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换元法及其应用
高一（2）班（C3） 张宇
绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。

（一） 选题引入
【例一】
其中(>1),则
【分析】
一般得求出的值域比较容易 ，但当的自变量也是一个函数的时候求
其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。
【解】
求的值域，首先要求出的表达式。
的值域是_______。

函数一般我们习惯还是用


【例二】
解不等式：
来表示，所以要把换成。
。
【分析】
这是 包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻
烦，当在一个等式或不等式中对数或 指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元
法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程， 减少因为写错写漏而引起的
错误。
【解】
原不等式可以化为：

即，以2为底的对数函数是增函数。
，以2为底的指数函数是增函数。



'.

.
变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结 构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化
到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择， 如何代换直接影响计算的
复杂度，甚至影响到能否解决问题。

（二） 选题概述
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到
简化，这叫换元 法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，
目的是变换研究对象，将问题移至 新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题
标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联
系起来，隐含的条件显露 出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，
把复杂的计算和推证简化。
它可以 化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，
在研究方程、不等式、函数、数 列、三角等问题中有广泛的应用。

（三） 选题分类
1、局部换元

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代
替它从而简 化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，
先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
2、三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识
中有某点 联系进行换元。如求函数y＝√1-X^2值域时，若x∈[-1,1]，设x＝sin α ，
sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）
时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
3、均值换元

如遇到x＋y＝2S形式时，设x＝ S＋t，y＝ S－t等等。

（四） 换元法典型题归纳
1、整体换元
求函数
ysinxcosxsinxcosx
的最大值.
t
2
1
.••
解：设
tsinxcosx(2 y2),•则sinx•cosx
2
t
2
11
•y
当
t2•时,•
故yt(t1)
2
1.•
22
2、三角换元
求函数
yx5x
2
的值域.
解：令
x
max

1
2.

2
5sin

,•

[

,•],••
< br>22

则y5•sin

5|cos

|5s in

5cos

10sin(

).
4< br>'.

.
因为

所以


2






2
，

4

4

3

.

4
所以

2


sin(

)1
，得
510sin(

)10

24
4
,10
]. 所以函数的值域为[
5•
3、
比值换元

y1z2
，试问实数x
，
y
，
z为何值时，x
2
+y
2+z
2
达到最小

23
已知x
，
y
，
z满足x-1=
值？
解：由比例可以设
x1y1z2
t
，则
123
x
2
y
2
z
2
(t1)
2
( 2t1)
2
+
(3t2)
2
14t
2
10 t6.
当
t
5
时，即
14
91213
x
，
y
，
z时,••x
2
y
2
z
2
达到最小值.
14714
4、不等量换元
○
求证：
111117

.
1
2< br>2
2
3
3
n
2
(n1)
2
4111111
•()
. 令
22
(k1)(k1)2k 1k1
kk1
1111111117
1(1)
k=2，3 ，…n，n+1，则
2

2

3

2


2
22n1n24
123n(n1)

证明：对通项公式进行变形
（五） 分析结论
换元法贯穿于数学学习的始终，用这种 方法可以让解题更具条理性；对于学生来
说，可以使思路更清晰，提高正确率；还有对于一些难题来说， 换元法不失为一种捷
径。
（六） 研究体会
数学虽为一门理科，但解题中 的反复、归纳、积累是不可或缺的，生活中不经意
的好习惯也许会成为你将来成功的筹码与阶梯。

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