最新单曲-高考数学填空题

换元法分解因式巧用
吴健

用换元法分解因式，它的基本思路 就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使
较复杂的数学问题得到简化。本文谈谈应用换元法分 解因式的技巧和方法。
一、整体换元
22
例1 分解因式：
(a3a2)(a3a4)16.

2
解：设
a3a2m
，则
原式
m(m6)16m
2
6m16(m8)(m2)(a
2
3a6)(a
2
3a4)
(a
2
3a6)(a4)(a1).

222
评注：此题还可以设
a3am
，或
a3a4m
，或
a3a1m
。

二、均值换元
例2 分解因式：
(a1)(a3)(a5)(a7)15.

22
解：原式
[(a1)(a7)][(a3)(a5)]15(a8a7)(a8a 15)15.

1
m[(a
2
8a7)(a
2
8a15)]a
2
8a11.
2
取“均值”，设
22
原式
(m4)(m4)15m1615m1(m1)(m1)

222

(a8a12)(a8a10)(a2)(a6)(a8a10).


三、双换元
2
例3 分解因式：
(bc)4(ca)(ab).

解：设
cap,a bq
，两式相加，则
bc(pq).

2222
原式< br>[(pq)]4pq(pq)[(ca)(ab)](bc2a).


四、倒数换元
432
例4 分解因式
a7a14a7a1.

71

a
2< br>
a
2
7a14
2
a
a

解：原式



1

1

a
2


a
2

2

7

a

14

a

a








1

a
2[(m
2
2)7m14]

设am

a


22

a(m7m12)

 a
2
(m3)(m4)
11

a
2

a3

a4

aa

22
(a3a1)(a4a1).

五、和差换元
2
例5 分解因式
(ab1)(ab2ab)(2ab).

解：设
ab2abmn,2abmn,
则
m1ab ,nabab1
，于是
22222
原式
m(mn)(mn)n(abab1)(a1)(b1).