作业P32第2题（1）、（3）、（6）、（8）；第3题（3）、（4）；第4题（2）




第五节 函数的极限

一、当
x
时函数
yf(x)
极限
函数极限的描述性 定义：设函数
f(x)
当|
x
|
a
时有定义（
a
为某个常数），如果当自
变量
x
的绝对值无限增大（记作
x）时，其函数值
f(x)
无限接近于某确定的常数
A
，
则称A
为函数
f(x)
当
x
时的极限，记作
limf(x)A
或 当
x
时，
f(x)A

n
函数在当
x
时（

X
）定义：


0
，
X0
，当
|x|X
时，
f(x)a

恒成立，则称
A
为函数
f(x)
当x
时的极限，记作
limf(x)A

x
注意：
xXxX
或
xX


(x)存在

x


limf(x)a 

(x)存在
xx

(x)limf(x)

x

x
二、当
xx
0
时函数yf(x)
极限
x
2
1
引例：
f(x)
，当
x1
时，
f(x)x1
，
x1
时，
f(x)2

x1
9

即
limf(x)2

x1
研究：
f(x)
在点
x
0
的某个去心邻域内有定义，当
xx
0
时，
f(x) a

定义：如果存在常数a，使得对于任意给定的正数

（不论它多么小）， 总存在正数

，
当
0xx
0


时，
f(x)a

恒成立，记作
limf(x)a
。
x x
0


0
，


0
，当
0xx
0


时，
f(x)a

恒成立。
例1． 证明下列极限：（1）
limCC
；（2）
limx x
0
；（3）
limsinx0
。
xx
0
x x
0
x0
证：（1）[分析]这里
f(x)aCC0
，

0
恒成立
[证明]


0
，任取 一个正数

，当
0xx
0


时，
C C0

恒成立，证
之。
（2）[分析]由于
f(x)a xx
0


，只要
xx
0


，取




[证明]


0
，




，当
0xx
0


时，
xx
0


恒成立，故
limxx< br>0

xx
0
（3）[分析]由于
f(x)asinx 0sinx
，要使
xx
0


，只要


sinx

，只要
arcsin

xarc sin

，即
0x0a
rcsin
rcsin
，取

a




arcsin

，[证明]


0
，当
0x

，
sinx0

恒成立， 故
limsinx0

x0
14x
2
2
。 例2． 证明
lim
1
2x1
x
2
证：[分析]x
11
，
x
，
2x10

22
10

14x
2
4x2
(2x 1)
2
由于
f(x)a
===
2x1

2x 1
2x1
要使
f(x)a

，只要
2x1
，即
2x()

，只要
x
1
2
1

取




，
222
14x
2
1
2

恒成立，证之。 [证明]


0
，



，当
0x ()

时，
2x1
2
2

例3． 证明
lime1
。
x0
x
xx
x
证：[分析 ]由于
f(x)ae1
，要使
e1

，只要
1

e1

，只要
ln(1

)xln (1

)
，
l(1

)x0nl(1

)
，即
n
取

mni

nl(1< br>
),nl(1

)


[证明]

0
，


minln(1

),ln (1

)
，当
0x0

时，
e
x
1

恒
成立，证之。
左极限
limf(x)li m

f(x)f(x
0
0)

xx
0
0
xx
0

右极限
limf(x)lim
f(x)f(x
0
0)

xx
0
0
x x
0

1.左极限存在

极限存在


2.右极限存在


3.左极限右极限



x,x2
例4． 当
x2
时，讨论
f(x)

的极限
x


e,x2
三、极限的性质
11



n

limf(x)

具有四个性质，下 面证其中一种极限性质，余可类似证明之。
x

limf(x)
xx
0

limx
n
性质1．（唯一性）如果
lim f(x)
存在，则极限唯一。
xx
0
证：反证法。
设
limf(x)a
，
limf(x)b
，且
ba
。
xx
0
xx
0



ba
2
ba
2
0
，


1
0
，当
0xx
0


1
时，有
f(x)a
b a
2
；


0
，


2< br>0
，当
0xx
0


2
时，有
f(x)b
ba
。
2
取

min{

1
,

2
}
，上面两式均成立，由
ba[f (x)a][f(x)b]f(x)af(x)b
baba
ba< br>
22
矛盾！
性质2．（局部有界性）：如果
limf(x)
存在，则在点
x
0
的某个去心邻域内，函数
f(x)
xx
0
有界。证：令
limf(x)
=a，由定义，


