千刀万剐唐僧肉-我们毕业的夏天

2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

1．若

1
2．若实数a，b满足
aabb
2
20
，则a的取值范围是 _________________.
2

abab
20， 10
，则的值为 ______________.
bcbc
3．如图，在四边 形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=
23
，BC=
422，
CD＝
42
，则AD边的长为________________.

4．在一列数
x
1
，x，，x
3
……中，已知
x< br>1
1
，且当
2
k≥2时，


k1
k2


，（取整符号

a

表示不超过实数
a
的最大整数，例
x
k
x
k1
14








4

4


如

2.6

2< br>，

0.2

0
），则
x
2010
等于____________.

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形AB CD的顶点坐标分别为A（1，1），
B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一 点P（0，2）绕点A旋转180°
得点P
1
，点P
1
绕点B旋转1 80°得点P
2
，点P
2
绕点C旋转180°得点P
3
，点 P
3
绕点
D旋转180°得点P
4
，……，重复操作依次得到点P< br>1
，P
2
，…， 则点P
2010
的坐标是
______________.


6．已知非零实数a，b 满足 < br>2a4b2(a3)b
2
42a
，则
ab
等 于______.

7．菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一 点，且OA＝a，OB＝OC＝OD
＝1，则a等于____________.
8．已知a ＝
5
－1，则2a
3
＋7a
2
－2a－11 的值等于 ．

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0 ，0），
A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点 M（2，
3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式
是 ．

10．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的< br>垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD
＝CF，则

11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它
安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、 后轮
胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将
能行驶 km ．

12．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段A B的
延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A
AE< br>
．
AD
AH
分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ．
AB

13．已知
a
1
，a2
，a
3
，a
4
，a
5
是满足条件
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5< br>9
的五个不同的整数，
若
b
是关于x的方程

x a
1

xa
2

xa
3
xa
4

xa
5

2009
的整数根 ，则
b
的
值为 ．

14．如图，在△AB C中，CD是高，CE为
ACB
的平分线．若AC＝15，BC＝20，
CD＝12 ，则CE的长等于 ．


二、解答题（共3题，每题20分，共60分）
15．设实数a，b满足：
3a2
10ab8b
2
5a10b0
，求
u
9 a
2
72b2
的最小值.
















16．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD平分
∠
BAC交⊙O 于点D，DE
⊥
AC
交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F .
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE = 3，⊙O的半径为5，求BE的长.

17．如图，给定锐角三角形ABC，BCCA
，AD，BE是它的两条高，过点
C
作△
ABC的外接圆的切 线
l
，过点D，E分别作
l
的垂线，垂足分别为F，G．试比较线
段 DF和EG的大小，并证明你的结论．

2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛参考答案
一、填空题
a
1
ab
b
201210
1．解：由题设得． 
bc
1
c
1
1
11
b10
1
2．解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
b
2
aba2 0

2
1
＝(a)
2
41(a2)
≥0, 解得a≤
2
或 a≥4．
2
3． 解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得BE=AE =
6
，CF＝
22
，DF＝2
6
，
于是 EF＝4＋
6
．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定
理得
AD
(46)
2
(6)
2
(224)
2
＝
2 26
．


k1

k2


4． 解：由
x
1
1
和
x
k
x
k1
1 4


可得






4

4


x
1
1
，
x
2
2
，
x
3
3
，
x
4< br>4
，
x
5
1
，
x
6
2，
x
7
3
，
x
8
4
，……
因为2010=4×502+2，所以
x
2010
=2．
5． 解 ：由已知可以得到，点
P
1
，
P
2
的坐标分别为（2，0） ，（2，
2
）．
记
P（ b
2
)
，其中
a
2
2,b
2
2
．根据对称关系，依次可以求得：
2
a
2
，
P2－b
2
)
，
P
4
(2a
2
，4b
2
)
，
P2b
2
)
，
Pb
2
)
．
3
(4a
2
，－
5
(a
2
，
6
(4a
2
，
令
P
，即
P
，
6
(a
6
, b
2
)
，同样可以求得，点
P
10
的坐标为（
4 a
6
,b
2
）
10
（
42a
2
,b
2
）
由于2010=4

502+2，所以点
P2010
的坐标为（2010，
2
）．
6.解：由题设知a≥3，所 以，题设的等式为
b2(a3)b
2
0
，于是
a3，b 2
，
从而
ab
＝1．
7. 解：因为△BOC ∽ △ABC，所以
BOBC

