中秋节诗歌-男人不流泪

2014年六年级数学思维训练：进位制与取整符号


一、兴趣篇
1．将下面的数转化为十进制的数：（1111）
2
，（101 0010）
2
，（4301）
5
，（B08）
16
．
2．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．
3．请将七进制数（403）
7
化成五进制的数，将五进制数（403）
5
化成七进制的数．
4 ．（1）在二进制下进行加法：（101010）
2
+（1010010）
2
；
（2）在七进制下进行加法：（1203）
7
+（64251）
7
；
（3）在九进制下进行加法：（178）
9
+（8803）
9
． < br>5．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果
，是由小到大排列的连续 正整数，那么
，，
所表示的整数写成十进制的
表示是多少？
6．记号（25 ）
k
表示k进制的数，如果（52）
k
是（25）
k
的两倍 ，请写出（123）
k
在十进
制中所表示的数．
7．一个自然数的四进制表 达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这
两个三位数的数码顺序恰好相反．请问： 这个自然数的十进制表示是多少？
8．计算：[27×
9．计算：[
]﹣{27×< br>]+[
}+[3.14]×{3.14}．
]+…+[]+[]．
10．求方程2[x]﹣9{x}=0的解的个数．

二、开拓篇
11 ．（1）请将下面的数转化为十进制的数：（2011）
3
、（7C1）
16
；
（2）请将十进制数101转化为二进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进制
的数．
12．请将三进制数（12021）
3
化成九进制的数，将八进制数 （742）
8
化成二进制的数．
13．（1）在七进制下计算：（326）
7
+（402）
7
、（326）
7
×（402）
7
；
（2）在十六进制下计算：（35E6）
16
+（78910）
16．
14．算式（4567）
m
+（768）
m
=（5446）
m
是几进制数的加法？（534）
n
×（25）
n
=（16 214）
n
是几进制数的乘法？
15．自然数x=（）
10
化为二 进制后是一个7位数（）
2
．请问：x等于多少？
16．一个自然数的七进制表达式 是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这
两个三位数的数码顺序恰好相反．这个自然数 的十进制表示是多少？
17．某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只 含数字0至5，
即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13，1 4，15，20，…．那
么这本书的第365页的页码是多少？
18．如果[x]=3，[y]=0，[z]=1求：
（1）[x﹣y]的所有可能值；
（2）[x+y﹣z]的所有可能值．
第1页（共27页）

19．计算（结果用л表示）：
（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]； （2）[10﹣2π]+[π]×{π}．
20．计算：[]+[]+…+[]+[]．
21．解方程：（1）x+2{x}=3[x]； （2）3x+5[x]﹣49=0．
22．解方程[]+[]+[]+[]=110，其中x是整数．

三、超越篇
23．a、b是自然数，a进制数（47）
a
和易 进制数（74）
a
相等，a+b的最小值是多少？
24．现有一个百位为3的三位数 （十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍
然是三位数．且首位数字分别为4和5．这样 的三位数中最大的是多少？最小的是多少？一
共有多少个？
25．在十进制的表示中，三个依 次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的
表示中，这三个数的数字和是依次减少的．符 合这样要求的等差数列有多少个？
26．现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81 ，243．任意搭配这些筹码（也可
以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加起来，总 和为多少？将这些和从
小到大排列起来，第45个是多少？
27．计算：[]+[]+…+[
]+…+[]．
]+[]．
28．计算 ：[]+[]+[
29．一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2 ，4，8，
16，…，2048这12个数．小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和．
（1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？
（2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？
（3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n，求n的值．
30．（1）在[
（2）在[

]，[
]，[
]，[]，[
]，…，[
]，…，[
]中共出了多少个互不相同的数？
]中共出现了多少个互不相同的数？
第2页（共27页）

2014年六年级数学思维训练：进位制与取整符号

参考答案与试题解析


一、兴趣篇
1．将下面的数转化为十进 制的数：（1111）
2
，（1010010）
2
，（4301）
5
，（B08）
16
．
【分析】根据二进制、五进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可．
【解答】解 ：1111
（
2
）
=1+1×2+1×2+1×2=15；

1010010
（
2
）
=1×2+1×2+1×2=82；

（4301）
5
=1×5+0×5+3×5+4×5=576；

（B08）
16
=8×16+0×16+11×16=2824．

2．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．
【分析】根据把十进制数转化成二进制、七进制、十六进制数的转化方法解答即可．
【解答】解：（1）90÷2=45…0
45÷2=22…1
22÷2=11…0
11÷2=5…1
5÷2=2…1
2÷2=1…0
1÷2=0…1 < br>所以故90
（
10
）
=1011010
（
2
）


（2）90÷7=12…6
12÷7=1…5
1÷7=0…1
所以故90
（
10
）
=156
（
7
）


（3）90÷16=5…10
5÷16=0…5
所以故90
（
10
）
=5A
（
16
）

3．请将七进制数（403）
7
化成五进制的数，将五进制数（4 03）
5
化成七进制的数．
【分析】（1）首先把七进制数（403）
7< br>转化成十进制数，然后再化成五进制的数即可；
（2）首先把五进制数（403）
5
转化成十进制数，然后再化成七进制的数即可．
21
【解答】解：（1）（403）
7
=4×7+0×7+3=196+0+ 3=199
（
10
）
；
199÷5=39…4，
39÷5=7…4，
7÷5=1…2，
1÷5=0…1，
第3页（共27页）

012
0123
46
123

故199（
10
）
=1244
（
5
）
，
所以（403）
7
=1244
（
5
）
；

（2）（403）
5
=4×5+0×5+3=100+0+3=103
（10
）
；
103÷7=14…5，
14÷7=2…0，
2÷7=0…2，
故103
（
10
）
=205
（
7
）
，
所以（403）
5
=205
（
7
）
．