0
，（对于

=1），


0
，当
xU (x
0
,

)
，
xx
0

f( x)a

，

f(x)f(x)aaf(x)aa

a
。
推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。
性质3．（局部保 号性）如果
limf(x)a
且
a0
（或
a0
），则 在点
x
0
的某个去心
xx
0
邻域内，函数
f(x )0
（或
f(x)0
）。
12


a
证：不妨令
a0
，取


，


0
，当
xU(x
0
,

)
时，
f( x)a

，
2
aa
a

f(x)a< br>
，

f(x)a

a0
。
22
性质4．（函数极限与数列极限的关系）设
limf(x)
存在，设
< br>x
n

是函数
f(x)
的定义
xx
0域内任一收敛于
x
0
的数列，且满足：
x
n
x
0
（
nN
），那么相应的函数值数列
f(x
n
)
必
收敛，且
limf(x
n
)limf(x)
。
n xx
0
证：设
limf(x)A
，


0
，


0
，当
xU(x
0
,

)
，恒有
f(x)A

，即
xx
0

f(x)U(A,

)
。

由于
limx
n
x
0
，故知数列

x
n

只 有有限多项在
U(x
0
,

)
之外，从而数列
< br>f(x
n
)

只
n
有有限多项在
U(A ,

)
之外，根据数列极限的定义得


limf(x
n
)Alimf(x)

nxx
0
例1 数列
{(1)
n1
}
是发散的。为什么？
例2 证明当
x0
时，
sin

没有极限。
x
1

x0,limsin0

n
n
n
x
n

证：取两个收敛于0的数列：


1
< br>t0,limsin1

n
n
1
t
n2n

2
limf(x
n
)0


n
，所以
limsin
不存在。

limf( t
n
)1

x0
x
n

例3 对于数列

x
n

，若
x
2k1
a( k)
，
x
2k
a(k)
，证明
x
na(n)

13

证：


0
，
N
1
0
，当
2k12N
1
1
时，
x
2k1
a





0
，
N
2
0
，当
2k2N
2< br>时，
x
2k
a


2N
1
1 ,2N
2
}
，当
nN
时，恒有
x
n
a 

，即



0
，
Nmax{

limx
n
a

n
作业：P38 T1（1）、92）（3）、（7）、（8）。T5。




第六节． 函数极限的运算法则 、两个重要极限
一、函数极限的四则运算法则
定理1：设
limf(x)A
，
limg(x)B
。则
（1）
lim[f(x)g(x)]ABlimf(x)limg(x)
；
（2）
lim[f(x)g(x)]ABlimf(x)limg(x)
；
（3）当
b0
时，
lim
f(x)Alimf(x)

。
g(x)Blimg(x)
推论1、常数因子可以提到极限符号外面去，即
lim[Cf(x)]Climf(x).

推论2如果
limf(x)
存在，则
)

lim[f(x)]
k
[limf(x)]
k

(k为自然数
14

注：上述法则对于
x
时的情形也是成立的。
例1．求下列极限：
（1）
lim
x4
；
x4< br>x
2
16
（2）
lim
x1
2x3

x
2
5x4
例2．求下列极限：
3x
3
4 x23x
2
4x23x
3
4x2
（1）
lim< br>3
；（2）
lim
3
；（3）
lim
。
x 
7xx
2
3x1
x
7xx
2
3 x1
x
7x
2
3x1
3
例3．设
a0
，求
lim
xa
x
3
a
3
xa。
3
解：
x
3
a
3
(
3
x
3
a)
3
(xa)
2
(
3
x< br>3
a)
3
(xa)
2


