n

2
3

4

2
n1
…………………………… …②
（设制错位）

①－②得
(1
1< br>2
)S
222222n
n

2

2
2

2
3

2
4

2
n

2
n1

（错位相减
）

2
12n
2
n1

2
n1

∴
S
n2
n
4
2
n1

已知 ，求数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
.

练习题2 的前n项和为____
答案：


三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式 时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原
数列相加，就可以得到n个
( a
1
a
n
)
.
012nn
[
例
5] 求证：
C
n
3C
n
5C
n
(2n1)C
n
(n1)2

012n
证明： 设
S
n
C
n
3C
n
5C
n
(2n1)C
n
………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
nn110
S
n
( 2n1)C
n
(2n1)C
n
3C
n
C
n

（反序）

mnm
又由
C
n
C
n
可得

01n1n

S
n
(2n1)C
n
(2n1)C
n
3C
n
C
n< br>…………..…….. ②
01n1nn
①+②得
2S
n
(2n2)(C
n
C
n
C
n
 C
n
)2(n1)2

（反序相加）

n
∴
S
n
(n1)2

[
例
6] 求
sin1sin2sin3sin88sin89
的值
解：设< br>Ssin1sin2sin3sin88sin89
…………. ①
将①式右边反序得

Ssin89sin88sin3sin2sin1
…………..②
（反序）

又因为
sinxcos(90x),sinxcosx1

①+②得
（反序相加）

22
22222
22222
22222
2S(sin
2
1

cos2
1

)(sin
2
2

cos
2
2

)(sin
2
89

cos< br>2
89

)
＝89
∴ S＝
题1 已知函数

（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以

.
练习、求值：
练习。已知
f

x

满足
x
1
, x
2

R
,当
x
1
x
2
1< br>时,
f

x
1

f

x
2



1

2

n1

S
n

f

0

f

f

f

f

1

,n N
,
求
S
n
.

nnn
< br>1
,若
2
1
1
(n1)
.
由
f< br>
x
1

f

x
2


知只要自变量
x
1
x
2
1
即成立,又知
4
2
1n1
1
,…,则易求
S
n
.

01
1

nn
解答：
S
n


四、分组法求和
有一类数列，既不是等差 数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和， 再将其合并即可.

[
例
7] 求数列的前n项和：
11,
111
4,
2
7,,
n1
3n2
，…
a
aa
111
解：设
S
n
(11)( 4)(
2
7)(
n1
3n2)

a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(1
111

2

n1
)(1473n 2)

（分组）

a
a a
(3n1)n(3n1)n
当a＝1时，
S
n
n
＝
（分组求和）

221
1
n
1n
aa(3n1)n
(3n1)n
a


当
a1
时，
S
n

＝
1
a12
2
1
a
[
例
8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设
a
k
k(k1)(2k1)2k3kk

∴
S
n

k(k1)(2k1)
＝

(2k
k1k 1
nn
3
3k
2
k)

将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
2

k 1
3
n
k3

k

k

（分组）

32
k1k1
33222
nn
＝< br>2(12n)3(12n)(12n)

n
2
(n1)
2
n(n1)(2n1)n(n1)

＝
（分组求和）

222
n(n1)
2
(n2)
＝
2

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解
（裂项）
如：
sin1

tan(n1)

tann

（1）
a
n
f(n1)f(n)
（2）
< br>cosncos(n1)
(2n)
2
111
111
1( )


（3）
a
n

（4）
a
n

(2n1)(2n1)22n12n1
n(n1)nn1< br>（5）
a
n

1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

(6)
a
n

n212(n1)n1111

n
n
,则S1

n
n1nn
n(n1)
2< br>n(n1)
2n2(n1)2(n1)2
（7）
a
n

1111
()

(AnB)(AnC)CBAnBAnC< br>1
nn1
n1n
（8）
a
n


[
例
9] 求数列
1
12
,
1
23
1
,,
1
nn1
,
的前n项和.
解：设
a
n

nn1
1

n1n
（裂项）

1
nn1
则
S
n

1
2312


（裂项求和）

＝
(21)(32)(n1n)

＝
n11

[
例
10] 在数列{a
n
}中，
a
n

解： ∵
an

2
12n
，又
b
n

，求数列{ b
n
}的前n项的和.

a
n
a
n 1
n1n1n1
12nn


n1n1n12
211
∴
b
n
8()

（裂项）

nn1
nn1

22
∴ 数列{b
n
}的前n项和
1111
2233
18n
)
＝ ＝
8(1

n1n1

S
n
8[(1 )()()(
1
4
11
)]