4．（1）在二进制下进行加法：（101010）
2
+（1010010）
2
；
（2）在七进制下进行加法：（1203）
7
+（64251）
7
；
（3）在九进制下进行加法：（178）
9
+（8803）
9
．
【分析】（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”，据此解答即可；
（2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，据此解答即可；
（3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”，据此解答即可．
【解答】解：（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”，
所以（101010）
2
+（1010010）
2
=（1111100）
2
；

（2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，
所以（1203）
7
+（6 4251）
7
=（65454）
7
；

（3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”，
所以（178）
9
+（88 03）
9
=（10082）
9
．

5．用a、b、c、 d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果
，是由小到大排列的连续正整数，那么
表示 是多少？
【分析】五进制中的五个数分别为0，1，2，3，4由于是连续的正整数，且和
， ，
21
所表示的整数写成十进制的
，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，所 以c=4，b=0，a﹣d=1，进
而推算出这5个数的数值各是多少，得出
的方法求解．
【解答】解：由于是连续的正整数，且
化，可知是发生了进位，
因为
又因
﹣
﹣
=1，所以c﹣e=1．
=1，即：
第4页（共27页）

的数值，再根据其它进制化成十进制
，，个位与十位均发生了变

（5a+b）﹣（5d+c）=1，所以5（a﹣d）+（b﹣c）=1；
由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数，
从而可以推知：a﹣d=1，c﹣b=4．
经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有
=4×5+1×53×5，
=4×25+5+3，
=100+5+3，
=108；
答：那么

6．记号（25）
k
表示k进制的数，如果（52）< br>k
是（25）
k
的两倍，请写出（123）
k
在十进
制中所表示的数．
【分析】根据“（52）k是（25）k两倍”，即5k+2=2（2k+5），k =8，可知是两个八进制的数，
再根据k进制数转化成十进制数的方法，即可得出答案．
【解答】解：因为（52）k是（25）k两倍，
即5k+2=2（2k+5），k=8，
（52）
8
=（42）
10
，
（25）
8
=（21）
10
，
2
所以（123）
8
=1×8+2×8+3=（83）
10
；（123）
k
在 十进制中所表示的数是：83．
，
答：

7．一个自然数的四进制表达式 是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这
两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个 自然数的十进制表示是多少？
【分析】根据位置原则设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进 制表达式就是cba，
然后都转化为十进制；列出不定方程式分析解答即可．
【解答】解：设 一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，而且a≠0，
c≠0，a、b、c ≤2，都转化为十进制，列出不定方程为：
22
4a+4b+c=3c+3b+a，
整理得：b=8c﹣15a，
因为，a≠0，c≠0，a、b、c≤2，
所以，a=1，c=2，b=1；
2
自然数的十进制表示是：4a+4b+c=16×1+4×1+2=22；
答：这个自然数的十进制表示是22．

8．计算：[27×]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}．
]=25，[3.14]=3；
所表示的整数写成十进制的表示是108．
21+0
=（413）
5
，
【分析】[x]：表示不大于x的最大 整数，又称高斯取整函数；[27×
{x}：表示x的小数部分；{27×
然后再进一步计算．
【解答】解：[27×]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}
第5页（共27页）

}=，{3.14}=0.14；

=25﹣
=24
=24

+3×0.14
+0.42
．
9．计算：[]+[]+…+[]+[]．
×（1+2++…+15+16）， 【分析】通过观察，每一项都含有
括号内运用高斯求和公式计算即可．
【解答】解：（
=
=
=
）+（
，因此把它提出来，原式变为
）+…+（）+（）
×（1+2++…+15+16）
×
×136

=128

10．求方程2[x]﹣9{x}=0的解的个数．
【分析】2[X]为偶数， 所以9{X}为偶数，由于0≤{x}＜1，所以0≤9{x}＜9，所以9{x}可以
取的值为0，2 ，4，6，8，此时代入原方程可以得到x的解分别为x=0，1+，2+，3+，
4+，据此可以判断 解的个数．
【解答】解：{x}=x﹣[x]
2[x]﹣9{x}=0
2[x]﹣9x+9[x]=0
11[x]﹣9x=0
x=[x]，
所以[x]≤x＜[x]+1
得到0≤[x]＜．
[x]=0，1，2，3，4
代入得：x=0，1+，2+，3+，4+，
即x=0，，，，．
所以原方程有5个解．

第6页（共27页）

二、开拓篇
11．（1）请将下面的数转化为十进制的数：（20 11）
3
、（7C1）
16
；
（2）请将十进制数101转化为二 进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进制
的数．
【分析】（1）根据三进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可；
（2）根据把十进制数转化成二进制、三进制、十六进制数的转化方法解答即可．
【解答】解：（1）（2011）
3
=1×3+1×3+0×3+2×3=58；

（7C1）
16
=11+12×16+7×16=1985；

（2）101÷2=50…1
50÷2=25…0
25÷2=12…1
12÷2=6…0
6÷2=3…0
3÷2=1…1
1÷2=0…1 < br>故101
（
10
）
=1100101
（
2
）


641÷3=213…2
213÷3=71…0
71÷3=23…2
23÷3=7…2
7÷3=2…1
2÷3=0…2
故641
（
10
）
=212202
（
3
）


1949÷16=121…D
121÷16=7…9
7÷16=0…7
故1949
（
10
）
=79D
（
16
）


12．请将三进制数（12021）
3化成九进制的数，将八进制数（742）
8
化成二进制的数．
【分析】（1）进 位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将三进制
数转化为十进制数，再由除K 取余法转化为九进制数即可．
（2）进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数， 先将8进制数转化
为十进制数，再由除K取余法转化为二进制数即可．
【解答】解：（1）（ 12021）
3
=1×3+2×3+2×3+1=81+54+6+1=142
142÷9=15…7
15÷9=1…6
1÷9=0…1
所以142=（167）
9

