旧车过户-留守儿童心理问题

关于[x]以及{x}的性质与应用
摘 要：[x
]和{
x
}是非常重要的数论函数,其他许多数学分支都要涉及到，在国
内外的数学竞赛中也经常出现含有[
x
]和{
x
}的问题,这类问题新颖独 特,颇具
启发性。本文主要讨论[
x
]以及{
x
}的性质，和[x
]以及{
x
}在数学中的应用，
以及[
x
]以及{< br>x
}在数学竞赛中的应用。

关键词： 取整函数；小数函数；性质；应用；例题

Abstract ：[x] and {x} are the extremely important arithmetical functions, other
many mathematics branch all must involve, also frequently appears in the domestic
and foreign mathematics competition includes [x] and the {x} question, this kind of
question novel unique, quite has the article mainly discusses [x] as
well as the {x} nature, with [x] as well as {x} in mathematical analysis application, as
well as [x] as well as {x} in mathematics competition application.

Key words： Integer function

Decimal function Nature Application Sample
question

关于[x]以及{x}的性质与应用



目录
1、引言 ......................................... ................ - 1 -
2、[x]以及{x}的定义 ............................................. - 1 -
2.1、取整函数[x]的定义 .......................................... - 1 -
2.2、小数函数{x}的定义 .......................................... - 3 -
3、取整函数[x]的基本性质及证明 .................................. - 3 -
4、取整函数[x]以及小数函数{x}的图像及其性质 ..................... - 5 -
5、取整函数[x]以及小数函数{x}在解题中的应用 ..................... - 6 -
5.1、取整函数[x]一些基本性质的应用 .............................. - 6 -
5.2、数学竞赛中用多种方法解决取整函数 ........................... - 7 -
5.3、取整函数[x]在极限、积分、导数、级数中的应用例题 ........... - 11 -
6、回答引言提出的问题 .......................................... - 13 -
7、总结 ......................................... ............... - 14 -
参考文献 .................. ..................................... - 15 -
致 谢 ................................................ ....... - 16 -

1、引言
某市电信局130手机与13 7、138、139手机有不同是收费方式。137、138、139
手机的收费方式为：月租费50元 ，基本通话费0.40元分钟，不足一分钟按一
分钟计算。130手机的收费方式为：没有月租费，但是 基本通话费为0.54元分
钟，不足一分钟也按一分钟计算。小明今购了一部手机，他每月通话的时间大 约
20小时，请帮他参考一下，选用哪种收费方式的手机网络合算？
我们可以用取整函数解决这个问题，那什么是取整函数呢？
我们在学习数学的过程中，常常看 到取整函数的身影，在离散数学、微积分、
数学分析中都有取整函数的应用，纵观几年的数学竞赛，发现 了取整函数也是数
学竞赛的热点之一。然而含有取整函数的题目往往比较困难，要解决关于取整函
数的问题我们就要好好了解取整函数，什么是取整函数，它有什么性质，它的应
用有哪些。

2、[x]以及{x}的定义
2.1、取整函数[x]的定义
[1]
函数
y[x]
，称为高斯函数，又称取整函数。
给定实数
x
，我们可以对它进行一种特殊的运算—取整运算，即取出不超过
x
的最大整数部分，通常记为[
x
]，[
x
]满足下面的三个条件：
(1) [
x
]是整数；(2) [
x
]


x
; (3)
x
< [
x
]+1。
这就是说，整数[
x
]不超过
x
，而由（3）可知，大于[
x
]的整数[
x]+1，[
x
]+2，……
都大于
x
，即[
x
]是不超过
x
的最大整数。
x
与[
x
]之间适合
x
-1< [
x
]


x
<[
x
]+1
例如：[6]=6,[3 .2]=3，[
3
]=1，[-4]=-4，[-0.1]=-1，[-3.5]=-4。 < br>对于较小的
x
，我们不难求[
x
]。但是对较大的
x
，求[
x
]的基本方法还是回到

