美丽签名-自主学习

专题七 取整函数
一、选择题
x为实数，
[x]
表示不超 过
x
的最大整数，则函数
f(x)x[x]
在
R
上为
A．奇函数
【答案】D
【解析】因为
f(x1)x1[x1]x[x]f(x)
，所以函数
f(x)x[x]
是以1为周期的周期函数.
故选D
2.设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
A. [－x] ＝－[x]
C. [x＋y]≤[x]＋[y]
【答案】D
【解析】取x=2. 5,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A错误；[2x]=[5],2[ x]=2[2.5]=4,所以B错误；再取y=2.8，
则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[ y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C错误；故选D.
3.如果对于任意实数
x
，

x

表示不超过
x
的最大整数. 例如
3.27

3
，

0.6

0
.那么
[x][y]
是
B.[2x] ＝ 2[x]
D. [x－y]≤[x]－[y]
B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
xy1
的 （ ）
A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】若
[x][y]
m
，则
mxm 1
，
mym1
，∴
1xy1
即
xy1
，
另外取
x1,y0.9
，则
xy1
，但是[x][y]
，∴
[x][y]
是
xy1
的充分而不必 要条件.
4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数
x
，符号
x
表示“不超过
x
的最大整数”，在数轴上，
当
x
是整数，
x
就是
x
，当
x
不是整数时，
x
是点< br>x
左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，
也叫高斯（Gauss）函数.如
22,1.52,2.52
.


 
求

log
2


111






log
2


< br>log
2



log
2
1

log
2
1



log
2
2



log
2
3


< br>log
2
4


的值为（ ）

432

A
．
0 B
．
-2 C
．
-1 D
．
1
【答案】
C

< br>【解析】
log
2
111
2,2log
2
 1,log
2
1,log
2
10,log
2
21 ,1log
2
32,log
2
42
，
432
由
“
取整函数
”
的定义可得，

1

1

1

logloglog
2
4

2
3

2
2



log
2
1



log
2< br>2



log
2
3



log
2
4



22101121.
故选
C.
5.我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整
数）为“上整 函数”；例如.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时
（包括1小时）收费2元，超过一小时 ，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时
间为小时，则李刚应缴费为（单位： 元）
A．
【答案】
C
【解析】如
元，此时
时，应缴费< br>2
元，此时
排除
D
，故选
C
，，排除
A
、
B
；当时，缴费为
2
B． C． D．
6.遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每
10
人推选一名代表，当 各班人数除以
10
的余数大于
．．
5
时
再增选一名代表.那 么，各班可推选代表人数
y
与该班人数
x
之间的函数关系用取整函数
y[x]
（
[x]
表示不
．
大于
．．
x
的最大整数）可以表示为（ ）
（A）
y[
xx3x4x5
]
（B）
y[]
（C）
y[]
（D）
y[]

10101010
【答案】C
【解析】可以采用 特殊值法，由于已知中当各班人数除以
10
的余数大于
．．
5
时再增 选一名代表，比如当x=56
时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项A,B中代入得 到的结论为5，不符合题意.再看x=55,那
么可知
y[
x5
][6 ]6
，而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排除法选C.
10< br>7.已知当
xR,

x

表示不超过
x
的 最大整数，称
y

x

为取整函数，例如

1, 2

1,

2,3

3
，若
f< br>
x



x

，且偶函数
g
x



x1

1

x0

，则方程
f

f

x


g

x

的所有解之和为（ ）
2
A．1 B．-2 C．
53
D．
53

【答案】D
【解析】设
x0
，则
x0
，又
g(x)
为偶函数，所以
g

x

g

x



x1

1

x1

1
．由
22

f

x



x

，得
f

f

x


[x]
．在同一坐标系中画出< br>f

f

x


与
g(x)
的图象，如图所示．由图知同，
两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为
1,0,3, 4
，当
x0
时，方程
f
22

f
x


g

x

的解是0和1；
当
x0
时，由
g

x



x 1

13
解得
x3
，由
g

x



x1

14
解得
x 15
．综
上，得
f

f

x


g

x

的所有解之和为
013153 5
，故选D．

8.在计算机的算法语言中有一种函数
[x]
叫 做取整函数（也称高斯函数），
[x]
表示不超过
x
的最大整数．例
2
x
1
如：
[2]2,[3.1]3,[2.6]3
．设 函数
f(x)
，则函数
y[f(x)][f(x)]
的值域为 （ ）

12
x
2
A．

0

B．

1,0

C．

1,0,1

D．

2,0


【答案】B
2
x
1 2
x
12
x
112
x
f(x)
，即函数
f(x)
为奇【解析】
f(x)
,且
f(x)12
x
22(2
x
1)2(2
x
1)2(1 2
x
)
函数；又
f(x)
11

11


x


,

；当
f(x)0
时，

f(x)



f(x)

 0
；当
f(x)0
时，不妨设
221

22

f(x)0
，则

f(x)

0
，

f(x)

1
，则

f(x)



f(x)