，即
ABAC
1a
15

，所以，
a
2
 a10
．由
a0
，解得
a
．
aa1
2
8． 解：由已知得 (a＋1)
2
＝5，所以a
2
＋2a＝4，于是2a
3
＋7a
2
－2a－
12＝2a
3
＋4a
2
＋3a
2
－2a－11＝3a
2
＋6a－11＝1

9．解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF
；连接
CE，DF，且相交于点
N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点， 即点M为矩形ABFO的中心，所
以直线
l
把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又 因为点N（5，2）是矩形CDEF
的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线
MN
即为
所求的直线
l
． 
2k+b3，
设直线
l
的函数表达式为
ykxb
，则



5kb2，
1

111
k，
l
yx+
． 解得

故所求直线的函数表达 式为

3

33
11

b.

3


10． 解：见题图，设
FCm,AFn
．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，
所以
AB
2
AFAC
． 又因为 FC＝DC＝AB，所以
m
2
n(nm)，
即
nn
n51n51
()
2
10
，解得

，或

（舍去 ）．
mm
m2m2
AEAEAFnAE
5151
又Rt△
AFE
∽Rt△
CFB
，所以,即=．
ADBCFCmAD
22

11．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量 为
kk
,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交
500030 00
换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系
列方程,有
ky

kx
k,


50003000


kykx

k,


50003000
k(x)y
2k< br>，
3000
2
则
xy3750
．
11

50003000
两式相加，得
k(xy)

5000


12.解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．

由题设知< br>AC
11
AD
，
ABAE
，在△FHA和△EFA中，
33
EFAFHA90
，
FAHEAF

AHAF
AH
1


. 所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， .而
AFAB
，所以
AFAE
AB
3


13.解：因为

ba
1

ba
2
< br>ba
3

ba
4

ba
5

2009
，且
a
1
，a
2
，a
3< br>，a
4
，a
5
是五
个不同的整数，所有
ba
1
，ba
2
，ba
3
，ba
4
，ba< br>5
也是五个不同的整数．又因
为
20091

1

7

7

41
，所以
ba
1
ba
2
ba
3
ba
4
ba< br>5
41
．
由
a
1
a
2
a< br>3
a
4
a
5
9
，可得
b10
．

14.解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且
ACB90
．
1
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由
ECFACB45
，得CF ＝x，于
2
是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
EFBF

，
ACBC
x20x

即 ，
1520

解得
x

60
602
．所以
CE2x
．
7
7
15．解：由
3a
2
10ab8b
2
5a10b0
可得

a2b

3a4b5

0
， （6分）
所以
a2b0
，或
3a4b50
. …………（8分）
（i）当
a2b0
时，
u9a
2
72b236b
2
72b236

b1

34
，
于是
b1
时，
u
的最小值为
34
，此时
a2
，
b1
. …………（13分）
（ ii）当
3a4b50
时，
u9a
2
72b216b
2
32b2716

b1

11
， < br>2
2

于是
b1
时，
u
的最小值为
11
，此时
a3
，
b1
. …………（18分）
综上可知，
u
的最小值为
34
. …………（20分）

16．解：(1)如图，连接OD.因为AD平分∠BAC,所以∠1 =∠2.又因为OA=OD,所以
∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD∥AE.因为DE⊥AE,所 以DE⊥OD.而点D在⊙O上,
所以DE是⊙O的切线. …………（7分）
(2)如图,连接BE与OD交于点H，作OG⊥AE于点G. 则 OG = DE =3， EG=
DO=5，所以AG =
5
2
3
2
= 4，AE = 4+5= 9…………（10分）,因为EA∥OD，
AO=OB，所以HO=
AE
=
37
…………（20分）
1
2
991
，HD = 5-=，故HE =
222
137
3
2
+()
2

,BE =
22
17．解法1：结论是
DFEG
．下面给出证明． ………………5分
因为
FCDEAB
，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
CD
．
AB
CE
同理可得
EGAD
． ………………10分
AB
ADBE
又因为
tanACB
，所以有
BECDADCE
， 于是可得
CDCE
DFBE
DFEG
． ………………20分






解法2：结论是
DFEG
．下面给出证明． ……………… 5分
连接DE，因为
ADBAEB90
，所以A，B，D，E四点共圆，故
CEDABC
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以
ACGABC
． ………………15分
所以，
CEDACG
，于是DE∥FG，故DF＝EG． ……………20分