室内花卉盆景-个人年度计划

年 级
课程标题
编稿老师
一校
五年级
王刚
林卉
学 科 奥数

版 本 通用版
换元法 （一）
二校 黄楠 审核 高旭东


某 些计算求值问题，有这样的特点：相同的部分重复出现两次或多次，整个算式不适合
用裂项去处理。这时 候我们应该考虑用换元法。什么是换元法呢？就是用字母或者符号替代
算式中重复出现的部分，将算式改 写成更简洁的形式，然后再计算。


初学换元法应先学会找到重复出现的项，观察这些项出现的位置。
例如：
(7.8 86.775.66)(9.3110.9810)(7.886.775.6610)( 9.3110.98)

这个算式中有5个不同的小数，各出现两次，非常适合用换元法来解。设
a7.886.775.66

b9.3110.98
这样就完成了换元。

例1
2010

200920111
2

分析与解：

设a2010，则原式可以变形为：
201 0
2
200920111
a
2

(a1)(a1 )1
a
2

(a1)a(a1)1
a
2

2
aaa11
a
2

2
a
 1




例2
(10.120.23)(0 .120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)

分析与解：
设a0.120.23，则原式可变形为：
(10.120.2 3)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)
(1a)(a0.34)(1a0.34)a
a0.34a
2
0.34aaa
2
0.34a
0.34


例3
(1
1111111111
)()(1)()

2424624624

分析与解：

设a
11
，则原式可变形为：
24
11111111 11
(1)()(1)()
2424624624
11

(1a)(a)(1a)a
66
111
aa2
aaa
2
a
666
1

6


例4
(1＋2＋3＋4＋...＋2010)(2＋3＋4＋...＋20 11)－(1＋2＋3＋4＋...＋2011)(2＋3＋4＋...＋2010)
分析与解：
设a234...＋2010，则原式可变形为：
原式(1a)( a2011)(1a2011)a

a2011a
2
20 11aaa
2
2011a
2011


例5
20112012201320141
是不是平方数？
分析与解：
题目出现四个连续自然数，考虑将平均数进行换元。
设a2012.5，则原式可变形为：
原式(a1.5)(a0.5)(a0.5)(a1.5)1
[(a1 .5)(a1.5)][(a0.5)(a0.5)]1

(a
2< br>1.5
2
)(a
2
0.5
2
)1
( a
2
2.25)(a
2
0.25)1

由于a2012.5
a
2
2.25 一定是整数,a
2
1.25也是整数
设ba
2
1.25
原式(a
2
2.25)(a
2
0.25)1
(b1) (b1)1
b
2
11
b
2
所以原数是平方数 。


（答题时间：30分钟）
11111
1. 计算：
()()()()

57911137911
45234
2. 计算：
()()()()

2345345623456345
3. 计算：
73455123567345
()()()()

83466124568346
4. 计算
200620072200620082

5. 已知：2
20
1048576，计算
1


11111 1

2

3
L
18

19

20
＝________；
222222

1111
)()()()

79111379 11
1111
1
111
解：设

为
a
， 则原式＝
(a)(a)－(a)a
＝
7911
513513
65
45234
2.
()()()()

23453456234563 45
2345
1234
解：设

＝
a，

＝
b
2345
3456
5
55
原式＝a×b－（a＋）×（b－）＝
66
12
1.
(
3.
1
5

73455123567345
()()()()

83466124568346
7345123
解：设
a
，
 b

8346124
123124
原式＝
ab(a)(b)1

124123
4. 解：设
100010001a
，
原式＝
200620072008a200620082007a0

5. 解：设原式
x

11111
2x21
2

3

18

19
2
2222
1
x2x2
20

2
699051
x
1048576