中国河流警钟长鸣-旅鼠之谜导学案

数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
分段求和法（合并法求和）
利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减
法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)< br>na
1
d

22
(q1)

n a
1

n
2、等比数列求和公式：
S
n


a
1
(1q)
a
1
a
n
q

(q1)

1q

1q
n
11
2
3、
S
n


kn(n1)
4、
S
n


kn(n1)(2n1)

26
k1k1
n
5、
S
n

1
3
k[n(n1)]
2
< br>
2
k1
1
23n
，求
xxxx 
的前n项和.
log
2
3
11
log
3
xlog
3
2x

log
2
32
n
[
例
1] 已知
log< br>3
x
解：由
log
3
x
23n
由等比数列求和公式得
S
n
xxxx

（利用常用公式）

11
(1
n
)
x(1x)
2
2
＝1－
1
＝＝
1
1x
2
n
1
2
n

[
例
2] 设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
,求
f(n)
S
n
的最大值.
(n32)S
n1
解：由等差数列求和公式得
S
n

∴
f(n)
11
n(n1)
，
S
n
(n1)(n2)

（利用常用公式）

22
S
n
n
＝
2

(n32)S
n1
n34n64
＝
1
n34
64
n
＝
(n
1
8n

)
2
50
1

50
∴ 当
n
8
1
，即n＝8时，
f(n)
max


50
8
ｎ
题1.等比数列的前ｎ项和S
ｎ
＝2－１，则＝
22232
题2．若1+2+…+(
n
-1)=
an
+bn
+
cn
，则
a
= ,
b
= ,
c
=
.
解： 原式=答案：


二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这 种方法主要用于求数列{a
n
· b
n
}的前n
项和，其中{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.
23n1
[
例
3] 求和：
S
n
13x5 x7x(2n1)x
………………………①
解：由题可知，{
(2n 1)x
n1
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{
x
n 1
}的通项之积
234n
设
xS
n
1x3x5x 7x(2n1)x
………………………. ②
（设制错位）

234n1n
①－②得
(1x)S
n
12x2x2x 2x2x(2n1)x

（错位相减
）
1x
n1
(2n1)x
n
再利用等比数列的求和公式得：
(1x)S
n
12x
1x
(2n1)x
n1
(2n1)x
n
(1x)
∴
S
n


2
(1x)
[
例
4] 求数列
2462n
,
2
,
3
,,
n
,
前n项的和.
2
222

解：由题可知，{
2n1
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
n
2
n
2
2462n
设
S
n

2

3

n
…………………………………①
2
222
12462n
S
n

2

3

4

n1
………………………………②
（设制错位）

2
2222
1222222n
①－②得(1)S
n

2

3

4
 
n

n1

（错位相减
）
22
22222
12n

2
n1

n1

22
n2
∴
S
n
4
n1

2
练习题1 已知 ，求数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
.
答案：
练习题2 的前n项和为____
答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个 数列倒过来排列（反序），再把它与原
数列相加，就可以得到n个
(a
1
a
n
)
.
012nn
[
例
5] 求证：
C
n
3C
n
5C
n
(2n1)C
n
(n1)2

012n
证明： 设
S
n
C< br>n
3C
n
5C
n
(2n1)C
n< br>………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
nn110
S
n
(2n1)C
n
(2n1)C
n
 3C
n
C
n

（反序）

mnm
又由
C
n
C
n
可得

01n1n

S
n
(2n1)C
n
(2n1)C
n
3C
n
C
n< br>…………..…….. ②
01n1nn
①+②得
2S
n
(2n2)(C
n
C
n
C
n
 C
n
)2(n1)2

（反序相加）

n
∴
S
n
(n1)2

[
例
6] 求
sin1sin2sin3sin88sin89
的值
解：设< br>Ssin1sin2sin3sin88sin89
…………. ①
将①式右边反序得

Ssin89sin88sin3sin2sin1
…………..②
（反序）

又因为
sinxcos(90x),sinxcosx1

①+②得
（反序相加）

22
22222
22222
22222
2S(sin
2
1

cos2
1

)(sin
2
2

cos
2
2

)(sin
2
89

cos< br>2
89

)
＝89
∴ S＝44.5
题1 已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，



两式相加得：
所以.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[
例
7] 求数列的前n项和：
11,
111
4,2
7,,
n1
3n2
，…
a
aa111
解：设
S
n
(11)(4)(
2
7 )(
n1
3n2)

a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(1
111

2

n1
)(1473n 2)

（分组）

a
a a
(3n1)n(3n1)n
当a＝1时，
S
n
n
＝
（分组求和）

221
1
n
(3n1)n
aa
1n
(3n1)n
a

当
a1
时，
S
n

＝

1
a12
2
1
a
[
例
8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设
a
k
k(k1)(2k1)2k3kk

∴
S
n

k(k1)(2k1)
＝

(2k
k1k 1
nn
3
3k
2
k)

将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
2

k 1
3
n
k3

k

k

（分组）

32
k1k1
33222
nn
＝< br>2(12n)3(12n)(12n)

n
2
(n1)
2
n(n1)(2n1)n(n 1)

＝
（分组求和）

222
n(n1)
2
(n2)
＝
2

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解
（裂项）
如：
sin1

tan(n1)

tann

（1）
a
n
f(n1)f(n)
（2）
< br>cosncos(n1)
(2n)
2
111
111
1( )


（3）
a
n

（4）
a
n

(2n1)(2n1)22n12n1
n(n1)nn1< br>（5）
a
n

1111
[]

n(n 1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
n212(n1)n1111
< br>n

n
,则S1

n
n(n1)
2
n(n1)
2n2
n1
(n1)2
n
(n1 )2
n
(6)
a
n

（7）
a
n

1111
()