关于[x]以及{x}的性质与应用
定义中去，即对
x
作适当的估计或变形。

例题1 求
4 21
以及
3
n
3
n
2
n1
的整数部 分，这里的n为正整数。
解 先来求
421
，
为此作421的如下估计
：
20
2
42121
2
，推出20是不超过
421
的最大整数，所以[
421
]=20。
求
3
n
3
n
2
n 1
的方法还是要先估计，我们有
n
3
n
3
n
2
n1n
3
3n
2
3n1(n1)
3< br>，
故
n
3
n
3
n
2
n1 n1

由于
n
是整数，上面的不等式表明
3
n
3
n
2
n1
介于两个相继的整数
n,n1
之
间，所以[
3
n
3
n
2
n1
]=
n
。
注：此题是根据取整函数[x]的定义分别对相对简单及相对困难的函数进行取整
运算

例题2求适合
x
-[
x
]-2=0的一切实数
x

解：[
x
]

x
,得
x
-
x< br>-2

x
-[
x
]-2=0
x
-
x
-2

0
(
x
-2)(
x
+1)

0
于是-1

当0

x

2
[
x
]=1，
x
<2时，[
x
]=0代入原式，得
x
= 2（不正确）；当1

x

1时，
代入原式，得
x
=3（正确）；当
x
=2时，代入原式，得
x
=4（正确），所以
x
=3,4
注：此题是对取整函数[x]定义的应用

2.2、小数函数{x}的定义
和
x
整数部分紧密相关的是其小数部分，记 为{
x
},定义为{
x
} =
x
-[
x
],由[
x
]

x
<[
x
]+1不难得知0

{
x
}<1，反过来，若
x
=[
x
],自然有{
x
}=0。这些简单
的事实有时很 有用处，对于给定的
x
，要求出{
x
}，先求出[
x
]就可 以。

例题3 求所有的正数
x
，使得其整数部分[
x
] 以及小数部分{
x
}满足关系
[x]
2
x.{x}
。
解：设[
x
]=n,{
x
}=t,则n

0,0

t<1,由于
x
={
x
}+ [
x
],所以
n
2
(nt)t
（1）
如果t=0，则由上式知n=0，从而x=
nt
=0,这不合要求。
现在设
t0
，则
1
即
tn2t

再从0 由于n是整数，所以n=1,由（1）得到
t(t 1)1
，解得
t
5151
=
22
51
，因此，所求
2
ntt1ntnn
112
，
，但由（1）知所以
12
，
nnnntt
的正数
x
只有一个，即为1+

3、取整函数[x]的基本性质及证明
由取整函数的定义可以得到以下性质
定理1 设
x,yR
,我们有:
(1)

x

x

x

1

(2) 若
xy,
则

x


< br>y


(3)

nx

n

x


关于[x]以及{x}的性质与应用



x

(4)

x






x

1
(5)

x



y


< br>xy


(xZ)

(xZ)
(6) < br>
x



y



x y

或

xy

1

(7) < br>
2x



2y



x



xy



y


定理2 若
x

R
，m

N
，则[
例题4 证明定理2
xxx
]

<[]+1，
mmm
xx
两边乘以
m
得
m
[]

x
<
m
（[]+1）
mm
xxxx
由于
m
[]，
m
（[]+1）都是整数，于是
m
[]

[
x
]<
m
（[]+1）,
mmmm[x][x]
xxx
即[]

<[]+1,所以[]=[]
mm
mmm
[x]
x
]=[]
m
m
证 ：由[

定理3 若
x
>1,

m

N， 则从1到
x
的整数中，
m
的倍数有[
x

m
]个
例题5 证明定理3
xxx
]

<[]+1，
mmm
xx
两边乘以m得
m
[]

x<
m
（[]+1）
mm
证：由[
由此可 见，从1到
x
的整数中，
m
的倍数是
m
，2
m，
...
， [
有[
x

m
]个。

x
]
m
，它们共
m
定理4设
p
为任一素数 ，在
n!
中含
p
的最高乘方次数记为
p

n!
，则有：

n

n

n
< br>p

n!





