高中数学解题基本方法——换元法
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高中数学解题基本方法——换元法
解数学题时,把某个式子看成
一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,
这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元
和设元,理论依据是等量代换,目的是变换
研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非
标准型问题标准化、复杂问题
简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,
隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或
者变为熟悉的形式,把复杂的计算和
推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理
式为有理式、化超越式为代数式,在研究
方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 <
br>换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知
或者未知中
,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通
过变形才能发现。例如解
不等式:4+2-2≥0,先变形为设2=t(t>0),而变为熟悉
的一元二次不等式求解和指数方程
的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角
知识中有某点联系进行换元。如求函数y=
x
+
1x
的值域时,易发现x
∈[0,1],设x
=sinα ,α∈[0,
2
xxx
],问题
变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中
2
222
主要应该是发现值
域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x+y=r(r>0)
时,则可作三角代换x=r
cosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=
SS
+t,y=-t等等。
2
2
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范
围的选
取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例
中的t>0和α∈[
0,
]。
2
Ⅰ、再现性题组:
1.y=sinx²cosx+sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x+1)=log
a
(4-x)
(a>1),则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a
n<
br>}中,a
1
=-1,a
n1
²a
n
=a
n
1
-a
n
,则数列通项a
n
=___________。
4.设实数x、y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。
2
24
13
x
5.方程=3的解是_______________。
13
x
6.不等式log
2
(2-1) ²log
2(2
xx1
-2)〈2的解集是_______________。
t
2
1
【简解】1小题:设sinx+cosx=
t∈[-
2
,
2
],则y=+t-,对称轴t=-1,
2
2
1
当t=
2
,y
max
=+
2
;
2
2小题:设x+1=t (t≥1),则f(t)=log
a
[-(t-1
)+4],所以值域为(-∞,log
a
4];
3小题:已知变形为
22<
br>1
a
n1
-
11
=-1,设b
n
=,则b
1
=-1,b
n
=-1+(n-1)(-1)
a
n
a
n
=-n,所以a
n
=-
1
;
n
22
4小题:设x+y=k,则x-2kx+1=0,
△=4k-4≥0,所以k≥1或k≤-1;
5小题:设3=y,则3y+2y-1=0,解得y=<
br>x
x2
1
,所以x=-1;
3
5
6小题:设log
2
(2-1)=y,则y(y+1)<2,解得-2
2
3)。
4
Ⅱ、示范性题组:
例1.
实数x、y满足4x-5xy+4y=5 ( ①式)
,设S=x+y,求
的值。(93年全国高中数学联赛题)
【分析】 由S=x+y联想到c
osα+sinα=1,于是进行三角换元,设
2222
2222
1
S
max
+
1
S
min
xScosα
代入①式求S
max
和S
min
的值。
ySsinα
xScosα
【解】设
代
入①式得: 4S-5S²sinαcosα=5
ySsinα
解得 S=
10
;
85sin2α
101010
≤≤
1385sin
3
∵ -1≤sin2α≤1 ∴
3≤8-5sin2α≤13 ∴
∴
1
S
max
+
1
S
min
=
31316
8
+==
101010
5
8S10
的有界性而求,即解不等
S
此种解法后面求S最大值和
最小值,还可由sin2α=
式:|
8S10
|≤1。这种方法是求函数值域时经常
用到的“有界法”。
S
【另解】
由S=x+y,设x=
222
SSSS
2
+t,y=-t,t∈[-,],
2222
2
S
2
S
则xy=±
-t
2代入①式得:4S±5
-t
2
=5,
44
移项平方整理得
100t+39S-160S+100=0 。
∴ 39S-160S+100≤0
解得:
2
22
1010
≤S≤
133
∴
1S
max
+
1
S
min
=
31316
8
+==
101010
5
22
【注】 此题第一种解法属于“三角