（裂项求和）

nn1
111cos1


[
例
11] 求证：
cos0

cos1
< br>cos1

cos2

cos88

cos89
sin
2
1

解：设
S
111
 


cos0cos1cos1cos2cos88cos89
sin1

tan(n1)

tann


（裂项）
∵

cosncos(n1)
∴
S
111


（裂项求和）


cos0cos1cos1cos2cos88 cos89

＝
1
{(tan1

t an0

)(tan2

tan1

)(tan3< br>
tan2

)[tan89

tan88

]}


sin1
cos1

11

＝
(tan89tan0)
＝
cot1
＝
2

sin1
sin1

sin1

∴ 原等式成立

1
111
1

<

31!
42!53!102100!
2
此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第
例 求证
k
项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差.
解 因为
1 k
(k2)k!

1
(k2)!

1
(k 1)!

1
(k2)!
（
k
1,2,,100
）
所以
1
111
31!

42!

53!

1021 00!



(
11
2!
3!
)(
1
3!

1
4!
)(
1 111
4!

5!
)(
101!

102!
)



11
1
2!

102!
<
2
.

练习题1.

答案：

练习题2。
答案：
.
=

六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这
些 项放在一起先求和，然后再求S
n
.
[
例
12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵
cosncos(180n)

（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）

＝ 0
[
例
13] 数列{a
n
}：
a
1
1 ,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1a
n
，求S
2002
.
解：设S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
200 2

由
a
1
1,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
可得

a
4
1,a
5
3,a
6
2,

a
7
1,a
8
3,a
9
2,a
10
1,a
11
3,a
12
2,

……
a
6k1
1,a
6k2
3,a
6k3
 2,a
6k4
1,a
6k5
3,a
6k6
 2

∵
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4
a
6k5
a
6k6
0

（找特殊性质项）

∴ S2002
＝
a
1
a
2
a
3
 a
2002

（合并求和）

＝
(a
1
a
2
a
3
a
6
)(a
7
a
8
a
12
)(a
6k1
a
6k2
 a
6k6
)

(a
1993
a1994
a
1998
)a
1999
a
2 000
a
2001
a
2002

＝
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002

＝
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4

＝5
[
例
14] 在各项均为正数的等 比数列中，若
a
5
a
6
9,求log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
的值.
解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10

由等比数列的性质
mnpqa
m
a
na
p
a
q

（找特殊性质项）

和对数的运算性质
log
a< br>Mlog
a
Nlog
a
MN
得
S
n
(log
3
a
1
log
3
a
10
)(log
3
a
2
log
3
a
9)(log
3
a
5
log
3
a
6
)

（合并求和）

＝
(log
3
a
1
a
10
)(log
3
a
2
a
9
)(log
3
a
5
a
6)

＝
log
3
9log
3
9 log
3
9

＝10



练习、求和：

练习
题1
设
＝___
答案：2.

练习题2 ．若
S
n
=1-2+3-4+ …+(-1)
n
-1
·
n
，则
S
17
+< br>S
33
＋
Ｓ
50
等于( )
则，

D .2
解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：
S
n
=
A
练习题 3
100
2
- 99
2
+98
2
-97
2
+…+2
2
-1
2
的值是


解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B


七、利用数列的通项求和

答案：
先根据数列的结 构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来
求数列的前n项和， 是一个重要的方法.

[
例
15] 求
1111111111
之和.


n个1
解：由于
111



1
k个 1
11
9999(10
k
1)

（找通项及特征）


99
k个1
n个1
∴
1111111111




＝< br>1
1
111
(101)(10
2
1)(10
3
1)(10
n
1)

（分组求和）

9999
1
1
1
(10102
10
3
10
n
)(111





1)

99

n个1
＝

110(10
n
1)n

＝< br>
91019
＝
1
(10
n1
109n)< br>
81

8
,求

(n1)(a
n
a
n1
)
的值. [
例
16] 已知数列{a
n< br>}：
a
n

(n1)(n3)
n1
解：∵ < br>(n1)(a
n
a
n1
)8(n1)[
11
]

（找通项及特征）

(n1)(n3)(n2)(n4)
＝
8[
11
]

（设制分组）

(n2)(n4)(n3)(n4)
＝
4(

1111
)8()

（裂项）

n2n4n3n4

1111
)8

()

（分组、裂项求和）
∴

(n 1)(a
n
a
n1
)4

(
n4n4
n1n1
n2
n1
n3
＝
4(
＝

1
3
11
)8

44
13

3
提高练习：

1．已知数列

a
n

中，
S
n
是其前
n
项和 ，并且
S
n1
4a
n
2(n1,2,L),a
1< br>1
，
⑴设数列
b
n
a
n1
2a< br>n
(n1,2,)
，求证：数列

b
n
是等比数列；
⑵设数列
c
n




a
n
,(n1,2,)
，求证：数列

c
n

是等差数列；
2
n
八、组合数法求和
mm1m
C
n
C
n
原数列各项可写成组合数形式,则可利用公式
C
n1
求解.
例5求
1,12,123,,123n
的和
.