22
33
333
xa
xa
(xa)(xaxa)
3

(xa)
2
3
3
2
(xaxa)
3
2
0

二、极限存在准则
准则Ⅰ 如果数列

x< br>n

、

y
n

、

z< br>n

满足下列条件：
,)
， （1）
y
n

x
n
z
n

(n1,2
„
（2）
limy
n
a
，
limz
n
a
n
n
那么数列

x
n

的极限存在， 且
limx
n
a.
。
n
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。
第一个重要极限：
lim
sinx
1.

x0
x
例1 求下列极限：（1）
lim
x0
ta nx
1cosx
；（2）
limlim
2
x0x0
x
x
2sin
2
x
sinmx
2
；
lim
（3）。
2
x0
sinlx
x
例2 求
lim
arcsinx
。
x0
x
15


1

第二个重要极限：
lim

1

e

x

x

1
x
x
例3 求下列极限（ 1）
lim(1x)
；（2）
lim(1)
；（3）
lim(1 )
。
x0
xx
2
x
x
3
x
x
例4

x1

求极限
lim

.
x
x1

x
作业：P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）。T2（2）（4）、（6）。T（1）、（2）。



第七节、 无穷小与无穷大
一、无穷小
1、无穷小的定义
定义：以0为极限的函数（变量），称为无穷小量。
定理：在自变量同一变化过程中，函数f (x)有极限
A
的充分必要条件是
f(x)A

(x)
，
其中

(x)
是无穷小量。
2、无穷小的性质
性质1、有限个无穷小量之和是无穷小量；
证：（1）设
lim

(x)0
，
lim

(x)0

xx
0xx
0


0
，


1
0
，当
0xx
0


1
时，
(x)

2



0
，


2
0
，当
0xx
0


2时，

(x)

2

16

取

min


1
,

2
< br>,当00


时，

(x)
< br>(x)
性质2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
性质3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。
推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。
例1．求
limxsin
x0

2


2



1
。
x
二、无穷大
1、无穷大的定义
定义2、如果当
xx
0
(x)
时 ，函数
f(x)
的绝对值无限增大，那么称
f(x)
为当
xx0
(x)
时的无穷大量，简称无穷大，记为

limf(x)(limf(x))

xx
0
x
定义2
M0
（不论它多么大），< br>

0
，当
0xx
0


时 ，恒有
f(x)M
，
记作
limf(x)

xx
0
2、无穷大与无穷小的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，若
f(x)
是无穷大量，则
1
是无穷小量；反之，
f(x)
若
f(x)
是无穷小量，且
f(x)0
，则
1
是无穷大量。
f(x)
三、无穷小的比较
sinx
x
2
2x
3
2x
2
2
1

0
，
lim
2

，
lim
2

，
lim
引入
lim
x0
x0
2x
x0
x
x0
3xx
3
17

定义：在自变量同一变化过程中，如果
，

均为无穷小量，若
1．
lim

0
， 称

是比

高阶的无穷小量，记为


o
(

)
；



，称

是比

低阶的无穷小量；

2．
lim
3．
lim

C
（
C0
），称

与

是同阶无穷小量；

< br>1
，称

与

是等价无穷小量，记为

~



4．特别地当C=1时，即
lim
例1．
l im
tanxsinxtanx(1cosx)tanx1cosx1
limlim ()

332
x0x0x0
x2
xxx

lim
1cosx1

，称
1cosx
是x的二阶无穷小。
2
x0
2
x
四、等价无穷小量的性质
性质1、

与

是等价无穷小的充分必要条件为



 (

).

性质2、设

，

，

，

是无穷小量，且

~

，

~

，如果
lim


a
，则
lim a



证：
lim

lim 1lim1lim
。




例2．求下列极限
(x1)sinxln (1x)
e
x
1
sin5x
（1）
lim
；（ 2）
lim
；（3）
lim
；（4）
lim
；
x 0x0
x0
tan(
x0
arcsinxx
3x)
x
arcsinxx
sinx
5
lim
（5）
lim；（6）。
x0
sinxx
x0
sin
5
x
18

常见的等价无穷小有：当
x0
时，（1）
x~sinx;
（2）
x~tanx;

（3）
x~arctanx;
（4）
1cosx~
1
2
1
x
；（5）
n
1x~x
。
2n
作业：P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）。T3

