浅谈取整函数
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浅谈取整函数
作者：邢怀勇
来源：《理科考试研究·高中》2017年第03期
摘 要：取整
函数是一个非常重要的数学概念，本文通过对几个例题的分析阐述了解有关
取整函数类问题的策略.
关键词：取整函数；解题策略
取整函数定义：设x∈R，
用[x]表示不超过x的最大整数.则y=[x]称为高斯函数，也叫取
整函数.显然，y=[x]的定
义域是R，值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，
即x=[x]+a（0≤a
取整函数是一个非常重要的数学概念.它的定义域是连续的，值域却是离散的，取整函
数
关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用.在数学竞赛或高考中也备受
命题者的青睐.用[x]命制的试题情境新颖，弹性大，利于赋予新意，具有挑战性，而在解决与
之相关
的问题时，可以依据的命题、法则不多，规律性不明显，解法变化大，灵活性强，往往
会用到多种数学思
想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、
数形结合、凑整、估值等等.
例1 试画出f（x）=x-[x]的图像.（[x]表示不大于x的最大整数）
解析 若做出上述函数图象，需先分析一下取整函数[x]的图像的基本性质和特征.
（1）由y=[x]的定义易知[x]的图形在y=x的图形的下方.
（2）
由y=[x]的性质知[x]的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段，这组平行线
段呈阶梯形.
可见函数y=[x]是一个不减（非单调） 的非周期的函数，其图像如下：
所以f（x）=x-[x]，
是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如下图所示：
例2 （2010年高考陕
西卷理科10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一
名代表，当各班人数除以10的余
数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与
该班人数x之间的函数关系用取整函数y=
[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A.
y=x10x+310B. y=x+310
C. y=x+410 D.
y=x+510