答：三进制数（12021）
3
化成九进制的数是（167）
9
．
21
（2）（742）
8
=7×8+4×8+2=448+32+2=482
第7页（共27页）

431
2
0123

482÷2=241…0
241÷2=120…1
120÷2=60…0
60÷2=30…0
30÷2=15…0
15÷2=7…1
7÷2=3…1
3÷2=1…1
1÷2=0…1
所以（482）
10
=（111100010）
2

答：八 进制数（742）
8
化成二进制的数是（111100010）
2
．

13．（1）在七进制下计算：（326）
7
+（402）
7< br>、（326）
7
×（402）
7
；
（2）在十六进制下计算 ：（35E6）
16
+（78910）
16
．
【分析】（1）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，据此解答即可；
（2）十六进制下计 算运算规律是“逢十六进一”，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A=10，
B=11，C= 12，D=13，E=14，F=15，据此解答即可．
【解答】解：（1）（326）7+（402）7=（1031）7
（326）7×（402）7=（165255）7
（2）（35E6）
16+（78910）
16
=（7BEF6）
16


1 4．算式（4567）
m
+（768）
m
=（5446）
m
是几进制数的加法？（534）
n
×（25）
n
=（16214）
n
是几进制数的乘法？
【分析】（1）个位数字7+8=15，15减几=6，就是几进制的加法；
（2）个位数字4乘5=20，20减去几等于4，就是几进制的乘法；据此得解．
【解答】解：（1）7+8﹣6=9
答：算式（4567）
m
+（768）
m
=（5446）
m
是九进制数的加法．
（2）4×5﹣4=16
答：（534）
n
×（25）
n
=（16214）
n
是十六进制数的乘法．

15．自然数x=（）
10
化为二进制后是一 个7位数（）
2
．请问：x等于多少？
【分析】首先根据a，b，c出现在二进制的 数位上，所以a=0或1，又因为a出现在十进制
数x的表达式的最高位上，可得a≠0，所以a=1； 然后再把二进制数转化成十进制数，列出
等量关系，求出b、c的值，进而求出x等于多少即可．
【解答】解：因为a，b，c出现在二进制的数位上，
所以a=0或1，
又因为a出现在十进制数x的表达式的最高位上，
可得a≠0，所以a=1；
又因为（）
10
=（）
2
，
65432
所以1× 2+1×2+b×2+c×2+1×2+b×2+c=1×100+10×b+c，
整理，可得8b+8c=0，b、c均为0或1，
解得b=c=0，
则x=（）
10
=100．
答：x等于100．
第8页（共27页）

16．一个自然数的 七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这
两个三位数的数码顺序恰好相反 ．这个自然数的十进制表示是多少？
【分析】设这个七进制表达式是：，那么这个九进制表达式就是： ，把它们都转化
为十进制，列出等量关系式为化简：49a+7b+c=81c+9b+a，然后根据a ，b，c的取值范围求
出a，b，c的值，代入十进制的关系式即可求出这个自然数．
【解答】解：设这个七进制表达式是：，那么这个九进制表达式就是：，
210
（7）=a×7+b×7+c×7=49a+7b+c
210
（9）=c×9+b×9+a×9=81c+9b+a
因为：转化为十进制后都表示同一个自然数，
所以：49a+7b+c=81c+9b+a
化简得：24a=40c+b
b=8（3a﹣5c）
因为a，b，c都小于7，所以在b=8（3a﹣5c）中，（3a﹣5c）只能等于0，即b=0，
3a﹣5c=0
3a=5c
则：a=5，c=3
这样可得：a=5，b=0，c=3
所以这个自然数为：
49a+7b+c
=49×5+7×0+3
=248
答：这个自然数是248．
17．某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5，
即从 第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13，14，15，20，…．那么这本书的第365页的页码是多少？
【分析】1，2，3，4，5，10，11，12，13. 14，15，20，…把它们分组，第一组有5个数1、
2、3、4、5，第二组10、11、12、1 3、14、15共6个数，第三组有20、21、22、23、24、
25共6个数，…除了第一组之外 ，其他组都是6个数一个循环，每组数是连续的个位数字0
﹣5的数字，两组间取最后一个数5、15、 25、…是差为10的等差数列，按照等差数列的规
律求出5到365有多少组，组数乘6加5，即可得 解．
【解答】解：（365﹣5）÷10×6+5
=360÷10×6+5
=36×6+5
=221．
答：这本书的第365页的页码是221．

18．如果[x]=3，[y]=0，[z]=1求：
（1）[x﹣y]的所有可能值；
（2）[x+y﹣z]的所有可能值．
【分析】[]是取整符号，是指舍去小数点后面的数， 不管小数点后面的数有多大，都要舍去，
据此可知[x]=3，那么x取值在3≤x＜4，[y]=0， 那么y取值在0≤y＜1，[z]=1，那么z取值
第9页（共27页）

在1≤z＜2，x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能 值为2，3；x+y﹣z值范围在
1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．
【解答】解：[x]=3，x取值在3≤x＜4
[y]=0，y取值在0≤y＜1
[z]=1，z取值在1≤z＜2
x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3
x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．

19．计算（结果用л表示）：
（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]； （2）[10﹣2π]+[π]×{π}．
【分析】{x}=x﹣[x]，[x]表示取整的符号；
（1）π取整是3，π取小数是π﹣3，相应的{{π}+π}=2π﹣3取小数，即2π﹣3﹣[2π ﹣3]，
{[π]+π}是π+3取小数，是π+3﹣[π+3]，[{π}+π]是2π﹣3取整，[ [π]+π]是π+3取整，拖式
计算，前后取整抵消，即可得解；
（2）[10﹣2 π]取整是10﹣6.28取整即3，[π]是3，{π}是π﹣3，拖式计算，即可得解．
【解答】解：（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]
={π﹣[π]+π}+{[π]+π}+[π﹣[π]+π]+[[π]+π]
={2π﹣3}+{π+3}+[2π﹣3]+[π+3]
=2π﹣3﹣[2π﹣3]+π+3﹣[π+3]+[2π﹣3]+[π+3]
=3π

