apple笔记本-七一建党节

第18讲 取整计算


知识点拨

任 何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。在数学计算中，有时会略去数字的小数部分 ，
而只取它的整数部分。比如，做一件上衣需要2米布，求5米布能做几件上衣？由5÷2=2.5，取 2.5的整数部分2，得到正
确答案是2件。为了方便，我们引进符号［ ］：［a］表示不超过数a的 最大整数，称为a的整数部分。与+，-，×，÷符号
一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。显然 ，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，
（1）［a］≤a；
（2）a≤［a］＋1；
（3）［a］＋［b］≤［a＋b］；
（4）若a≤b，则［a］≤［b］；
（5）若n是整数，则［ a＋n］=［a］＋n。
同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。

例题精讲

【例1】计算［13÷［π］×4］。
解：［13÷［π］×4］=［13÷3×4］=


【例2】 1000以内有多少个数能被7整除？
分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题 目，现在我们用取整运算来重新计算。1000以内能被7
整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共 有

1

17

=17


3

6


10007



142

142


7



【例3】 求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。

1000

1000

1000

，，个。如果认为答案是这
 
235


1000

三个数相加就 错了。因为有些数即能被2整除又能被3整除，这样的数有个；有些数即能被2整除又能被5整除，

23


1000

1000

这 样的数有个；有些数即能被3整除又能被5整除，这样的数有个.这些数都被重复计算了，应当减去。
 

25

35

分析：由例2知道 ，1~1000中能被2，3，5整除的数分别有
另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍 ，后来又被减了三遍，所以还应当补上。也就是容斥原理。
解：

1000< br>
1000

1000

1000

1000

1000


1000

++-- -+


235232535
235


=500+333+200-166-100-66+33
=734

【例4】1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？
分析：在1～1 000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。用例3的
方法可求出这部分数的个数。1000与这部分数的个数之差即为所求。
解：
1000




【例5】求下式约简后的分母：


1000

100 0

1000








=1000-333-142+47=572

3737




分析与解：因为 6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2
500
×3
50 0
。只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个
因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约 分了。因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因子2，
这样分母中的500 个因子2将被全部约掉。分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等。因为
3
6
=729＜1000＜3
7
＝2187，所以分子的每个因数最多有6个 因子3。
因为在1~1000中，至少有1个因子3的数有
3的数有

10 00

1000

个，至少有2个因子3的数有个……至少有6个因子2


3

3


1000

个，所以分子中因子3的个数为
6


3


1000

1000

1000

1000

1000

1000


2



3



4


5



6

333111 371241498

1

3

3

3

3

3

3

与分母约分后，分母还剩两个因子3。所以，约简后的分母是9。
注意：在上面的计算中，并不需 要真的这样计算。因为式中的分子都是1000，分母依次是3，3
2
，3
3
，…后面一个是前
面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分 舍掉，下同），333除以3等于111，111
除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等 于4，4除以3等于1。于是得到
333＋111＋37＋12＋4＋1=498（个）。
在上面的运算中，当得数小于3时就自然停止，事先不必求出分母最大是3的几次方。





【例6】 在下面的等式中，M，n都是自然数，n最大可以取几？
1×2×3×…×99×100＝12n×M。
分析与解：因为12=2
2
×3，所 以只要求出等号左边有多少个因子2、多少个因子3，这些因子2和因子3能“凑”出多
少个12，问题 就解决了。与例5类似，可求出等号左边因子2和因子3分别有


100

100

100



2


3



50251263197

1


2

2

2

100

100

100



2



3




33

11

3

1

48< br>
1


3

3

3

因为97个因子2与48个因子3最多可以“凑”出48个12，所以n最大是48。

【课后练习】
【1】计算







1


13.8 [3]12

3

【2】请给出三个数a，b，c，使满足：
［a］＋［b］=［a＋b］，［a］＋［c］＜［a＋c］。





【3】在1000～2000中，有多少个数是8的倍数？





【4】500以内有多少个数能被3或者能被5整除？





【5】在 10000以内，既不是 2也不是 3也不是 5的倍数的数有多少个？





【6】K是自然数，且下式是整数，求K的最大值。
7007012000
7
k



【7】求下式约简后的分母：



26262626