客家笑话-闲情偶寄

用换元法分解因式
我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因 式法、运用
公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法
.
一些同学在解答课外题时，
往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他 们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，
以便能够解答更多类型的因式分解题 目”
.
李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换 元法
.
李老
师把换元法分解因式分成了三种情况：
一、换单项式
例
1
分解因式
x
6
+ 14x
3
y + 49y
2
.
分析：注意到
x
6
=
(
x
3
)
2
,若把单项式
x
3
换元，设
x
3
= m
,则
x
6
= m
2
，原 式变形为
m + 14my + 49y
2

= (m + 7y)
2

= ( x
3
+ 7y)
2
.
二、换多项式
例
2
分解因式
(x
2
+4x+6) + (x
2
+6x+6) +x
2
.
分析 ：本题前面的两个多项式有相同的部分,我们可以只把相同部分换
元，设
x
2
+6= m
,贝
U
X
2
+4
X
+6= m+4x
,
x
2
+6x+6= m+6x
，原式变形为
2 2
2
(m+4x)(m+6x)+x
= m +10mx+24x +x
= m +10mx+25x
= (m+5x)
2

= ( x
2
+6+5x)
2

= [(x+2)(x+3)]
2

= (x+2)
2
(x+3)
2
.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”
然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元 法”
.
比 如，设
X
2
+4
X
+6=m
，则
x
2+6x+6=m+2x
，原式变形为
22
2 2 2
2
2

m(m+2x)+
X


2

=m
2
+2mx+x
2

=(m+x)
2

=(
X
2
+4
X
+6+
X
)
=(
X
2
+5
X
+6)
2

=[(x+2)(x+3)]
2

=(
X
+2)
2
(
X
+3)
2
.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为
2 2
1
“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算
.
对于本例，设
m= 1 [(
X
2
+4
X
+6)

+ (
X
+6
X
+6)]=
X
+5
X
+6
，贝
U
X
+4x+6=m-x
，
X
+6x+6=m+x
，
(m+x)(m-x)+x
=m -
X
+
X

=(
X
2
+5
X
+6)
2

=[(
X
+2)(
X
+3)]
2

=(
X
+2)
2
(
X
+3)
2
.
例
3
分解因式
(< br>X
-1)(
X
+2)(
X
-3)(
X
+4) +24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使 之转化成
为两个多项式的乘积
等，所以只能设法使一次项相同
2 2 2
2
.
无论如何分组，最高项都是
X
2
,
常数项不相
.
因此，把
(
X-1)(
X
+2)(
X
-3)(
X
+4)
分组 为
[(x-1)
(
X
+2)][(
X
-3)(
X
+4)] = (
X
2
+
X
-2)

(
X
2
+
X
-12)
,
从而转化成例
2
形式加以解决
.
1
我们采用“均值换元法”，设
m= [ (
X
2
+
X
-2)+

(
X
2
+
X
-12)]=
X
2
+
X
-7
，则
X
2
+
X
-

2=m+5
,
X
2
+
X
-2= m-5
，原式变形为
(m+5)(m-5)+24
= m
2
-25+24
= m
2
-1
= (m+1)(m-1)
= ( x
2
+x-7+1)( x
2
+x-7-1)
= ( x
2
+x-6)( x
2
+x-8)
= (x-2)(x+3)( x
2
+x-8).
三、换常数

例
3
分解因式
X
2
(
X
+1)-2003
X
2004x.
分析 ：此题若按照一般思路解答，很难奏效
.
注意到
2003
、
2004
两个数字 之间
的关系，把其中一个常数换元
.
比如，设
m=2003
,则
2004=m+1.
于是，原 式变形为
X
(
X
+1) -m(m+1)x
2

= x[x(x+1)-m(m+1)]
= x(x
2
+x-m
2
-m)
= x[(x
2
-m
2
) +(x-m)]
= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]
= x(x-m)(x+m+1)
= x(x-2003)(x+2003+1)
= x(x-2003)(x+2004).
以上介绍的是用换元法因式分解的初步知识,同学们在以后解题时可以多 分析题目的
结构特点,灵活运用各种因式分解的方法
.
也可以多进行一题多解 的训练,达到举一反三的
目的
.
最后,就请同学们思考一下：刚才举的几道例 题,还有没有其他解法如果有的话,赶
快把你的新解法写出来吧
.