无中介租房-手拉手歌词

函数的概念
一．预备知识（对应：多对一与一对一、一对多）

对应是有方向性的。
找对应:生活中的实例
一对一： 学生与学号
多对一： 学生与老师
一对多：班级与班级内的学生、老师与学生
抽象到数集之间的对应（大量举例子）
函数的本质是运算，核心是对应：即对于自变量，按照 什么样的对应法则去计算其函数
值；运算的本质是“位置”：运算中涉及的量处在运算式中的哪个“位置 ”上，该“位置”
应该遵循什么样的运算规则及在哪个范围内取值.
必须满足多对一与一对一的对
应
（一）运算
1.基本运算及其逆运算
许 多运算式虽然很复杂，但仔细观察就会发现，它们都是由以下几种基本运算及其逆运
算以不同的方式构造 而成：

加法减法
运算
乘法除法
运算
乘方开方
运算
指数对数
运算
三角函数
运算
正运算 逆运算
23?
（加法运
算）
2?5
：
52?
运算）
（减法
23?
运算）
（乘法
2?5
：
52?
运算）
3
3
（除法
2
2
3
?
算）
（乘方运
?8
：
8?
（开方运算）
3
?
（指数运
算）
2
?
8
：
log
2
8?
（对数运
算）
（反三角函数运算） （三角函数运算）
逆运算实质上就是对正运算所形成的等式解方程

2.运算的本质是“位置”：

①.运算，实质上都是对“位置”进行运算：
对运算中的各个“位置”赋予不同的值，改变的是运算的结果，而没有改变运算的法则.
a1,b3a2,b3
134ab?235

2
2
4a
a2,b2
b
?2
a2,b3
3
8
②. “位置”确定作用：
参与运算的量在运算中处于哪个位置，确定了它在运算起什么样的作用.


加
法

减
法




正运算


和是多少


积是多少

逆运算
23?
对谁加 加谁

2?5
：
52?
对谁减
减谁
差是多少

乘
法


除

对谁乘
法
乘
方

开
方
23?
加谁
2?5
：
52?
对谁除
除以谁

商是多少


2



对谁做乘方运算
3
?
做几次乘方运算
3
3

8?

?8
：



幂是多少
几次方 对谁做开方运算 方根是多少

开
指

2
数



对谁做指数运算
对
数
3

?

做几次指数运算

28
：


对幂是谁做多指数运算
?

log
2
8?
幂是多

做几次指数运算

③. “位置”确定取值范围：
参与运算的量处于运算中的哪个位置，就要遵循这个“位置”对取值的要求.
在加法运算ab?
中，任意两实数都可以做加法运算，所以被加数与

加数都可以取 任意实数；
在除法运算
a
?
b
中，分母不能为0，所以
b0
；
在开平方运算
一个完全平方数，所以
a?
中，由于它是 平方运算
?
2
a
的逆运算，是
a0
；
在对数 运算
log
2
a?
中，由于它是指数运算
算，因为
2?
a
的逆运
2
?
0
，所以
a0
；
3.位置与赋值：

对任意一个运算“位置”，可在该“位置”允许的取值范围内 任意赋值，不同的赋值就
可以得到不同的运算结果：
xy?
：
x1, y2xy3
，
x4,y5xy9
；
x
y
?
：
x1,y2x
y
1
，
x2,y3x
y
8

sinx?
：
x0sinx0
，
x

4
sinx
2

2
如果用一个 变量
x
表示某个运算“位置”上的值，并固定其它运算“位置”上的值，则
运算结果这 个“位置”所得到的就是关于变量
x
的一个函数
加法运算：固定加数，用变量
x
表示被加数，则可得到函数
乘法运算：固定乘数，
f(x)
：
f(x)xb

f(x)ax

除法运算：固定被除数，用变 量
x
表示除数，则可得到函数
f(x)
a
（反比例函数）
x
1
固定除数，用变量
x
表示被除数，则可得到函数
f(x)x
（正比例函数）
a
x
幂运算： 固定底数，用变量
x
表示指数，则可得到函数
f(x)a
（指数函数） < br>固定指数，用变量
x
表示底数，则可得到函数
f(x)x
（幂函数）
对数运算：固定底数，用变量
x
表示真数，则可得到函数
f(x)loga
（对数函数）
三角函数运算：用变量
x
表示角，则可分别得到函数
x
a
f(x)sinx
,
f(x)cosx
,
f(x) tanx
（三角函数）

由此可见，常见的几种基本初等函数，实际上就是由 加法、减法、乘方、开方、指数
对数、三角函数这几种基本运算固定运算中的某些位置而得到的.