第八节 函数的连续性
一、函数的连续性
1、函数的改变量
定义1、如果变量
u
从初值
u
1
变到终值
u
2，那么终值与初值的差
u
2
u
1
叫做变量
u
的改
变量（或增量），记作
u
，即

u
=
u
2
u
1
。
改变量
u
可以是正的，也可以是负的。
给自变量
x
以改 变量
x
，函数
f(x)
有相应的改变量
yf(xx)f (x)
。
2、 函数的连续性
定义2：设函数
yf(x)
在点
x
0
的某一邻域内有定义，若
limf(x)
存在，且其极限值xx
0
等于
f(x
0
)
，即
limf(x) f(x
0
)
，称函数
f(x)
在点
x
0
处连续，点
x
0
是
f(x)
的连续点。
xx
0
即：


0
，


0
，当< br>xx
0


时，恒有
f(x)f(x
0
)

。
记
xx
0
(xx
0
) x
0
x
，
yf(x
0
x)f(x
0
)

定义3：若
limy0
，则称函数
f(x)
在点
x
0
处连续。
x0
19

< br>1.f(x)在xx处有定义
（
有意义
）
,
0
< br>
limf(x)f(x
0
)


(x)存在,< br>
xx
0
xx
0



3.极 限值函数值.
f(x)f(x
0
)
，则称
f(x)
在< br>x
0
处左连续；若
limf(x)f(x
0
)
，则 称
f(x)
在若
lim


x0
x0
x
0
处右连续。
f(x)f(x
0
)
且
lim f(x)f(x
0
)
。 函数
f(x)
在
x
0< br>处连续

lim

x0x0
如果函数在开区间

a,b

内的每一点处连续，则称为开区间

a,b
< br>内的连续函数，

a,b

称为函数的连续区间。如果函数在区间
a,b

内的每一点处连续，且在点
a
处右连续，在点
b
处右连续，则称为闭区间

a,b

上的连续函数
重要结论：基本初等函数在其定义区间内连续。

3、函数的间断点
如果 函数
f(x)
在点
x
0
处不连续，则称
x
0
是
f(x)
的不连续点或间断点。
如果函数
f(x)
有下列三种情形之一：
（1）在点
x
0
处无定义，即
f(x
0
)
不存在；
（2）
limf(x)
不存在；
xx
0
（3）
limf(x)
及
f(x
0
)
都存在，但
limf(x)
f(x
0
)
。
xx
0
xx
0
则
x
0
就是
f(x)
的间断点。
20

例1．研究下列函数在指定点的连续性：
（1）
y
sinx
，点x=0；
x

x,当x 1

（2）
f(x)

1
；点x=1；
,当 x1


2

x
2
1,x0
（3）
f(x)

0,x0
，点x=0。

x 1,x0

例2．
ytanx
，点
x

2< br>。
例3．
ysin
1
，点x=0。
x
例4、证 明函数
f(x)
=
sinx
在
(,)
内是连续的。
证明：
x
(,)
，当
x
有增量
x< br>时，对应的函数的增量为
(x)sinx2sin

ysinx
xx
cosx()
，
22
注意到 |
cosx(x
x
)
|
1
。
2
x
|

2
得
|y||sin (xx)sinx|2|sin
因为对于任意的角度

，当

0
时有，
|sin

||

|
，所以有 < br>0|y||sin(xx)sinx|2|sin
x
||x|
2
因此，当
x0
时，由夹逼准则得
|y|0.
这就证明了
f(x)
=
sinx
对于
x
(, )
是连续的。
21

间断点的分类：


可去间断点
，
左右f(x
0
)
第 一类间断点
（
左右极限均存在
）




跳跃间断点
，
左右

间断点


无穷间断点
第二类间断点



振荡间断点

二、初等 函数的连续性
定理1、如果函数
f(x)
与
g(x)
在点
x
0
处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不
为零）也都在点
x
0
处连续。
定理2、如果函数
u