（2）[10﹣2π]+[π]×{π}
=[3.72]+[π]×（π﹣[π]）
=3+3×（π﹣3）
=3+3π﹣9
=3π﹣6

20．计算：[
【分析】[
[
]+[]+ …+[]+[
]=[1.12]=1，[
]．
]=[1.68]=1，[]=[2. 24]=2，]=[0.56]=0，[
]=[2.8]=2，…
分别求出各个分数的整数部分，然后求和，即可得解．
【解答】解：[]+[]+…+[]+[]
=0+1+1+2+2+3+3+4+5+5+6 +6+7+7+8+8+9+10+10+11+11+12+12+13+14+14+15+15+16+1 6+1
7+17+18+19+19+20+20+21+21+22
=[（1+22）×22÷2]×2﹣（4+9+13+18+22）
=506﹣66
=440

21．解方程：（1）x+2{x}=3[x]； （2）3x+5[x]﹣49=0．
第10页（共27页）

< br>【分析】若[x]表示不超过x的最大整数，若x为实数，记{x}=x﹣[x]（表示不超过x的最大< br>整数），由此探讨解出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵{x}=x﹣[x]，x+2{x}=3[x]，
∴x+2（x﹣[x]）=3[x]，
∴5[x]=3x，
∴[x]=，
∴x能被5整除，
显然此处x=0或x=，否则x和[x]不相等．
（2）令[x ]=n，代入原方程得3x+5n﹣49=0，即x=
又∵[x]≤x＜[x]+1，
∴n≤＜n+1．
＜n≤，
．
整理得3n≤49﹣5n＜n+1，
∴n=6．
代入原方程得3x+5×6﹣49=0，解得x=
经检验，x=

22．解方程[]+[]+[]+[
是原方程的解．
．
]=110，其中x是整数．
【分析】[x]表示不超过x 的最大整数则[x]包含在[x，x+1]，进一步利用这个性质分析解决
问题．
【解答】解：[x]表示不超过x 的最大整数
则[x]∈[x，x+1]要利用这个性质
则有：x+﹣1+﹣1+﹣1≤[]+[]+[]+[]≤x++1++1+
+3，
+1，
原等式化为不等式：x+++﹣3≤110≤x+++
解得x可以为[60. 57，63.96]所以x只可能在：61，62，63之中，
代入后可以得出：x=63．

三、超越篇
23．a、b是自然数，a进制数（47）
a
和易 进制数（74）
a
相等，a+b的最小值是多少？
【分析】由题意可知：a≥8；b ≥8且4a+7=7b+4，化简得7b﹣4a=3，进一步分析探讨得出答
案即可．
【解答】解：由题意可知：a≥8；b≥8，且a＞b，
4a+7=7b+4，化简得7b﹣4a=3，
当b=8无解，
当b=9，得出a=15，
第11页（共27页）

所以a+b=24．
答：a+b的最小值是24．

24．现有一个百 位为3的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍
然是三位数．且首位数字分别 为4和5．这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？一
共有多少个？
【分析】根据每一 个进制的最高位数字的情况，注意分析探讨数字的取值情况，进一步得出
答案即可．
22
【解答】解：10进制的，那么必须在3×10和4×10之间，300﹣399都满足．
22
9进制的开头是4，那么必须在4×9和5×9之间，那么在324和404范围内．
22
8进制，那么必须在5×8到6×8之间，就是在320和383之间取值．
综上所述，取值必须在324到383之间．
所以这样的三位数中最大的是383，最小的是324，一共是383﹣324+1=60个．
答：这样的三位数中最大的是383，最小的是324，一共是60个．

25． 在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的
表示中，这三个数 的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个？
【分析】设出这三个数分别为X、X+6 、X+6+6．进一步由五进制数的特点，分情况探讨得
出答案即可．
【解答】解：设三个数分别为X、X+6、X+6+6．
两位数化为五进制数，最小20，最 大400，也就是这三个数的五进制数必然是2位或3位．最
小的数必然是2位．
设其五进制 数形式后两位为AB，则根据题意“在五进制的表示中，这三个数的数字和依次
减少”知
AB+11时发生一次进位，AB+22 时发生两次进位．
【由十进制加法，进位1次，数字和少9得到的推论】
因此有：
①AB+11进位在A上，AB+22进位在A、B上：
B+1＜5，B+2≥5，B=3
A+1＞5，A＜5，A=4
则由[43]5=23、[143]5=48、[243]5=73、[343]5=98（舍弃）
得这三个数可能是
23、29、35；
48、54、60；
73、79、85．
②AB+11进位在B上，AB+22进位在A、B上：
B＜5，B+1≥5，B=4
A+1+1＜5，A+2+1≥5，A=2
则由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=64、[324]5=89（舍弃）
得这三个数可能是
14、20、26；
39、45、51；
64、70、76；
综上共有6组：
第12页（共27页）

