关于含取整运算“ [x] ”的方程解法
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关于含取整运算“ [x] ”的方程解法
对于任意一个实数x，我们把不超过x的最
大整数记作[x]，读作“x取整”，也把y=[x]
称作“高斯函数”。
如果令｛x｝=x-[x]，那么0≤｛x｝＜1。
关于取整运算有以下基本性质：
1，x=[x] +｛x｝；或[x] =x-｛x｝；
2，0≤｛x｝＜1；
3，[x] ≤x＜[x]+1；
4，x-1 ＜[x]≤x；
5，[x+n]=[x]+n，其中n为整数；
6，[-x]+[x]=[-{x}]=0或-1；
7，若a＜b，则[x+a]≤[x+b]
对于6，在此给出证明：
[-x]
=[-（[x]+ {x}）]= [-[x]- {x}]= -[x]+ [-{x}）]
∴[-x]+[x]=[-{x}]；
∵0≤｛x｝＜1
∴-1
＜-｛x｝≤0，
当｛x｝=0时，[-{x}]=0，当｛x｝≠0时，[-{x}]=-1；
∴[-{x}]=0或 -1。
【例1】
【解析】：
如果a≥1，则x≥30，与x=16矛盾；
如果a≤0，则对于i=1，2，3，…29，
∴x≤0，原等式不能成立，故0＜a＜1；
当0＜a＜1时，对于i=1，2，3，…29，
由于x=16，
综上所述，
故8≤15a＜8.5，∴[15a]=8。
解含取整运算的方程一般按以下五个步骤：
（1）化简：将原方程化简成以下形式：[f(x)]=g(x)；
（2）利用f(x)-1＜[f(x) ]=g（x）≤f(x)，去除取整符号“[
]”，得到不等式组：
（3）获得x的取值范围后，取得g(x)的取值范围，利用g(x)为整数，
获得g(x)的具
体数值n；
（4）解方程：g(x)-n=0；
（5）验算，去掉不合理的解。
【例2】：
【解】化简，得：
解得：-7≤x＜11，
经检验，
【练习】
1，解方程：
2，
【例3】解方程：[x²+x]=3x+1
【解析】x²+x-1＜3x+1≤x²+x，联立不等式组：
故不等式的解集为：
解得：
经检验，这两个均为原方程的根。