2

...

m


p
m
npm1



p

p

p

例题6
[2]
证明定理4
证明：由于
p
是素数，所 有
n!
中所含
p
的次方数等于
n!
的各个因数
1, 2...,n
所


n

n
< br>含
p
的次方数之总和。由定理3可知，在
1,2...,n
中，有
个
p
的倍数，有

2


p

p


n

个
p
2的倍数，有

3

个
p
3
的倍数，
. ..
，当
p
m
np
m1
时，

p< br>

n

n


p
m1



p
m2

...0
，所以命题成立 。

由定理4得出的推论 若p是大于n的任一个素数，则
n!
的 标准分解式为
n!
=

p
pn
nnn
[][< br>2
]......[
k
]
p
pp
，其中
p
k

n<
p
k1
，k

N


4、取整函数[x]以及小数函数{x}的图像及其性质
下面来讨论取整函数（取 整函数）

x

的图像及

x

的图像和 性质。
对于函数
y

x

,如何做出它的图像呢?我们 先来分析一下取整函数

x

的图
像的基本性质和特征。
(1)由
y

x

的性质知

x
的图形在
yx
的图形的下方。
(2) 由
y

x

的性质知

x

的图像是一组阶高为1的平行于
x
轴的平行线段,
这组平行线段呈阶梯形。
可见函数
y

x

是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a)

(a)
定理5 设< br>f(x)x

x

，则
f(x)
是一有界、周期 为1的非单调函数，其图
像如(b)。

关于[x]以及{x}的性质与应用

(b)
以上是取整函数[
x
]以 及{
x
}的一些基本性质，取整函数是非常重要的数学
概念，它的定义域是连续的，值 域却是离散的，取整函数关联着连续和离散两个
方面，因而有其独特的性质和广泛的应用，在极限， 导数 ，积分 ，级数等方
面都有应用，也是数学竞赛中的热点，在数学竞赛中主要考察的是学生解决有 关
取整函数的问题用到的多种数学思想方法
[3]
，其中较为常见的有分类讨论（例如
对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。

5、取整函数[x]以及小数函数{x}在解题中的应用
下面来讨论取整函数[
x
]以及{
x
}的应用及推广。
5.1、取整函数[x]一些基本性质的应用
1
n
[(
n
+1)
x
]
2
例题7 证明[
x
]+[2
x
]+
...
+[
nx
]

证 ：左边=
1
([
x
]+[2
x
]+
...
+[
nx
]+[
x
] +
...
[(
n
-1)
x
+[
nx
])
2
1

n([n][nx])

2
1

n
[(
n
+1)
x
] < br>2
注：此题
[x][nx][xnx]
应用了性质
[x][y ][xy]


例题8 从1到1000的整数中有多少个事11的倍数？有多少个是121的倍数？
解：由于[100011]=90,而[1000121]=8,

所以从1到1000的整数中，11的倍数有90个，121的倍数有8个。
注：此题是定理 3的应用，若
x
>1,m

N，则从1到
x
的整数中，m的 倍数有[
x
m]
个。

5.2、数学竞赛中用多种方法解决取整函数
下面是关于解决取整函数的多种数学方法的例题：
19

20

91

例题9
[4]
若实数
r
使得

rr...r546
，求

100r

。

100100100

解：等式左边共73项，且因< br>注意到
192091
,,...,
都小于1，则每一项为

r

或

r

1
，
100100100
737546738
，故必有

r

7
。进一步有：
73735546
，所以原式左边
从第1项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：
56

57

r7;r8


100

100

r0.568,r0.578

7.43r7.44
注：此题采用了分类讨论法。


23n

例题10 求


的值。

n1

101

[5]
100
解：由题意得：对 于任意的
n

1,2,...,100


由于
101n

1,2,...,100



23n

101n

23n

23n

23(n1)

23(101n)


 ...