23、29、35；
48、54、60；
73、79、85．
14、20、26；
39、45、51；
64、70、76．

26．现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，2 7，81，243．任意搭配这些筹码（也可
以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加 起来，总和为多少？将这些和从
小到大排列起来，第45个是多少？
6
【分析】每个 筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有2=64种可能，除去6个筹码都
不取的情况，即64 ﹣1=63种不同的和．64种可能的取筹码的方法中，包含筹码1的会是
32次（一半的可能性），所 以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也一样，都是要被算
32次．所以“和的总和”是所有这些筹 码的和，再乘以32，就是（1+3+9+27+81+243）
×32=364×32=11648；
5
从小到大排列，那么先就不取243，前面5个筹码，可以取的方法共有 2=32种．还差 13
个．下面得取243了，先取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：< br>243+1，243+3，243+1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1 +3+9；还要再取5个．再下
面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+ 3，243+27+1+3，243+27+9，243+27+9+1=208
（也就是第45个是2 80）．
【解答】解：每个筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有2=64种可能，除去6 个筹
码都不取的情况，即64﹣1=63种不同的和．
包含筹码1的会是32次（一半的可能 性），所以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也
一样，都是要被算32次．所以这些筹码的和是（ 1+3+9+27+81+243）×32=364×32=11648；
从小到大排列，那么先就不 取243，前面5个筹码，可以取的方法共有2=32种．45﹣32=13
个．下面得取243了，先 取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：
243+1，243+3，243 +1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1+3+9；
还要再取5个．再 下面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+3，243+27+1+3，243+ 27+9，
243+27+9+1=208；
也就是第45个是280．

27．计算：[]+[]+…+[]+[]．
+++…+），
5
6
【分析】因为每个分数中都有13，因此把13提出来，原式变为13×（
这样括号内为同分母分数的计 算，分子部分相加时，运用高斯求和公式计算即可．
【解答】解：（
=13×（
=13×
=13×
+++…


第13页（共27页）

）+（
+）
）+…+（）+（）

=
=2158


28．计算：[]+[]+[
0
]+…+[
123
]．
10
【分析】原式=×（2+2+2+2+…+2）
设s=2°+2+2+2+…+2，则2s=2+2+2+…+2
1111
所以2s﹣s=2﹣1，因此s=2﹣1，求出结果即可．
【解答】解：[]+[]+[
=×（1+2+2+2+…+2）
=×（2+2+2+2+…+2）
s=2°+2+2+2+…+2，则2s=2+2+2+…+2
1111
所以2s﹣s=2﹣1，因此s=2﹣1=2048﹣1=2047．
所以 ：[]+[]+[
0123
1231012311
012310
23101231012311
]+…+[]
]+…+[
10
]
=×（2+2+2+2+…+2）
=2047×
=

29． 一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，
16，…，2 048这12个数．小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和．
（1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？
（2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？
（3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n，求n的值．
【分析】（1）和为2 008最多抽取的牌数，那么抽取的数越小就越多张牌，总共24张牌，最
多可抽取17张，（1+2+ 4+8+16+32+64+128+256+512）×2=2046，2046﹣2008=38，32+2 +4=38
（2）这道题是一个组合问题．每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根
据二进制，不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不 抽的话，
是0），且组合方式唯一．某种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方
式和为（183﹣a）也就唯一确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的
方法数是一一对应的．0﹣183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法．
（3）很 显然有3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽1，1，红2，黑2，则与这相对应
的就是抽出牌以后剩 下的和为2的数．据此解答．
【解答】解：（1）（1+2+4+8+16+32+64+128+2 56+512）×2=2046，共20张牌，
2046﹣2008=38，32+2+4=38，三张牌的和是38，则可抽取的张数是
20﹣3=17（张）
第14页（共27页）

答：小梁最多能抽取17张牌．

（2）每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根据二进制，不大于 183 的
每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一．某
种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方式和为（183﹣a）也就唯一
确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的．0﹣
183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法．
答：小梁共有184种抽牌的方法．

（3）3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽红1黑1；红2；黑2，则与这相对应的就是
抽出牌以后剩下的和为2的数．
（1+2+4+8+16+32+64+428+256+512+1024+2048）×2﹣2
=4095×2﹣2
=8190﹣2
=8188
答：n是2或是8188．

30．（1）在[
（2）在[
]， [
]，[
]，[
]，[
]，…，[
]，…，[
]中共出了多 少个互不相同的数？
]中共出现了多少个互不相同的数？
【分析】（1）找出分界点，找分 子两数之差是否大于2008的1.5倍，超过1.5倍就会隔一个
22
整数出现，比如分界点 为1506，那么分子在1506之前，每个整数都出现，1506之后，隔
一个才出现一次．
（2）找出分界点，分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个不同的整数，这之后
会取整都是0．
【解答】解：（1）找分子两数之差是否大于2008的1.5倍，超过1.5倍就会 隔一个整数出现，
22
比如分界点为1506，那么分子在1506之前，每个整数都出现，1 506之后，隔一个才出现
一次．因此共出现1506+1506÷2=2259个不同的整数． （2）分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个不同的整数，这之后会取整都是0，因此共有1001个不同的整数．

第15页（共27页）

参与本试卷答题和审题的老师有：奋斗；ZGR；zhuyum； xuetao；zlx；齐敬孝；晶优；duaizh；
旭日芳草；73zzx；lqt（排名不分先后 ）
菁优网
2016年5月22日
第16页（共27页）

考点卡片


1．整数、分数、小数、百分数四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b=b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c=a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b=b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c=a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）=ac+bc < br>④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两
个数加起 来再乘这个数．如ac+bc
=a×（b+c）
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c=a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b=
（ an）÷（bn）=（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c=a﹣（b+c）

运算顺序：同级运算，从左往右依次运算，两级运算，先算乘除，后算加减；有括号的，先< br>算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算大括号里面的，最后算括号外面的．

【命题方向】
常考题型：
例：计算
（1）3.41÷2×5.875﹣（21
）×2
﹣19.18）
+12.5%）÷（2÷9）]． （2）[（13.75﹣7]÷[（1
分析：本题根据四则 混合运算的运算顺序计算即可：先算乘除，再算加减，有括号的要先算
括号里面的．
（1）的 计算过程中可利用一个数减两个数的差，等于用这个数减去两个数中的被减数，加
上减数的减法性质计算 ．
（2）可根据一个数除以两个数的商等于除以这两个数中的被除数乘以除数的除法性质计算． 解：（1）3.41÷2
=
=6
×
+19
×
×5.87 5﹣（21
﹣19
﹣19.18）
﹣（21
﹣21，
），
第17页（共27页）