由
123n
1
n

n1

Cn
2
1
知可利用“组合数法”求和
.

2
解
S
n
1

12



123



123n



136
n(n1)

2
222
C
3< br>2
C
4
C
n


C
21

322
C
3
2
C
4
C
n


C
31



…
3


C
n2




1
n(n1)(n2)
.
6
待定归纳法


例9求数列2
1
2
, 4
3
2
,6
5
2
,…,2
n(2n1)2
的前
n
项和
S
n
.
因为数列的通项公式为
a
n
2n(2n1)
2
8n
3
8n
2
2n
它是关于
n
的多项式,与之类似的
数列求和问题我们熟悉 的有
（1）
135

2n1

n
2

1
（2）1
223n(n1)n(n1)(n2)

3
1
（3）
1
3
2
3
3
3
n
3
n
2
(n1)
2

4
以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于
n
的多项式,对其次数进行比 较
便可得到这样的结论:若数列

a
n

的通项公式是关于
n
的多项式,则其前
n
项和是比通项公式
高一次的多项式.对本题来 讲,因为通项公式

a
n
2n(2n1)
2
8n
3
8n
2
2n

是关于
n< br>的三次多项式,所以我们猜想该数列的前
n
项和
S
n
是关于< br>n
的四次多项式,故可设
S
n

An
4
B n
3
Cn
2
DnE
.
解 令
S
n

An
4
Bn
3
Cn
2
DnE< br>满足数学归纳法的各个步骤,
即
n1,nk,nk1
时上式均成立,有
S
1
ABCDEa
1
2
①
S
k
Ak
4
Bk
3
Ck
2DkE

S
k1
A(k1)
4
B(k1 )
3
C(k1)
2
D(k1)E

Ak
4
(4AB)k
3
(6A3BC)k
2
(4A3B 2CD)k(ABCDE)
②
又因为
S
k1
S
k
a
k1


Ak
4
Bk
3
Ck
2
DkE8(k 1)
3
8(k1)
2
2(k1)

Ak
4
(B8)k
3
(C16)k
2
 (D10)k(E2)
③
比较②、③两式同类项系数可得

AA,

4ABB8,




6A3BCC16,


4A3B2CDD1 0,



ABCDEE2.
41
,C1 ,D.
代入①式有
E0
,
33
41
故
S
n
2n
4
n
3
n
2
 n

33
1

n(n1)(6n
2
2n1)

3
解方程得
A2,B
例10求数列5,6,9,16,31,62,…的前
n
项和
S
n
.

考虑数列的各差数列:
原数列:5,6,9,16,31,62,…
一阶差数列:1,3,7,15,31,…
二阶差数列:2,4,8,16,…
由于二阶差数列是等比数列,可用逐差法求数列 的通项,然后再求其前
n
项和
S
n
.

解 设原数列为

a
n

,一阶差数列为

b
n

,二阶差数列为

c
n


那么
b
2
b
1
c
1
,


b
3
b
2
c
2
,


b
4
b
3
c
3
,

…

b
n
b
n1
c
n1
.

以上
n1
个式子相加,有
b
n
b
1
c
1
c
2
c
3
c
n1


248162
n1

2(12
n1
)



12

2
n
2
.
因为
b
1
1
,所以
b
n
2
n
212
n
1< br>.
又
a
2
a
1
b
1
,

a
3
a
2
b
2
,


a
4
a
3
b
3
,

…

a
n
a
n1
b
n1
.

所以
a
n
a
1
b
1
b
2
 b
3
b
n1


b
m


(2
m
1)

m1
m1
n1
n1


2
m
(n1)
2
n
n1
.
m1
n1
因为
a
1
5
,所 以
a
n
2
n
n15
2
n
n 4
.
数列

a
n

的前
n
项和为

S
n


(2
m1
n
m
m 4)

2

m4n

m
m1m1
nn
2(12
n
)n(n1)
4n


122

2
n1

n(n7)
2.

2



2
2．设二次方程
a
n
x-
a
n
+1
x
+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
a
n
表示a
n1
；








*
3．数列
a
n

中，
a
1
8,a
4
2且满足
a
n2
2a
n1
a
n

nN

⑴求数列

a
n

的通项公式；
⑵设
S
n
|a
1
||a
2
||a
n
|
，求
S
n
；
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。