换元法”,主要是利用已知条件S=x+y与三角公
式cosα+sinα=1的联系而联想和发现用三
角换元,将代数问题转化为三角函数值域
问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x+
y而按照均值换元的思路,
设x=
S
+t、y=
S
-t,减少了元的
个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的
22
22
22
22
几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在
题中有两个变量x、y时,可以设x
=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化
代数式。本题设x=a+b,y
=a-b,代入①式整理得3a+13b=5 ,求得a∈[0,22
222
5
22
],所以S=(a-b)+(a+b)
3=2(a+b)=
10
20
2
1010
11
+a∈[,],再求+的值。
13
13133
S
max
S
min
例2. △AB
C的三个内角A、B、C满足:A+C=2B,
2
1
1
+=-,求
c
osA
cosC
cosB
cos
AC
的值。(96年全国理)
2
【分析】 由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得
AC120°
A=60°α
;由“A+C=120°”进行均值
换元,则设 ,再代入可
B=60°
C=60°-α
求cosα即cos
AC
。
2
AC120°
【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得
,
B=60°
A=60°α
由A+C=120°,设
,代入已知等式得:
C=60°-α
1
1
+
cosA
cosC
=
11
+=
cos(60
)cos(60
<
br>)
1
13
cos
sin
22
+
1
13
cos
sin
22
=cos
cos
==-2
2
,
133cos
2
sin
2
cos
2
444
22
AC
解得:cosα=, 即:cos=。
2
22
【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以
2
1
1
+=-
cosA
cosC
cosB
=-2<
br>2
,设
1
1
=-
2
+m,=-
2
-
m ,
cosA
cosC
所以cosA=
11
,cosC=,两式
分别相加、相减得:
2m2m
22
ACACAC
cos=c
os=
2
,
222
m2
ACACAC2m
sin
=-
3
sin=
2
,
222
m2
cosA+c
osC=2cos
cosA-cosC=-2sin
即:sin
22
AC<
br>2m
2
AC
2
AC
=-,=-,代入sin+cos=1
整理
222
m
2
2
3(m
2
2)
2<
br>得:3m-16m-12=0,解出m=6,代入cos
4
22
2
A
C
=
2
=。
2
2
m2
1
1
+
=-2
2
”分别进行均值
cosA
cosC
【注】 本题两种解法由
“A+C=120°”、“
换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元
外,还要求对
三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由A+C
=2B,得A+C=120°,B=60°。所以
2
1
1
+=-=-
2
2
,即cosA+cosC
cosA
cosC
cosB
=
-2
2
cosAcosC,和积互化得:
2cos
2
ACACAC
cos=-
2
[cos(A+C)+cos(A-C
),即cos=-
2
cos(A-C)
222
2
=
2
AC
2
AC
2
AC
-
2
(2cos-1)
,整理得:4
2
cos+2cos-3
2
=0,
222
2
2
AC
=
2
2
2
解得:cos
例3.
设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx²cosx-2a的
最大值和最小值。
y
, ,
【解】 设sinx+cos
x=t,则t∈[-
2
,
2
],由(sinx+cosx)
-
2
2
x
2
t
2
1
=1+2sinx²cosx得:sinx²cosx=
2
11
2
(t-2a)+
(a>0),t∈[-
2
,
2
]
22
1
2
t=-
2
时,取最小值:-2a-2
2
a-
2
1
2
当2a≥
2
时,t=
2
,取最大值:-2a+2
2a- ;
2
1
当0<2a≤
2
时,t=2a,取最大值:
。
2
∴ f(x)=g(t)=-
12
(0a)
1
22
2
∴
f(x)的最小值为-2a-2
2
a-,最大值为
。
2
12
2
2a22a(a)
22
【注
】 此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+cosx与sinx²cosx
的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。
换元过程
中一定要注意新的参数的范围(t∈[-
2
,
2
])与sinx+cosx对
应,否则将会
出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位
置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与c
osx的和、差、积等而求三角式的最大
值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,si
nxcsox),经常用到这样设元的换元法,
转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
4(a1)
(a1)
2
2a
例4.
