第18讲 取整计算
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第18讲 取整计算
任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真
分数）两部分。在数学计算中，有时会略去
数字的小数部分，而只取它的整数部分。比如，做
得到正确答案是2件。为了方便，我们引进符号［ ］：
［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。
与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一
种
运算，叫取整运算。显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，
（1）［a］≤a；
（2）a≤［a］＋1；
（3）［a］＋［b］≤［a＋b］；
（4）若a≤b，则［a］≤［b］；
（
5）若n是整数，则［ a＋n］=［a］＋n。
同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。
例 1计算［13÷［π］×4］。
例2
1000以内有多少个数能被7整除？
例3
求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。
第19讲
近似值与估算
在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多
数情况下，得到
的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个
量的近似数或近
似值。例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。又如，统计全国的人口数，由于地域
广人口多，统计
的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。
用位数较少
的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾
数，取舍尾数的
主要方法有：
（1）四舍五入法。四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数
舍去；五入，就是
当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如：
7.3964„，截取到
千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。
（2）去尾法。把尾数全部舍去。例如：7.3964„，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的
近似
值是7.39。
（3）收尾法（进一法）。把尾数舍去后，在它的前一位加上1。例
如：7.3964„，截取到千分位的近
似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。
表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。
在上面的三种方法中，最常用
的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说
精确到哪一位。
例
1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么，精确到小数点后两位数是
多
少？
分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题
意知，26.85
≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于2
6.95的13倍。
26.85×13＝349.05，
26.95×13＝350.35。
因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。
350÷13＝26.923„
当精确到小数点后两位数时，是26.92。
例1
中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切
数值，
那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。当然，这里的“放
大”与
“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。
例3 求下式的整数部分：
例4 求下式的整数部分：
1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。
例5某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米秒。已知
导
火线燃烧的速度是0.112米秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）
第20讲 数值代入法
有一些看起来缺少条件的题目，按常规解法
似乎无法求解，但是仔细分析发现，题中只涉及几个存在
着倍数或比例关系的数量，而题目中缺少的条件
，对于答案并无影响，这时就可以采用“数值代入法”，
即对于题目中“缺少”的条件，假设一个数代入
进去（当然假设的这个数应尽量方便计算），然后求出解
答。
例1
足球赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一。问：一张门票降价多少元？
例2
某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩人数比女孩人
例3 甲、乙分别由A，B两地同时出发，甲、乙两人步行的速度比是7∶5。如果相向而行
，那么0.5时后
相遇；如果按从A到B的方向同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？
第21讲 枚举法
我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后
求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常
会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从
下手。但是，如果题目所述的情况或满足
题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那
么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓
枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏
地一一列举出来，从而解决问题的方法。
例1 小明和小红玩掷骰子的游戏
，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；
若点数和为8，则小红胜。试判断他
们两人谁获胜的可能性大。
例2
数一数，右图中有多少个三角形。
例5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小
明
第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？