(x)
在点
xx
0
处连续，且
u
0


(x
0)
，函数
yf(u)
在点
uu
0
处连续，那么复合 函数
yf[

(x)]
在点
xx
0
处连续。
定理3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。
三、闭区间上连续函数的性质
定 理4：（有界性及最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界，且一定有最
大值和最小值。
fC[a,b]

,

[a,b]
，使得
max{f(x)}f(

)
，
min{f(x)}f(
)

x[a,b]
x[a,b]
定理2 （零点定理）若函数
f(x)
在闭区间[a,b]上连续，且f(a), f (b)异号，则f (x)
在开区间(a,b)内至少有一个零点。
f(x)
在
a,b

上连续，且
f(a)f(b)0x
0
(a,b)
，使得
f(x
0
)0
。
定理3 （介值 定理）设函数
f(x)
在闭区间[a,b]上连续，且
f(a)f(b)
， 则对介于
f(a)
与
f(b)
之间的任何实数

，在区间( a,b)内至少存在一点
x
0
，使得
f(x
0
)

。
22

证明：作辅助函数
F(x)f(x)

，满足定理2的条件：在[a,b]上连续，且

F(a)F(b)[f(a )

][f(b)

]0F(x
0
)0
，即
f(x
0
)

0
，
f(x
0< br>)

。
推论1：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 。
推论2：闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。
切记：若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不一定成立。
x
例1．证明方程
xe0
在区间(-1,1)内有唯一的根。
证：讨论函数
f(x)xe
x
，闭区间[-1,1]。
先证明存在性；再证明唯一性——指出
f(x)xe
x
为单调函数
例2．证明方程
根。
111
0
有分别包含于（1，2），（ 2，3），内的两个实
x1x2x3
证：由方程可知
x1
，
x2
，
x3
，故原方程之同解方程为
(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)0

引入辅 助函数
F(x)(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)
< br>易知F(x)在
(,)
上连续，故可分别在闭区间[1，2]，[2，3]上讨论 之。
作业：P60 T1；T2；T3（1）、（3）；T4（2）。
第一章 习题课
一、内容小结
1、函数的定义，反函数、复合函数的定义，函数的几种特性，基本初等函数，基本初等
函数。
2、数列极限的定义、性质。
f(x)A,limf(x)A,
3、函数极限 的定义：
limf(x)A,
lim

sx
0
sx
0
sx
0
23

limf(x)A,
limf(x)A,limf(x)A
。
x
xx
函数极限的性质：（1）如果函数
limf(x)A,
则
f(x)
在点
x
0
的去心邻域内是有界的。
sx
0
（2）如果
limf(x)
存在，那么这极限是唯一的。
sx
0
4、无穷小、无穷大：
无穷小：
limf(x)0；无穷大：
limf(x)
；无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的
关系；无 穷小阶的比较。等价无穷小的性质与其在极限计算中的应用。
x
1
sinx

1

1.
lim

1

e
.
lim

1x

x
e
5、极限存在准则 、两个重要极限：
lim
x0
x
x0
x

x

6、函数的连续性与性质
①设函数
f(x)
在点
x
0
的某邻域内有定义，如果
xx
0
limf(x)f(x
0
)

< br>
0,

0,当|xx
0
|

时 ,有|f(x)f(x
0
)|


②如果
limylim[f(x
0
x)f(x)]0
，那么就称函数
f(x)
在点
x
0
处连续。
x0x0

左连续
f(x
0
)f(x
0
)
；右连续
f(x
0
)f(x
0
)
。
区间上连续函数：在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。
③间断点：有下列 三种情形之一（1）在
x
0
处
f(x)
无定义；（2）在
x
0
有定义，但
limf(x)
xx
0
不存在；（3）在< br>x
0
有定义，
limf(x)
存在，但
limf(x)f( x
0
)
。则函数
f(x)
在点
x
0
处xx
0
xx
0
间断。

间断点分类：
f(x)
在
x
0
间断，
f(x
0
则称
x< br>0
为
f(x)
的第一类间断点，
)
与
f(x
0
)
分别存在，
否则称为第二类间断点。
④重要结论：基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间都是连续的。
⑤闭区间上连续函数的性质
（1） 最大值、最小值及有界性定理。
（2） 零点定理
（3） 介值定理
7、 运算法则
（1） 无穷小的运算性质①有限个 无穷小的和仍为无穷小；②有限个无穷小的积仍为无穷
小；③有界函数与无穷小的积为无穷小。
24

