诺歌词-科比宣布退役

_
数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
分段求和法（合并法求和）
利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减
法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)< br>na
1

d

22
(q1)
< br>na
1

n
2、等比数列求和公式：
S
n


a
1
(1q)
a
1
a
n
q

(q1)

1q

1q
n
11
2
3、
S
n


kn
(
n
1)
4、
S
n


kn
(
n
1)(2n
1)

26
k1k1
n
5、
S
n

1
3
k[n(n1)]
2
< br>
2
k1
1
23n
，求
xxxx 
的前n项和.
log
2
3
11
log
3
xlog
3
2x

log
2
32
n
[例1]
已知
log
3
x
解：由
log
3
x
23n
由等比数列求和公式得
S
n
xxxx

（利用常用公式）

_
11
(1
n)
x(1x)
2
2
＝1－
1
＝＝
1
1x
2
n
1
2
n

[例2]
设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
,求
f(n)
解：由等差数列求和公式得
S
n

∴
f(n)
S
n
的最大值.
(n32)S
n1
11
n
(
n
1)
，
S
n

(
n
1)(
n
2)

（利用常用公式）

22
S
n
n
＝
2

(n32)S
n1
n34n64
＝
1
n34
64
n
＝
(n
1
8n

)
2
50
1

50
∴ 当
n
8
1
，即n＝8时，
f(n)
max


50
8
题1.等比数列的前ｎ项和S
ｎ
＝2
ｎ
－１，则＝
题2．若1
2
+2
2
+…+(
n< br>-1)
2
=
an
3
+
bn
2
+cn
，则
a
= ,
b
= ,
c
=
.
解： 原式=

二、错位相减法求和

答案：
这种方法是在推导等比数列的前n项 和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a
n
· b
n
}的前n
项和，其中{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.
[例3]
求和：
S
n
13x 5x
2
7x
3
(2n1)x
n1
……… ………………①
解：由题可知，{
(2n1)x
n1
}的通项是等差数 列{2n－1}的通项与等比数列{
x
n1
}的通项之积
234n
设
xS
n
1x3x5x7x(2n1)x
…………… …………. ②
（设制错位）

234n1n
①－②得
(1x)S
n
12x2x2x2x2x(2n1)x

（错位相减
）

_
1x
n1
(2n1)x
n
再利用等比数列的求和公式得：
(1x)S
n
12x
1x
(2n1)x
n1
(2n1)x
n
(1x)
∴
S
n


2
(1x)
[例4]
求数列
,
2462n
,,

,
,
前n项的和.
23n
2
222
2n1
解：由题可知，{
n
}的通 项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
n
}的通项之积
2
2
2 462n
设
S
n

2

3
< br>n
…………………………………①
2
222
12462n
S
n

2

3

4

n 1
………………………………②
（设制错位）

2
2222
1222222n
①－②得
(1)S
n
2

3

4

n

n1< br>
（错位相减
）
22
22222
12n

2
n1

n1

22
n2
∴
S
n
4
n1

2
，求数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
.

练习题1 已知
答案：
练习题2 的前n项和为____
答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式 时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原
数列相加，就可以得到n个
(
a
1
a
n
)
.
012n
3C
n
5C
n
(2n1)C
n
(n1)2
n

[例5]
求证：
C
n
012n
证明： 设< br>S
n
C
n
3C
n
5C
n
 (2n1)C
n
………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
nn110
S
n
(2n1)C
n(2n1)C
n
3C
n
C
n

（反序）
mnm
又由
C
n
C
n
可得

_
01n1n

S
n
(2n1)C
n(2n1)C
n
3C
n
C
n
………… ..…….. ②
01n1nn
①+②得
2S
n
( 2n2)(C
n
C
n
C
n
C
n< br>)2(n1)2