101

101

101

n1

101

n
101


又因为
100
23n23n
23

101n

Z,23

101101101

关于[x]以及{x}的性质与应用




23n


23

101n




1

101

101



23n


23
101n






22


101

101



23n



23n


23

101n< br>








< br>
50





101
n 1

101




101


100

23n




225 01100


n1

101

100
注：本题采用了分组凑整的思想


例题11对任意的
n N

，证明：


nn1


4n1



4n2



4n 3



14n3
。令
x

4 n1

1
，则
x
2
4n1

4n 1
证明：首先证明


当
x2m

m Z


时，
x
2
4m
2
4n1，于是
m
2
n1
，那么
x
2
4m
2
4n44n3
，
当
x2m1

mZ


时，
x
2
 4m
2
4m14n1
，
m
2
mn
即< br>m
2
mn1
，
那么
x
2
4

m
2
m

14n54n3
。
 
所以命题成立，也就是：


4n1

4n14 n24n3

4n1

1
。
故：

4n1



4n2



4n3



又：

nn12n1 2n
2
n2n12n4n1


2


nn12n12n
2
n2n12

n 1

4n3


2
4n1nn14n3





nn1



4n1


4n2



4n3

< br>注：本例的证明采用了“两边夹”
[6]
法则。若
xa
且
x a
，则
xa
，我们把这个
结论叫做
“两边夹”法则。


56x

15x7
例题12，解方程




5

8

解：令
15x75n 7

10n39

n

nZ

，则
x
，带入原方程整理得：

n
，

51540

10n39113
n1
，解得：
n
，则
n0,n1
。
403010
7
4
若
n 0
，则
x
；若
n1
，则
x
。
1 5
5
由取整函数的定义有
0
注：本例中方程为

u

v
型的，通常运用取整函数的定义和性质并结合换元法
[7]
求解。

x1

x1

例题13 解方程





4

2

解：由取整函数的性质，得：
1
y
1

x1x1
1
，即
1x7
，令
42
x1x1
, y
1

，在同一坐标系中画出二者的图象：
42
分析两者在区间

1,7

内的图象，

x1

显然，当
x

1,1

时，

0


4


x1

而

1
，方程不成立；当


2


x1

x1



0
；当
x

1,3

时，

42
 

x1

x1


x1
 
x1

；当 时， 而
112
，
x
3,5

时，

x5,7


 


4

2


4

2

方程不成立。
综上所述，原方程的解是：

x1x5

。
注：本例 为

u



v

型方程。首先由
1uv1
，求出
x
的取值区间。但此条件
为原方程成立的充分但不 必要条件，故还须利用
uf

x

和
vg
< br>x

的图象进行

关于[x]以及{x}的性质与应用
分析才能得到正确结果。

例题14，解方程
3x
3
< br>
x

3

解：若
x1
，则
3x
3


x

3xx12x10
，
原方程不成立；
若
1x0
，则
3x
3
< br>
x

3x
3


1

3x
3
11
，原方程不成立；
若
0x1
，则
3x
3


x

3x
3
0 3x
3
3
，
原方程不成立；
若
1x2
， 则
3x
3


x

3x
3
1 .
原方程即为
3x
3
4
；解得：
x
3
若
x2
，则
3x
3


x

 3x
3
x3xx2x4
，原方程不成立；

4


3
所以，原方程的解为：

xx

。
3


4
；
3
注：此题采用的是分区讨论法

p

例题15 证明：若
p
是大于2的质数，则
25

2
p1
被
p
整除。

 