设对所于有实数x,不等式xlog
2
+2x log
2
+log
2
>0
2
a
a1
4a
2
恒成立,求a的取值范围。
(87年全国理)
4(a1)
(a1)
2
2
a
【分析】不等式中log
2
、 log
2
、log
2三项有何联系?进行对
a
a1
4a
2
数式的有关变形后不难发
现,再实施换元法。
【解】 设log
2
4(a1)
2a
8(a
1)
a1
=t,则log
2
=log
2
=3+log<
br>2
=3-log
a
2a
a12a
2
(a1)2
2aa1
=3-t,log
2
=2log=-2t,
2<
br>a12a
4a
2
2
代入后原不等式简化为(3-t)x+2tx-2
t>0,它对一切实数x恒成立,所以:
3t0
t3
2a
,解得 ∴
t<0即log<0
2
2
a1
t0或t6
<
br>
4t8t(3t)0
2a
0<<1,解得0
a1
【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何
4
(a1)
(a1)
2
2a
设元,关键是发现已知不等式中log
2
、 log
2
、log
2
三项之间的联
a
a1
4a
2
系。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。另外,本题还要求对数
运算十分熟
练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所<
br>给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一
点。
sinθ
x
cos
2
θ
sin
2
θ
10
cosθ
例5. 已知=,且+= (②式),求的
x
y
x
2
y
3(x
2
y
2
)
y
2值。
【解】 设
sinθ
cosθ
222
==k,则sinθ
=kx,cosθ=ky,且sinθ+cosθ=k(x
x
y
2
10k2
k
2
y
2
y
2
k
2
x2
x
2
10
10
+y)=1,代入②式得:
2
+== 即:
2
+
2
=
3
3<
br>xx
3(x
2
y
2
)
y
2
y2
1
10
x
3
1
x
2
设
2<
br>=t,则t+= , 解得:t=3或 ∴=±
3
或±
t
3
3
y
3
y
x
sinθ
cos
2
θ
【另解】 由==tgθ,将等式②
两边同时除以,再表示成含tgθ
y
cosθ
x
2
的式子:1+tg
θ=
(1tg
2
)
4
10
3(1
1
)
tg
2
=
10
222
tgθ,设t
gθ=t,则3t—10t+3
3
=0,
x
3
1
∴t=3或, 解得=±
3
或±。
3
3
y
【注】 第一种解法由
sinθ
cosθ
=
而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。
x
y
第二种解法将已知变形为
x
sinθ
=,不难发现进行结果为tgθ,再进行换元和变形。两
y
co
sθ
种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。
(x1)
2
(y1)
2
例6.
实数x、y满足+=1,若x+y-k>0恒成立,求k的范围。
916
(x1)
2
(y1)
2
22
【分析】由已知条件+=1,可以发现它与a+b=1有
相似之处,
916
于是实施三角换元。
x1
(x1)
2
(y1)
2
y1
【解】由+=1,设=cosθ,=sinθ,
3
4
916
x13cosθ
即:
代入不等式x+y-k>0得:
y14sinθ
3cosθ+4sinθ-
k>0,即k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式
恒成立的
问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一
般地,在遇到与圆、椭
圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等
有关问题时,经常使用“三角换元法
”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式ax+by
+c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。<
br>此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始
y
终位于平面上x+y-k>0的区域。即当直线x+y-k
x
=0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相
x+y-k>0
k 平面区域
16(x1)
2
9(y1)
2
144
切
时,方程组
有相等的一组实数解,消元后由△=0可求得k
xyk0
=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组:
1.
已知f(x)=lgx (x>0),则f(4)的值为_____。
A. 2lg2
B.
1
lg2 C.
2
lg2 D.
2
lg4
333
3
2.
函数y=(x+1)+2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B.
[-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{a<
br>n
}的公差d=
1
,且S
100
=145,则a
1<
br>+a
3
+a
5
+„„+a
99
的值为
24
_____。
A. 85 B. 72.5 C.
60 D. 52.5
4.
已知x+4y=4x,则x+y的范围是_________________。
5. 已知a≥0,
b≥0,a+b=1,则
a
1
+
b
1
的范围是____
________。
2
2
22
6. 不等式
x
>ax+<
br>3
的解集是(4,b),则a=________,b=_______。
2
7.
函数y=2x+
x1
的值域是________________。
8. 在等比
数列{a
n
}中,a
1
+a
2
+„+a
10
=2,a
11
+a
12
+„+a
30
=12,求a
31
+a
32
+„+a
60
。
9.
实数m在什么范围内取值,对任意实数x,
不等式sinx+2mcosx+4m-1<0恒成立。
y D C
10.
已知矩形ABCD,顶点C(4,4),A点在曲线
A B
22
x+y=2 (x>0,y>0)上移动,且AB、AD
O x
始终平行x轴、y轴,求矩形ABCD的最小面
积。
2