（反序相加）

n
∴
S
n
(n1)2

[例6]
求
s in
2
1

sin
2
2

sin2
3

sin
2
88

sin< br>2
89

的值
解：设
Ssin1sin2sin3 sin88sin89
…………. ①
将①式右边反序得

Ssin89sin88sin3sin2sin1
…………..②
（反序）

又因为
sin
x
cos(90
x
),sin
x
cos
x
1

< br>22
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

①+②得
（反序相加）

2S(sin
2
1

cos< br>2
1

)(sin
2
2

cos
2
2

)(sin
2
89

cos
2
89

)
＝89
∴ S＝44.5
题1 已知函数
（1）证明：

；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，



两式相加得：

_
所以

.
练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可.
[例7]
求数列的前n项和：
11,
111
4,
2
7,,
n1

3
n
2
，…
a
aa
111
解：设
S
n
(11)(4) (
2
7)(
n1

3
n
2)< br>
a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(1 
111

2

n1
)(147 3n2)

（分组）
a
a a
(3n1)n(3n1)n
当a＝1时，
S
n
n
＝

（分组求和）

22
1
1
n
(3n1)n
aa
1n
(3n 1)n
a

当
a1
时，
S
n

＝


1
a12
2
1
a
[例8]
求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设
a
k

k
(
k
1)(2
k
1)2
k
 3
k

k

∴
S
n


k(k1)(2k1)
＝

(2k
k1k1
n n
3
3k
2
k)

将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
2

k1
3
n
k
3

k


k

（分组）

32
k1k1
33222
nn
＝< br>2(1

2
n
)

3(1
2
n
)

(1

2
n< br>)

n
2
(n1)
2
n(n1 )(2n1)n(n1)

＝
（分组求和）

222

_
n(n1)
2
(n2)
＝
2

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的 每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解
（裂项）
如：
sin1

tan(n1)

tann

（1）
a
n

f(n

1)

f(n)< br> （2）

cosncos(n1)
(2n)
2111
111
1(
)


（3）
a
n

（4）
a
n
(2n1)(2n1)22n12n1
n(n1)nn1
（5）< br>a
n

1111
[
]

n(n1)( n2)2n(n1)(n1)(n2)
n212(n1)n1111

n

n
,则S1

n
n1nn
n(n 1)
2
n(n1)
2n2(n1)2(n1)2
(6)
a
n

（7）
a
n

1111
()

(AnB)(AnC)CBAnBAnC
1
nn1< br>n1n
（8）
a
n


[例9]
求数列
1
12
,
1
23
1
,,
1
nn1
,

的前n项和.
解：设
a
n

nn1
1


n
1
n

（裂项）

1
nn1
则
S
n

1
2312


（裂项求和）

＝
(21)(32)(n1n)

＝
n11

[例10]
在数列{a
n
}中，
a
n

212n
，又
b
n

，求数列{ b
n
}的前n项的和.

a
n
a
n 1
n1n1n1

_
12nn


n1n1n12
211
∴
b
n
8(
)

（裂项）

nn1
nn1

22
解： ∵
a
n

∴ 数列{b
n
}的前n项和
1111
2233
18n
＝
8(1

)
＝
n1n1

S
n
8[(1)()()(
1
4
11
)]

（裂项求和）

nn1
111cos1


[例11]
求证：

cos0

cos1

cos1

cos2

cos88

cos89

sin
2
1

解：设
S
111


c os0

cos1

cos1

cos2

cos88

cos89

sin1


t an(n1)tann
∵
（裂项）


cosncos(n1)
111

（裂项求和）



cos0cos1cos 1cos2cos88cos89
1
＝
{(tan1


tan0

)

(tan2


ta n1

)

(tan3


tan2
< br>)

[tan89


tan88

]}< br>

sin1
∴
S
cos1

11

＝
( tan89

tan0)
＝
cot1
＝
2

sin1
sin1

sin1

∴ 原等式成立
练习题1.
答案：

.
练习题2。 =
答案：

六、分段求和法（合并法求和）

_
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此 ，在求数列的和时，可将这
些项放在一起先求和，然后再求S
n
.