证明：由二项式定理知：对于任意的
pZ,25
因为
 125

p
25
是一个整数，又

p

p
1,25



25

ppp

25

， 于是有：



p

2p24p42


25

2
p1
2

C
p
25C
p
25




C
p 1
p
25
p1
2


,其中
p是质数。因

为
p

p1

p2
C
k!
k
p

pk1

< br>k2,4,,p1

都能被质数
p
整除，所以原命
题成立 。
注：本题采用的是构造法，所谓构造法就是通过建立结构或体系，构造对象或指
出达到某种 目的的方式和途径。

以上是解决取整函数的多种数学方法，不难看出取整函 数为什么成为数学竞赛
中的热点，关于取整函数的题型是多种多样的，而解决的方法也很多，在解决关< br>于取整函数的题目的过程中可以很好的体现出学生对数学的综合运用，取整函数
作为一个初等函数 ，它非常重要，它的应用也非常广，下面我们来对它进行推广，
看看它在数学中在极限 导数 积分 级数的应用。
5.3、取整函数[x]在极限、积分、导数、级数中的应用例题
1
例题16
求极限limx[]
（极限问题）
x0
x
111
解 当x0时，由取整函数的性质得1[];

xxx
1
当x>0时，有1-x
x
1
当x0时，有1xx[]1;

x
11
于是limx[]1，lim1,从而limx[]1。
x0
x0

x0

xx
注：
limf( x)A
，称A为函数
f
当
x
趋于
x
0
时 的极限，此题是含有取整函数的
xx
0
极限问题。

例题17设
f(x)[x]sin

x
，求
f
'

(x)
与
f
'

(x)
。
解 当
kx k1
时，
(k0,1,2,...),f(x)[x]sin

x

当
xk
时，
f(x)0
。因此
x
0
(k,k1)
，有
limf(x)ksin

x
0
f(x
0
)
，所以
xx
0
f(x)
在
(k,k1)
内连续。
又
lim

f(x)lim

ksin

x0f(k),lim

f(x)li m

(k1)sin

x0f(k)
，所以
xkx kxkxk
f(k)
在整数点k也连续。
当
x(k,k1)时，
f
'

(x)f
'

(x)k

cos

x

[x]cos

x

当
xk
时，
f
'

(k)lim
< br>x0
[kx]sin

(kx)0kcosk

(

x)
lim

k

(1)
k
;

x0
xx
类似地有
f
'

(k)

(k1)(1)
k
。

关于[x]以及{x}的性质与应用
注:设函数
yf(x)
在点
x
0
的某领域内有定义，若极限
lim
xx
0f(x)f(x
0
)
存在，则
xx
0
称函数
f
在点
x
0
处可导，并称该极限为函数
f
在点
x
0
处可导，此题是含有取整
函数的求导问题。

例题18 求积分

n
n
0

x

dx
(
n
为有限的自然数).（积分问题）
n
k
k1
k1
解


x

dx
=


0

x

dx
=

(k1)

k1
n
1
=
n(n1)

2
利用以上积分的结果很容易得到

x

的积分,即

0< br>
x

dx
=

0
(x

x

)dx

=

xdx


x

dx

00
nn
nn
1
2
n
1
=
xn(n1)

2
0
2
n
=
2
注：
lim

f

(
i
)x
i


fx(dx)
，这个题是含取整函数的定积分问题，根据
0
i0
a
n1
b
{x}x[x]
也可以积分


x

dx
。
0
n

(1)
[n
例题19 讨论

n
n1

0.5
]
的收敛性（级数问题）

解 因为

n1

(1)
[n
n< br>0.5
]


1
，发散，所以级数非绝对收敛。
n 1
n
[n
0.
]
5
当
kn(k1),k 1
时，
[n]k,(1)
22
(1)
k
保持定号， 所以有
(1)
[n

n
n1

0.5
]

111


(1)(
2

2
...)