1
；故选B．
9.
把不超过 实数
x
的最大整数记为
x
，则函数
f(x)

x

称作取整函数，又叫高斯函数，在
1,4

上任取
x，


则

x




2x

的概率为（

）

A
．
1

4
B
．
1

3
C
．
1

2
D
．
2

3
【答案】
D
【解析】当
2≤x
＜
3
时 ，
[x]
＝
[
2x
]
＝
2
；
< br>当
3≤x
＜
4
时，
[x]
＝
3
，< br>[
2x
]
＝
2
；

当
4≤x
＜
4.5
时，
[x]
＝
4
，
[
2x]
＝
2
；

当
4.5≤x
＜< br>5
时，
[x]
＝
4
，
[
2x
]＝
3
．

符合条件的
x
∈
[2
，3
），由长度比可得，
[x]
＝
[
2x
]
的概 率为
故选
B
．

10．定义区间

a,b

、

a,b

、

a,b

、

a,b

的长度均为
dba
，用

x

表示不超过
x
的最大整数，例
如

3.2
3
，

2.3

3
.记

x

x

x

，设
f
x



x


x

，g

x

x1
，若用
d
表示不等式
321

．

523
f

x
g

x

解集区间长度，则
0x3
当时有（ ）
A．
d1
B．
d2

C.
d3
D．
d4

【答案】A
【解析】
f

x


x



x



x

x

x




x
< br>x

x

,由f

x

g
x

,得

x

x

x

x1,
即
22


x

 1

x

x

2
1
,当
x

0,1

时,

x

0
,不 等式的解为
x1
,不符合题意；当
x

1,2

时,

x

1
,不等式无
解,不合题意；当
x 

2,3

时,

x

1
, 不等式可化为
x

x

1
,此时不等式恒成立,所以不 等式解集为
2x3
.综上可得不等式
f

x

g

x

解集区间的长度为
d1
,故选A.
11．对任意正整数n与
整数的个数.则
，
（）.
表示不超过（表示不超过实数x的最大整数）且与n互素的正
A
．
l1 B
．
13 C
．
14 D
．
19
【答案】
C
【解析】由，知所求为1至33中与100互素的数的个数.先去掉所有 的偶数，还剩下17个奇数，
再去掉5的倍数（共三个），从而，所求为14.
12．设
A．
C．
表示不超过x的最大整数，Z表示整数集，方程
B．
的解集为M，则有（）.
D．M与Z互不包含
【答案】
C
【解析】显然，
代入方程得
.
设，令
.
.

而.当时，
，
a=0
，即
.
，所以，
.
于是，
a=0.
当
t=0
时，
因此，
二、填空题
. 故选C.
13.函数
y[x]
称为高斯函数，又称取整函数，对任意 实数
x,[x]
是不超过
x
的最大整数，则函数
y[x]1( 0.5x2.5)
的值域为 .
【答案】

0,1,2,3


【解析】①当-0.5＜x＜0时，y=[x]+1的函数值为0；
②当0≤x＜1时，y=[x]+1的函数值为1；
③当1≤x＜2时，y=[x]+1的函数值为2；
④当2≤x＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；
综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x＜2.5）的值域为{0，1，2，3}.
14.对于任意
xR
，令
[x]
为不大于
x
的最大整数， 则函数
f(x)[x]
称为高斯函数或取整函数．若数列
{a
n
}
满足
a
n
f()
(nN

)
，且数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，则
S
4n
等于 ．
【答案】
2n
2
n

【解析】由定义知
n
4
a
1
0a
2
a
3
,a
4
1a
5
a
6
a
7
,a
8
2 a
9
,a
4n
n
．
，
S
4n
4(12...n1)n2n
2
n
15.
对于实数，平面内，若
称为取整函数或高斯函数，亦即
满足，则
是不超过的最大整数
.
例如：
的取值范围是

．

.
直角坐标
【答案】
(1,5)[10,20)

【解析 】由
[x-1]
2
+[y-1]
2
=4
，得
[x-1]=±2
，
[y-1]=0
或
[x-1]=0
，
[y-1]=±2
然后得到可行域

x
2
+y
2
看作可行域内点到坐标原点距 离的平方．
AO
2
=1
，
BO
2
=5
此时
x
2
+y
2
∈
[1
，
5
）．CO
2
=10
，
DO
2
=20
，
< br>此时
x
2
+y
2
∈
[10
，
20< br>）．

所以
x
2
+y
2
∈
[1，
5
）∪
[10
，
20
）．

16.
[x]
表示不超过
x
的最大整数，则方程
[log
2
][2
【答案】{
x|2x

或
x
5

}
xsinx
]
的解集为___________.
2
【解析】
1sin1，
⑴若
[log][2
x
2
sinx
1
1，2}

2
sinx
2
， < br>[2
sinx
]{0，
2
x

0log
2
1

1x2
]
=0，则

即

，该不等式组的解集为空集；

1sinx0

1si nx0
x

1log
2
2

2x4]
=1，则

即

， 解得
2x

；
0sinx1

1sinx 0

⑵若
[log][2
x
2
sinx
⑶若[log][2
x
2
sinx
x

2log
2
3

4x8
]
=2，则

即

，解得
x
5

.
2

sinx1< br>
sinx1
sinx
综上得方程
[log
2
] [2


x
]
的解集为{
x|2x

或
x
5

}.
2