[例12]
求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°
∵
cos
n
cos(180
n
)

（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+·
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）

＝ 0
[例13]
数列{a
n
}：
a
1
1,a
2
3, a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
， 求S
2002
.
解：设S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
2002

由
a
1
1,a
2
3,a
3
2,a
n2a
n1
a
n
可得
a
4
1,a
5
3,a
6
2,

a
7
1,a
8
3,a
9
2,a
10
1,a
11
3,a
12
2,

……
a
6k1
1,a
6k2
3,a
6k3
 2,a
6k4
1,a
6k5
3,a
6k6
 2

∵
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4
a
6k5
a
6k6

0

（找特殊性质项）

∴ S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
2002

（合并求和）

＝
(
a
1
a
2
a
3
a
6
)

(
a
7
a
8
a
12
)

(
a
6k1
a
6k2
a
6k6
)

(a
1993
a
1994
a
199 8
)a
1999
a
2000
a
2001
a
2002

＝
a
1999
a
2000
 a
2001
a
2002

＝
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4

＝5
[例14]
在各项均为正数的等比数列中，若
a
5
a
6
9,求log
3
a
1
log
3
a
2< br>log
3
a
10
的值.
解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2log
3
a
10

_
由等比数列的性质
mnpqa
m
a
n
a
p
a
q

（找特殊性质项）

和对数的运算性质
log
a
M
log
a
N
log
a
M

N
得
S
n
(log
3
a
1
log
3
a
10
)(log
3
a
2
log
3
a
9
)(log
3
a
5
log
3a
6
)

（合并求和）

＝
( log
3
a
1
a
10
)

(log3
a
2
a
9
)

(log
3
a
5
a
6
)

＝
log
3
9

log
3
9

log
3
9

＝10



练习、求和：
练习
题1
设
答案：2.

，则

＝___
练习题2 ．若
S
n
=1-2 +3-4+…+(-1)
n
-1
·
n
，则
S
17< br>+
S
33
＋
Ｓ
50
等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D .2
解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：
S
n
=答案：A
练习题 3
100
2
-9 9
2
+98
2
-97
2
+…+2
2
-1< br>2
的值是





A.5000 B.5050 C.10100 D.20200
解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B


七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列 的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来

_
求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15]
求
111111111

1
之和.
n个1
1
解：由于
111

k个1
11< br>9999
(10
k

1)

（找通项及特征）

99
k个1
n个1
∴
111111111

1


＝< br>＝
1
1
111
(101)(10
2
1)(1 0
3
1)
(10
n

1)

（分组求和）

9999
1
1
1
(1010
2
10
3
10
n
)
(1

1


1



1)
< br>
99

n个1
110(10
n
1)n

＝

91019
＝
1
(10
n 1

10

9
n
)

81
< br>8
,求

(n1)(a
n
a
n1
)< br>的值.
[例16]
已知数列{a
n
}：
a
n< br>
(n1)(n3)
n1
解：∵
(n1)(a
n< br>a
n1
)8(n1)[
11

]

（找通项及特征）

(n1)(n3)(n2)(n4)
＝
8[
11

]

（设制分组）
(n2)(n4)(n3)(n4)
＝
4(

1111
)8(
)

（裂项）

n2n4n3n4

1111
)8

()

（分组、裂项求和）

∴
(n1)(a
n
a
n1
)4

(
n 4n4
n1n1
n2
n1
n3
＝
4(
＝

1
3
11
)8

44
13

3
提高练习：

1．已知数列

a
n

中，
S
n
是其前
n
项和 ，并且
S
n1
4a
n
2(n1,2,
⑴设数列b
n

a
n1

2
a
n
(
n

1,2,

)
，求证：数列

b< br>n

是等比数列；
⑵设数列
c
n

),a
1
1
，
a
n
,(
n
1,2,

)
，求证：数列
c
n

是等差数列；
2
n

_







2．设二次方程a
n
x
2
-
a
n
+1
x
+1 =0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
a
n
表示a
n1
；








*
3．数列
a
n

中，
a
1
8,a
4
2且满足
a
n2
2a
n1
a
n

nN

⑴求数列

a
n

的通项公式；
⑵设
S
n

|
a
1
|

|
a
2
|

|
a
n
|
，求
S
n；
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。