=26﹣21
=4

；
，
（2）[（13.75﹣7< br>=[（13﹣7
=[
=
×
×
]÷[
××
）×
÷
）×2
]÷[（1
]，
，
]÷[（1+12.5%）÷（2÷9
×）]，
）]
+）÷（
=3．
点评：本题中数据较为复杂，完成时要细心，注意小数、分数之间的互化及通分约分．

2．含字母式子的求值
【知识点归纳】
在数学中，我们常常用字母来表示一个数， 然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．通
常我们所谓的求解x的方程也是含字母式子的求值．如 x的4倍与5的和，用式子表示是
4x+5．若加个条件说和为9，即可求出x=1．

【命题方向】
常考题型：
例1：当a=5、b=4时，ab+3的值是（ ）
A、5+4+3=12 B、54+3=57 C、5×4+3=23
分析：把a=5，b=4代入含字母的式子ab+3中，计算即可求出式子的数值．
解：当a=5、b=4时
ab+3
=5×4+3
=20+3
=23．
故选：C．
点评：此题考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值 代入式子，进而求出式子的数
值；关键是明确：ab表示a×b，而不是a+b．

例2：4x+8错写成4（x+8）结果比原来（ ）
A、多4 B、少4 C、多24 D、少6
分析：应用乘法的分配 律，把4（x+8）可化为4x+4×8=4x+32，再减去4x+8，即可得出答
案．
解：4（x+8）﹣（4x+8），
=4x+4×8﹣4x﹣8，
=32﹣8，
=24．
第18页（共27页）

答：4x+8错写成4（x+8）结果比原来多24．
故选：C．
点评：注意括号外面是减号，去掉括号时，括号里面的运算符合要改变．

3．方程的解和解方程
【知识点归纳】
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
求方程的解的过程，叫做解方程．

【命题方向】
常考题型：
例1：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做（ ）
A、方程 B、解方程 C、方程的解 D、方程的得数
分析：根据方程的解的意义进行选择即可．
解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
故选：C．
点评：此题主要考查方程的解的意义．

例2：x=4是方程（ ）的解．
A、8x÷2=16 B、20x﹣4=16 C、5x﹣0.05×40=0 D、5x﹣2x=18
分析：使方程的左右两边相 等的未知数的值，是这个方程的解，把x=4代入下列方程中，
看左右两边是否相等即可选择．
解：A、把x=4代入方程：左边=8×4÷2=16，右边=16；左边=右边，所以x=4是这个方程的< br>解；
B、把x=4代入方程：左边=20×4﹣4=76，右边=16；左边≠右边，所以x= 4不是这个方程的
解；
C、把x=4代入方程：左边=5×4﹣0.05×40=20﹣2= 18，右边=0；左边≠右边，所以x=4不是
这个方程的解；
D、把x=4代入方程：左边 =5×4﹣2×4=12，右边=18；左边≠右边，所以x=4不是这个方程的
解；
故选：A．
点评：将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．

4．分数的巧算
【知识点归纳】
分数运算符合的定律．
（1）乘法交换律 a×b=b×a
（2）乘法结合律 a×（b×c）=（a×b）×c
（3）乘法分配律 a×（b+c）=a×b+a×c；a×（b﹣c）=a×b﹣a×c
（4）逆用乘法分配律 a×b+a×c=a×（b+c）；a×b﹣a×c=a×（b﹣c）
（5）互为倒数的两个数乘积为1．
除法的几个重要法则
（1）商不变性质
被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即
第19页（共27页）

a÷b=（a×n）÷（b×n） （n≠0）
a÷b=（a÷m）÷（b÷m） （m≠0）
（2）当n个数都除以同一个数后再加减时， 可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也
成立（也可称为除法分配律）．如：
（a±b）÷c=a÷c±b÷c； a÷c±b÷c=（a±b）÷c．

【命题方向】
常考题型：
例1：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）等于 ．
分析 ：此题如果按部就班地进行计算，计算量可想而知，所以要寻求巧算的方法，此题可利
用乘法结合律进行 简算．
解：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+
=[（1+）×（1+） ×…×（1+
=[××…×
=
=
×
．
．
，
]×[××…×
）×（1﹣），
）]， ）]×[（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣
]，
故答案为：
点评：此题考查了学生乘法结合律的知识，以及巧算的能力．

例2：
A、 B、 C、
的值是多少．（ ）
D、
分析：通过观察，每个分数的分母中的两个因数相差3，分子都 是3，于是可把每个分数都
可以拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求得结果．
解：
=（﹣）+（﹣）+（﹣
=﹣
=；
，
）+（﹣）+（
，
﹣）+（﹣），
故选：B．
点评：解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简算的目的．


第20页（共27页）

【题方法点拨】 < br>分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数
化假分 数、带分数拆分等方法达到巧算的目的．
1、把同分母的分数凑成整数．
a．先去括号；b ．利用交换律把同分母分数凑在一起；c．利用减法性质把同分母分数凑在
一起．
2、分数乘 法中，利用乘法交换律，交换数的位置，以达到约分的目的；利用乘法结合律，
以达到约分的目的，从而 简算．
3、分数混合运算中有除法，先将除法转化为乘法，然后再利用乘法的分配律的方法来计算以达到凑整的目的．
4、懂得拆分．

5．高斯取整
【知识点归纳】
①不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT（x）．
②x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}．
③需要注意的是，对于负数，[x]指的并不 是x小数点左边的部分，{x}指的不是x小数点右
边的部分，例如对于负数﹣3.7，[﹣3.7]= ﹣4，而不是﹣3，此时{x}=﹣3.7﹣（﹣4）=0.3，
而不是﹣0.7．