（2） 极限的四则运算法则。
（3） 复合函数的极限运算 法则：设函数
yf[g(x)]
是由函数
yf(u)
与
ug( x)
复合
limf(u)A
。而成的，
f[g(x)]
在点
x
0
的某去心邻域内有定义，若
limg(x)u
0
，
xx
0
uu
0
il
且存在

0
0< br>当
xU(x
0
,

0
)
时，有
g (x)u
0
，则
limf[g(x)]m
xx
0
< br>uu
0
f(u)A
。
（4） 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。
（5） 若
yf(u)
在点
u
0
处连续，且
g(x
0
)u
0
，
ug(x)
在点
x
0
连续，
U(x
0
) D
fg
，
则复合函数
yf[g(x)]
在点
x
0
连续，且
xx
0

limf[g(x)]limf(u) f(u
0
)f[g(x
0
)]
。
uu
0
关于极限计算的几点说明
1． 极限的计算，首先区分谁是变量，谁是常量，同时搞清变量的变化过程；
2． 区分极限是定型的还是 未定型的。定型的极限直接进行计算；未定型的极
限，则要研究如何将其转化为定型的极限；
3． 未定型的极限转化为定型的极限方法，最基本的有四种：
（a） 利用初等变形的方法：消去零因子，根式有理化，分离为无穷小，
变量代换，恒等变换等进行转化。
（b） 利用两个重要极限进行转化。
（c） 利用等价无穷小量代换
利用洛必达法则（第三章介绍）。
例1、
lim(
x1
13

3
)
< br>x1
x1
x
2
axb
例2、若
lim3< br>，求a,b的值。
x1
sin(x
2
1)
22
解：当
x1
时，
sin(x1)~x1
，且
lim(xax b)0

x1
2
ab10, b=(a1)

x
2
axbx
2
ax(a1)(x1)(xa1)


2
x1(x1)(x1)(x1)(x1)
25

x
2
axba2
lim3
x1

x
2
12
a4, b5
例3、函数
yxc osx在(,)
内是否有界？这个函数的是否为
x
时的无穷大？
为什么？
解：函数
yxcosx在(,)
内无界，但不是
x 
时的无穷大。理由如下：
取数列
x
n
2n

(n1,2,3)
，当
n
时，
x
n
 
，
这时
f(x
n
)2n

cos2 n

2n

(n)
，所以这个函数无界。
取数列
t
n
2n



2
(n1,2,3)
，当
n
时，
t
n
 
，
这时
f(t
n
)(2n


所以这个函数不是无穷大. 
2
)cos(2n



2
)00(n )
，
tanxsinx
.

x0
x
3
sinx
sinx
tanxsinx
解：
lim

lim
cosx
33
x0x0
xx
例4、求极限
lim
lim
sinx(1cosx)sinx1
lim
x0x0
x
3
cosxxcosx
2
2sin
2
x
2
x
2

x

sin

1sinx1
2


1
.
limlimlim< br>
2
x0
x
x0
cosx
x0
x

2


2

例5、设
1
xsinx,x0;

x
要使函数
f(x)
在内连 续，应当怎样选择
a?

f(x)


ax
2
x0.

解：因为函数
f(x)
在
(,0]
与
(0,)
内均为初等函数，所以函数
f(x)
在
(,0]
与蒙古
(0,)
内均为连续函数。
2

f(0
)lim(ax)a,f(0)limxsin

x0x01
1,f(0)a

x
26

要函数在x0
处连续，则
f(0

)f(0

)f(0) ,a1.

故当
a1
时，函数
f(x)
在
x0
处连续；
从而当
a1
时，函数
f(x)
在
(,)
内连续。
补充作业：
1、 证明：函数
f(x)
穷大。
2、
lim
x0
11
sin
在区间
(0,1]
上无界 ，但不是
x0

是时的无
xx
sinxtanx
(1 x1)(1sinx1)
3
2
。
27