(AnB)(AnC)CBAnBAnC
1
nn1
n1n
（8）
a
n


[
例
9] 求数列
1< br>12
,
1
23
1
,,
1
nn 1
,
的前n项和.
解：设
a
n

nn 1
1

n1n

（裂项）

1
nn1
则
S
n

1
2312


（裂项求和）

＝
(21)(32)(n1n)

＝
n11

[
例
10] 在数列{a
n
}中 ，
a
n

212n

，又
b
n

，求数列{b
n
}的前n项的和.
a
n
a< br>n1
n1n1n1

12nn


n1n1n12
211
∴
b
n
8()

（裂项）

nn1
nn1

22
解： ∵
a
n

∴ 数列{b
n
}的前n项和
1111
2233
18n
＝
8(1

)
＝
n1n1

S
n
8[(1)()()(
1
4
11
)]

（裂项求和）

nn1
11 1cos1


[
例
11] 求证：
co s0

cos1

cos1

cos2

cos88

cos89

sin
2
1

解：设
S
111



cos0c os1cos1cos2cos88cos89
sin1

tan(n1)

tann


（裂项）
∵

cosncos(n1)
111

（裂项求和）



cos0cos1cos 1cos2cos88cos89
1
＝
{(tan1

tan0

)(tan2

tan1

)(ta n3

tan2

)[tan89

tan88
]}


sin1
∴
S
cos1

11

＝
(tan89tan0)
＝
cot1
＝
2

sin1
sin1

sin1

∴ 原等式成立
练习题1.
答案：.

练习题2。 =
答案：

六、分段求和法（合并法求和）
针对 一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这
些项放在 一起先求和，然后再求S
n
.
[
例
12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵
cosncos(180n)

（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）

＝ 0
[
例
13] 数列{a
n
}：
a
1
1 ,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1a
n
，求S
2002
.


解： 设S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
2002

由
a
1
1,a
23,a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
可得
a
4
1,a
5
3,a
6
2,

a
7
1,a
8
3,a
9
2,a
10
1,a
11
3,a
12
2,

……
a
6k1
1,a
6k2
3,a
6k3
 2,a
6k4
1,a
6k5
3,a
6k6
 2

∵
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4
a
6k5
a
6k6
0

（找特殊性质项）

∴ S2002
＝
a
1
a
2
a
3
 a
2002

（合并求和）

＝
(a
1
a
2
a
3
a
6
)(a
7
a
8
a
12
)(a
6k1
a
6k2
 a
6k6
)

(a
1993
a1994
a
1998
)a
1999
a
2 000
a
2001
a
2002

＝
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002

＝
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4

＝5
[
例
14] 在各项均为正数的等 比数列中，若
a
5
a
6
9,求log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
的值.
解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10

由等比数列的性质
mnpqa
m
a
na
p
a
q

（找特殊性质项）

和对数的运算性质
log
a
Mlo g
a
Nlog
a
MN
得
S
n
 (log
3
a
1
log
3
a
10
)( log
3
a
2
log
3
a
9
) (log
3
a
5
log
3
a
6
)
（合并求和）

＝
(log
3
a1
a
10
)(log
3
a
2
a
9
)(log
3
a
5
a
6
)

＝
log
3
9log
3
9log
3
9

＝10



练习、求和：
练习
题1
设，则＝___
答案：2.

练习题2 ．若
S
n
=1-2+3-4+…+(-1)·
n
，则
S
17
+
S
33
＋
Ｓ
50
等于 ( )
n
-1

A.1 B.-1 C.0 D .2
解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：
S
n
=答案：A
练习题 3
100-99+98-97+…+2-1的值是


A.5000 B.5050 C.10100 D.20200
解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B


七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列 的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来
求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[
例
15] 求
1111111111
之和.


n个1
222222
解：由于
111



1
k个1
11
9999(10
k
1)

（找通项及特征）


99
k个1
n个1
∴
1111111111




＝< br>1
1
111
(101)(10
2
1)(10
3
1)(10
n
1)

（分组求和）

9999
1
1
1
(10102
10
3
10
n
)(111





1)

99

n个1
＝
110(10
n
1)n

＝

91019
＝
1
(10
n1
109n)

81

8
,求

(n1)(a
n
a
n1
)
的值. [
例
16] 已知数列{a
n
}：a
n

(n1)(n3)
n1
解：∵
(n1 )(a
n
a
n1
)8(n1)[
11
]

（找通项及特征）

(n1)(n3)(n2)(n4)
＝
8[
11
]

（设制分组）

(n2)(n4)(n3)(n4)
＝
4(

1111
)8()

（裂项）

n2n4n3n4

1111
)8

()

（分组、裂项求和）
∴

(n 1)(a
n
a
n1
)4

(
n4n4
n1n1
n2
n1
n3
＝
4(
1
3
11
)8

44

＝

13

3
提高练习：

1．已知数列

a
n

中，
S
n
是其前
n
项和 ，并且
S
n1
4a
n
2(n1,2,L),a
1< br>1
，
⑴设数列
b
n
a
n1
2a< br>n
(n1,2,)
，求证：数列

b
n
是等比数列；
⑵设数列
c
n

a
n
,(n 1,2,)
，求证：数列

c
n

是等差数列；
n
2







2
2．设二次方程
a
n
x-
a
n
+1
x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
a
n
表示a
n1
；








*
3．数列
a
n

中，
a
1
8,a
4
2且满足
a
n2
2a
n1
a
n

nN

⑴求数列

a
n

的通项公式；
⑵设
S
n
|a
1
||a
2
||a
n
|
，求
S
n
；
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。