性质1：对任意x∈R，均有x﹣1＜[x]≤x＜[x]+1．

【命题方向】
经典题型：
例1：[x]表示取数x的整数部分，比如[6.28]=6，若x=9.42， 则[x]+[2x]+[3x]= 55 ．
分析：完成本题只要先算出2x，3x的值是多少，然后 再据取整的意义求出[x]+[2x]+[3x]的
值即可．
解：因为2x=9.42×2=18.84，3x=28.26则：
[x]+[2x]+[3x]
=[9.42]+[18.4]+[28.26]
=9+18+28，
=55．
故答案为：55．
点评：完成本题要注意 取整并不是据四舍五入取近似值，而是直接将小数部分舍去，只取整
数部分．

例2 ：用{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分．如{2，3}=0.3，[2，3]=2．若a+[ b]=15.3，
{a}+b=7.8，则（ ）
A、a=7.5，b=8.3 B、a=8.3，b=7.5 C、a=8.5，b=7.3 D、a=7.3，b=8.5
分析：由于{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分，又a+[b]=15.3，则[b] 为整数，
所以a的小数部分为0.3，所以，{a}=0.3；而{a}+b=7.8，所以b=7.8 ﹣0.3=7.5，[b]=7，所以，
a=15.3﹣7=8.3．
解：由a+[b]=15.3可知a的小数部分为0.3，
所以{a}=0.3；而{a}+b=7.8，
第21页（共27页）

则b=7.8﹣0.3=7.5，[b]=7，
所以，a=15.3﹣7=8.3．
即a=8.3，b=7.5．
故选：B．
点评：完成本题的关键是要注意分析题意，弄清不同符号所表示的意义．

6．页码问题
【知识点归纳】
页码问题常见的主要的有三种题型：
（1 ）一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，
求这本书有多少 页；
（2）已知一本N页的书中，求某个数字出现多少次；
（3）已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页．

【命题方向】
经典题型：
例1：小张手中拿着一份杂志，不经意间从中掉出一张纸，这才发现装订的订书针 脱落了，
捡起这张纸发现第8页和第21页在同一张纸上，请你判断一下，这份杂志共有（ ）
A、27页 B、28页 C、29页 D、以上答案都不对
分析：由于捡起这张纸发现第8页和第21页在同一张纸上，第8页前面还有7页 ，根据书
的装订方法可知，与之相对应的21后面也应有7页，则这份杂志共有21+7=28页．
解：21+（8﹣1）
=21+7，
=28（页）．
答：这份杂志共有28页．
故选：B．
点评：了解书的装订方法与规律是完成本题的关键．

常考题型：
例2：一本书中间的某一张被撕掉了，余下的各页码数之和是1133，这本书有（ ）页．
A、46 B、48 C、50 D、52
分析：一本书中间的某一张被撕掉了，这两页的页码数字和应为奇数．余下的各页码数之和< br>是1133，所以这本书的页码总和为偶数．设这本书n页，则n（n+1）÷2≥1133，可推出n= 48．
解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是
1+2+…+n=（n+1），
由题意可知，（n+1）＞1133，
由估算，当n=48时，（n+1）=×48×49=1176．
所以，这本书有48页．
故选：B．
点评：根据等差数列公式列出关系式进行分析是完成本题的关键．

第22页（共27页）

【解题方法点拨】
（ 1）一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，
求这本书有多 少页；
方法一：l～9 是只有9个数字，10～99 是2×90=180个数字，100～999 是3×900=2700 个
数字．
方法二：假设这个页数是A页，则有A个个位数，每个页 码除了1﹣﹣9，其他都有十位数，
则有A﹣﹣9个十位数，同理：有A﹣﹣99个百位数．则：A+（ A﹣9）+（A﹣99）=270，
3A﹣110+2=270，3A=378，A=126
方法三：公式法，公式：一本书用了N个数字，求有多少页+36．则+36=126．

7．二进制数与十进制数的互相转化
【知识点归纳】

【命题方向】
常考题型：
例1：二进制与十进制的互化：（21）
10
= 10101
2
（110110）
2
= 54
10
．
分析：（1）十进制化成二进制：利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以
2，直到 商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
（2）二进制化成十进制：用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可得到答案．
解：（1）21÷2=10…1，
10÷2=5…0，
5÷2=2…1，
2÷2=1…0，
1÷2=0…1；
所以（21）
10
=（10101）
2
；

（2）（110110）
2
，
543210
=1×2+1×2+0×2+1×2+1×2+0×2，
=32+16+0+4+2+0，
=（54）
10
；
故答案为：10101，54．
点评：本题考查的知识点是不同进制之间的转换，其中其它进 制转为十进制方法均为累加数
字×权重，十进制转换为其它进制均采用除K求余法．

【解题方法点拨】
1．十进制转化为二进制：对于整数部分，用被除数反复除以2，除第一次 外，每次除以2
均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数．另外，所得到的商的最后一位 余
数是所求二进制数的最高位．
2．二进制转化为十进制：二进制数转换为十进制数
二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方，第2位的权值是2的2
次方…

8．二进制的运算
第23页（共27页）

【知识点归纳】
二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似．最常用的是加 法运算和乘法
运算．
加法：
有四种情况：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10，0 进位为1
如求 1011（2）+11（2）的和

乘法：
有四种情况：0×0=0，1×0=0，0×1=0，1×1=1．
减法：0﹣0=0，1﹣0=1，1﹣1=0，0﹣1=1．
除法：0÷1=0，1÷1=1．

【命题方向】
常考题型：
例1：计算二进制数的加减法：
（1）110
（
2
）
+1 11
（
2
）
；
（2）1001
（
2
）< br>﹣111
（
2
）
；
（3）1010
（
2< br>）
+1101
（
2
）
+1111
（
2
）
．
分析：（1）（2）按照二进制加减法的计算法则求解；
（3）按照从左到右的顺序计算．
解：（1）110
（
2
）
+111
（
2
）
=1101
（
2
）
；

