艺术类高考分数线-忠犬八公

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《概率论与随机过程》第一章习题

1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每 次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录
抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个 人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举
的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） 对 某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次
品就停止 检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三 只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察
装球的情况。
（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1） A发生，B与C不发生。
（2） A与B都发生，而C不发生。
（3） A，B，C都发生。
（4） A，B，C中至少有一个发生。
（5） A，B，C都不发生。
（6） A，B，C中至多于一个发生。
（7） A，B，C中至多于二个发生。
（8） A，B，C中至少有二个发生。

1

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1,2,,10

,
A 

2,3,4

，
B

3,4,5

，
C

5,6,7

，具体写出下列各等式 3. 设
S

（1）
AB
。 （2）
AB
。 （3）
AB
。 （4）
ABC
。 （5）
A(BC)
。

4. 设
Sx0x2
，
A

x



1

1
x1

，
B

xx
2

4
3


，具体写出下列各式。
2

（1）
AB
。 （2）
AB
。 （3）
AB
。 （4）
AB
。

5. 设A，B，C是三事件，且
P(A)P(B)P(C)14
，
P(AB)P(CB)0
，
P(AC)18
，求A，B，
C 至少有一个发生的概率。

6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1） 求恰有90个次品的概率。
（2） 至少有2个次品的概率。

7.（1）在房间 里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少

8. 一盒子中 有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求
第4只次 品管子在下列情况发现的概率。
（1） 在第5次测试发现。
（2） 在第10次测试发现。

9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以 A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一
事件。根据以往的气象记录已知
P(A)P(B) 0.4
，
P(AB)0.28
，求
P(AB)
，
P(B A)
及
P(AB)
。

10. 已知在10只晶体管中有2只次 品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概
率。
（1） 二只都是正品。
（2） 二只都是次品。
（3） 一只是正品，一只是次品。
（4） 第二次取出的是次品。

11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率
2

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是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少

12. 某工厂中，机器
B
1
,B
2
,B
3
分别生产产品总数的25%，3 5%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%
的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一 只产品，发现是次品。问这一次品是机器
B
1
,B
2
,B
3
生产的
概率分别是多少

13. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接 收站接收时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为。
信息A与信息B传送的频繁程度为2: 1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少

14. 如图所示1，2，3 ，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为
p
，且设各继电器接点
闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少

1
2
L
4
5
6
3
R

15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为，第二次为，第三次为。飞机击中一次而被 击落的
概率为，击中二次而被击落的概率为，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的 概率。
16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出 的三只球中的最大号码，
写出随机变量X的概率质函数。

17. （1）设随机变 量X的概率质函数为
P{Xk}a

k
k!
，
k0, 1,2,,

0
为常数，试确定常数
a
。
(2) 设随机变量X的概率质函数为
P{Xk}

a
，
k0,1,2,,N1
，试确定常数
a
。
N
18. 设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。 （1）进行了5次独
立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号 的概率。
19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8 次呼唤的概率。（2）
每分钟的呼唤次数大于10的概率。
20. 设随机变量X的分布函数为
3

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

1e
x
,x0,
F(x)



0,x0.

（1） 求
P{X2},P{X3}
， （2）求概率密度
f(x)
。

21. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为

160
，

的正态分布，若要求
P{120X200}0.80
,允许

最大为多少

22. 设随机变量X的概率质函数为
X

2

1
0 1 3
p
k

1111
11

61530
55
求
YX
2
的概率质函数。

23. 设X的概率密度为

2x
,0x


，求
YsinX
的概率密度。
f(x)


2

其它

0,

24. 设随机变量（X，Y）的概率密度为

2
xy

x,0x1,0y2,
f(x,y)


3

0,其它.

求
P{XY1}
。

25. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

< br>1,0x1,

e
y
,y0,
f
X
(x)


f
Y
(y)


0, 其它.

0,y0.


试求随机变量Z=X+Y的概率密度。

26. 设随机变量（X，Y）的概率密度为
f(x,y)
1
2

2
exp(
x
2
y
2
2

2
),
x,y
。
求
ZX
2
Y
2
的概率密度。
4

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27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近 似地服从
N(160,20
2
)
分布，随机地选取4只，求其中没有一
只寿命小于180 小时的概率。
28. 设随机变量X的概率质量函数为

X

-2 0 2

p
k

求
E(X),E(X
2
),E(3X
2
5)
。
29. 设X服从二项分布，其概率质量函数为

n

knk< br>P

Xk




k


p(1p),k0,1,2,

,n.0p1.
求
E(X)
和
D(X)
。

30. 设X服从泊松分布，其概率质量函数为
P

Xk



k
e


k!
,
k
0,1,2,

,

0.
求
E(X)
和
D(X)
。
31. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为

1

,axb,
f( x)

ba
求
E(X)
和
D(X)
。


0
，
其它，
32. 设X服从正态分布，其概率密度函数为
f(x)


x-

2

exp



，

 0,
2
2



2


1< br>x
。 求
E(X)
和
D(X)
。

33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。 以X表示其
中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子 至少有一只
球），试求
E
[X]，D[X]。

34. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：
（1）
D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)
；
（2）
Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)
。


e
x
,x0
35. 设随机变量X的概率密度函数 为
f(x)

。求（1）Y=2X，（2）
Ye
2x
的数学期望。

x0

0,
5

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36. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为

K,0x1,0yx,
试确定出常数
K
，并求
E(XY)
。
f(x,y)

0,其它，

37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契比雪夫不等式估计每
毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。



e


x
,x0
38. 设随机变量X的概率密度函数为
f(x)

，其中

0
为常数。求
E(X)
和
D(X)
。

0,x0


xx
2

39. 设随 机变量X的概率密度函数为
f(x)


2
exp(
2

2
),x0
，其中

0
为常数。求
E(X)
和
D(X)
。

0,x0

40. 设随机变量X的概率质量函数为
P

Xk

pq
k1
，
k1,2,
。其中
0p1,q1p
为常数，则称X服
从参数为
p
的几何分布。试求
E(X)
和
D(X)
。
1
41. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.
f(x,y)(xy) ,0x2,0y2
。求
E(X)
、
E(Y)
、
Cov(X,Y)
。
8
42. 计算机在进行加 法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它
们都在（，）上 服从均匀分布。
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少
（2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为
43. (1)一个复杂 的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率。为
了使整个系 统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。
(2)一个复杂的系统，由n个相互 独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为。
且必须至少有80%部件工作才 能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为。
44. 某个单位设置一电话总机，共有 200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每
个分机是否使用外线通话是相 互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时
可供使用。

6