(1)
k
u
k

2
kk1(k1)1
k1k1
k


其中
u
k

1112k12k1
，显然，。
...u
k
22222
kk1(k1)1(k1)1k
当k充分大时
u
k
单调递减且
k
时，
u
k
，所以有交错级数的莱布尼兹定
理知

(1)
k
u
k
收敛，从而原始级数条件收敛。
k1

注：此题是含有取整 函数的级数问题，

u
k
u
1
u
2
 ...u
n
。

k1
n
以上就是关于[x]以及{ x}的性质与应用，从中可以看出取整函数应用的广泛
性，以及它在数学领域的重要性，从而也体现出了 研究取整函数的价值。
6、回答引言提出的问题
通过以上对取整函数定义、性质以及应用的 说明，我们可以用取整函数解决引
言部分提出的手机收费问题。
解决这个问题时，需要分别建 立两种手机网络通话费y与通话时间x之间的函
数关系式，再根据每月的通话时间，比较两种函数值的大 小来决定。
x
=20(小时)=1200（分钟）
130手机通话费用y与通话时间
x
（分钟）之间的函数关系为：
y0.54[x],(x0)

y0.54[1200]

648
137、138、139手机通话费用y与通话时间
x
（分钟）之间的函数关 系为：
yk[x]b

y0.40[1200]50

530
所以小明应该选择137、138、139收费方式的网络更合算。

关于[x]以及{x}的性质与应用
7、总结
数学家华罗庚曾 经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学 与生活的精彩描述。
数学提供了有特色的思考方式：抽象化、符号化、公理化、最优化、建立模型 ，
应用这些思考方式能使人们批判的阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。
数学是思维 的工具，数学的抽象性帮助为我们抓住事物的共性和本质，数学赋
予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性 ，数学是思维的体操，它能增强思维的本
领，提高抽象能力、逻辑能力和辩证思维能力。
数学教学与社会生活相互依存，相互融合，数学问题来源与生活。而生活问题
又可用数学知识来解决。
不管对于什么东西，我们都要经历四个步骤去认识它：了解，发现，验证，应
用。本文通过对取 整函数[
x
]以及小数函数{
x
}的定义、性质、图像及其性质以
及 应用的逐一详解，很好的展现了取整函数。从而也完成了《关于[
x
]以及{
x
}
的性质与应用》的论文。

参考文献
[1] 余红兵.浅谈[
x
]以及{
x
}.华东师范大学出版社（M）. 2002年.
[2] 余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究.高等教育出版社（M）.2007年4
月.
[3] 肖果能.初等数学思想方法选讲.湖南教育出版社（J），2001.10
[4] 穆德华.中学数学竞赛辅导讲座;昭通师范高等专科学校学报（J）;1989年
S1期.
[5] 朱立. 取整函数在中学数学竞赛中的应用.大众科学.科学研究与实践
（J）.2008年10期.
[6] 张顺燕.数学的思想方法和应用.北京大学出版社（M），2009.8
[7] 潘承洞,潘承彪.初等数论.北京大学出版社（M）,1992.

关于[x]以及{x}的性质与应用
致 谢

大 学生活一晃而过，回首走过的岁月，真是感慨万千，当我写完这篇论文的
时候，有一种如释重负的感觉， 心里好踏实。

首先要感谢我的指导老师王文武老师，从选题开始他就给了我很多的帮助，
论文题目是老师拟的，老师还介绍了一些参考文献，在修改初稿的时候也提出了
很多不足需要改 正的地方，平时有问题的时候他也会很耐心的帮助我们。就是因
为他耐心负责的态度，让我完成了我的毕 业论文。
其次要感谢我的同学们和给我知识的老师们，虽然我们每个人都在做不同的
事， 但是都彼此给予帮助、鼓励，让我们彼此能完成自己的任务。
最后要感谢一切给予过我帮助的人， 包括我的父母、我的朋友、包括每一个对
我微笑的人，我想心灵的支撑是我们彼此之间最大的鼓励。
我要衷心的对每一个帮助过我的人说声谢谢。