（2）1001
（
2
）
﹣111
（
2< br>）
=10
（
2
）
；

（3）1010（
2
）
+1101
（
2
）
+1111
（
2
）
，
=10111
（
2
）
+111 1
（
2
）
，
=100110
（
2
）
．
点评：本题考查的知识点是二进 制的加法，减法，注意：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10解答
本题的关键．

【解题方法点拨】
1、二进制加法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要求数位对齐，从 低位到遍位依次
运算，但“满二进一”．
2、二进制减法算式和十进制写法一样，算法也一样 ，也要数位对齐，从低位到高位依次运
算，相同数位上的数不够减时，向高一位借，但“借一当二”．

9．其它进制问题
【知识点归纳】
第24页（共27页）

除了二进制还有八进制、十六进制，定义和运算方式和二进制几乎相同，只是 十六进制由0
﹣9，A﹣F组成，字母不区分大小写．与10进制的对应关系是：0﹣9对应0﹣9；A ﹣F对
应10﹣15；N进制的数可以用0﹣﹣（N﹣1）的数表示超过9的用字母A﹣F．

【命题方向】
常考题型：
例1：填空
（1）（21）
10
=（ 210 ）
3

（2）（184）
10
=（ 504 ）
6

（3）（153）
10
=（ 306 ）
7

（4）（103）
10
=（ 403 ）
5
．
分析：把十 进制的数转换为其他进制的数的方法是：把要转换的数，除以其它进制，得到商
和余数．然后用得到的商 除以其它进制，直到商为0为止．再将所有余数倒序排列即可．
解：（1）21÷3=7…0，
7÷3=2…1，
2÷3=0…2，
把所有余数倒序排列，即：210．
所以：（21）
10
=（ 210）
3
．
（2）184÷6=30…4，
30÷6=5…0，
5÷6=0…5，
把所有余数倒序排列，即：504．
所以：（184）
10
=（ 504）
6
．
（3）153÷7=21…6，
21÷7=3…0，
3÷7=0…3，
把所有余数倒序排列，即：306．
所以：（153）
10
=（ 306）
7

（4）103÷5=20…3，
20÷5=4…0，
4÷5=0…4，
把所有余数倒序排列，即：403．
所以：（103）
10
=（ 403）
5
．
故答案为：①210；②504；③306；④403．
点评：此题考查了把十进制的数转换为其他进制的数问题，重点掌握转换的方法．

【解题方法点拨】
对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．

10．数字和问题
【知识点归纳】
题型：给出一个多位数的各位的数字之和，然后 以一定的方式改变数字的位置，再次得到一
个数．告诉新得到的数字和原来的数字之差或者之和，求算原 来的数字．

第25页（共27页）

【命题方向】
常考题型：
例1：5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是
（ ）
A、360 B、340 C、350 D、无法求出
分析：根据“5个连续自然数的和是315”，先求出这5个连续自然数，那么紧接在这 5个自
然数后面的5个连续自然数也就出来了，求和即可．
解：5个连续自然数的和是315 ，那么中间的数是315÷5=63，这5个连续的数是61、62、
63、64、65；
紧 接在这5个自然数后面的5个连续自然数分别是66、67、68、69、70，和为：
66+67+6 8+69+70=340．
故选：B．
点评：此题考查学生对连续自然数的求法，对于此类问题一般应先求出中间数．

经典题型：
例2：将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得 苹果个数最
多的小朋友，至少得到几个苹果？
分析：本题可更理解为把100最多能分解为多 少个不同加数的和，就先找到10个小朋友平
均每人分几个100÷10=10个，因为10是偶数，所 以中间两个是9和11，故
100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，共有10个 加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所
以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
解：100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，
因为共有10个不同的加数．
所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
点评：完成本题要注意抓住“苹果个 数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分
析解答．

【解题方法点拨】
解决方法：使用一元一次方程的方法，将整数拆成1，10，100的关于 未知数的和．然后进
行相减或者相加，即可解出未知数x．

11．排列组合
【知识点归纳】
排列组合的综合应用具有一定难度．突破难点的关键：首先必须准确、透彻的 理解加法原理、
乘法原理；即排列组合的基石．其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列 、
组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔
细推 敲认真分析．有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握．

【命题方向】
经典题型：
例1：教务处编排某班某日上午的课程表（上午只上5节课）．该班拟安排语文、 数学、英
语、科学和体育（每科只上一节课），但规定体育不安排在第一节课．问安排的课程表可能有几种？
第26页（共27页）

分析：第一节课 是从除体育外的4科中选择一科，有4种不同的选择方法；第二节从剩下的
4科中选择1科，也有4种选 择方法，第三节从剩下的3科中选择1科，有3种选法；第四
节从剩下的2科中选择1科，有1种选法； 第五节就是剩下的1科，有1种选法；根据乘法
原理它们的积就是全部的选择方法．
解：4×4×3×2×1，
=16×3×2×1，
=96（种）；
答：安排的课程表可能有96种．
点评：分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足： 必须并且只需连续完成这n个步
骤，这件事才算完成．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开 始计算之前要进行
仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．

例2：如图中 A、B、C、D、E 五个区域，以红、黄、蓝三色去涂，相邻区域涂上不同颜
色，共有多少种涂法？
分析：首先， 可以将红、黄、蓝任一颜色去涂A区．由于B、C区与A相连，而B、C两
区也相连，所以可选的颜色B 区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上
可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法 着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A=3，
B=2，C=1，D=1，E=1，运用乘法原理即可解 决问题．
解：将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有
2种，但这 样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A=3，B=2，C=1，
D=1，E=1．
共有涂法：3×2×1×1×1=6（种）．
答：共有6种涂法．
点评：解答此题 的关键是通过题意，进行分析，首先将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，然
后逐步推出A、B、C、D、E 可涂上的颜色数目，解决问题．


第27页（共27页）