（二）.函数概念（核心就是对应：多对一与一对一）

由函数的定义可知 ,所谓函数,就是对于自变量
x
，按照什么样的对应法则去计算其函数
值
y< br>；运算的本质是“位置”：运算中涉及的量处在哪个位置上，就要遵循该“位置”的运
算规则及其 对取值范围的要求.因此,在研究函数时应搞清三个问题:
1.对谁运算(定义域)：
函数 的本质是运算，函数解析式中所涉及到的运算中，自变量或关于自变量的式子处在
哪种运算中的什么位置 上，就要遵循这些位置的对取值范围的要求，所有这些取值范围的交
集就是函数的定义域.
如：
f(x)x1
1

x


这个位置要求：


x10



这个位置要求：
x0


x10

x1


1x0或0x)



x 0

x0
2.如何运算(对应法则)：符号f(x)的理解
对应法则f：表示对
自变量x位置上数
将x换成t
x表示自变量的位
置
f(t)t
2
f(x)x
将x
2

将x换成2

f(2)2
2
4
换成
f(x1)(x1)2



自变量实质上表示的就是一个“位置”，对应法则就是对自变量 位置上的数或式子按对
应法则进行运算。至于自变量用哪个字母表示，对函数并没有实质性的影响，如< br>f(x)x
2
，
f(t)t
2
，
f(m)m< br>2
虽然表示自变量的字母不同，但自变量的取值范围相同（都是R），

函 数的对应法则相同，自变量在运算中位置相同，因此它们是同一个函数。






x表示自变量的位置
对应法则f：表示对

自变量x位置上数或

式子取倒数





将x换成t 将x换成2
1
1

f(2)
1
f(x)
2
f(t)

t
x
x处在分母的位置



上，所以x≠0


将x换成（x+1）

t处在分母的位置上，

所以t≠0
x+1处在分母的位置
1

上，所以x+1≠0
f(x1)


x1






x表示自变量的位置
对应法则f：表示对自

变量x位置上数或式

子取算术平方根




将x换成2

将x换成t
f(2)2


f(x)x

f(t)t



x处在被开方数的位

置上，所以x≥0
将x换成x+1


t处在被开方数的位

置上，所以t≥0
x+1处在被开方数的


位置上，所以x+1≥0


f(x1)x1

（平方、分段、常函数、D函数）

3.运算结果：
对于自变量的任 一允许值x，所有对应的函数值y的集合就是函数的值域.函数的值域由
函数定义域和对应法则f确定.
函数问题常以以下三种形式呈现：
① 知x知f求y；
② 知x知y求f；
③ 知f知y求x

即“知二求一”
三．研究函数问题的方法及流程

（一）.三个问题
1．对谁运算--- 自变量的取值范围就是函数的定义域
2．对应法则---如何由自变量的值取得对应的函数值
3．运算结果---函数值如何随自变量的变化而变化的，所有函数值的集合就是函数的值域.
问题的呈现形式：知二求一：①知x知f求y，②知x知y求f ③ 知y知f求x
（二）.五种方法
1．分类：看到字母想分类
2．图象：看图说话
3．换元：将复杂的函数化归为已知函数（如基本初等函数）--画出图象或示意图--看图说话
4．解方程：求值即解方程
5．互逆运算：将逆运算化归为正运算


（三）.流程
研究函数问题的流程：



是
画图象


是否基本初等函数？
对谁运算



否


是
看图说话


能否化为基本初等函数？
画图象

（分类、化简、换元）



否

看性质

画图象示意图

换元法及其应用
一.预备知识
1.直接关系与间接关系
函数
yf(x)
中，自变量
x
与函数值
y
之间的 关系有两种：
一种是直接关系，如：
yx
，这里，
y
的值由自变 量
x
平方直接得到，
x
与
y
之间
是直接关系； < br>另一种是间接关系，如：
y(x1)
，这里，
y
的值的需要经过两 步获得：
第一步，自变量
x
的值加强1，得到一个量
tx1
，
第二步，对
t
做平方运算，
tx1yt
即：
xty

2
2
2
x与t之间、t与y之间是直接关系,而x与y之间是间接关系, y与x之间的关系是通过
中间变量
tx1
而建立的.

一般地，形如
yf[u(x)]
的函数中，函数值y要通过两上步骤获得：
tu(x)yf(t)
xty
，x与y之间是一种间接关系，而x与t 之间、t与y之间是直接关
系.对这类间接关系问题，通常我们要通过x与t之间、t与y之间的关系， 来研究x与y之
间的关系.这实际上就是换元的思想.
2.同一函数（相等函数）：
函数的本质是运算，即对于自变量，按照什么样的运算法则得到对应的函数值；而运算
的本质是“位置 ”，即所涉及到的量处于哪种运算的什么位置。
在函数
yf(x)
中，自变量实际 上起着一个“位置”的作用：对于自变量这个“位置”
上的每一个值，都是按照同一个法则，去得到的值 ，因此，自变量用哪个字母来表示，对对
应法则
f
并没有影响.如f（t）=t
2
；f（x）=x
2
；两个函数中，虽然自变量所用的字母不同，
但两个自 变量取值范围相同、自变量所在位置相同、运算法则相同（都是对自变量这个位置
上的数做平方运算）， 因此，它们是同一个函数。

二.换元法
1.用换元法构造新函数




t处在自变量的位置上

。





f（t）的意义就是对自变量位置上的数或
代数式做平方运算并将其结果赋给y
f(t)t
2

f是函数的对应法则

如果自变量t取 的是具体的数值，所得到的就是所对应的函数值，如果自变量t取
的是关于另一个变量x的代数式，如< br>tx1
：依然是按照前面的法则进行相同的运算
并将其结果赋给y



x-1处在自变量的位置上 对自变量位置上x-1做平方运算


并将其结果果赋给y

。







f(x1)(x1

)
2
f是函数的对应法则

这样就得到了一个新的函数，我们用< br>g(x)
表示这个新函数，即
g(x)f(x1)(x1)
2
，这里，
g(x)
实际上就是由
f(x)
经
tx1
换元 构造出的一个
新函数.
为便于叙述，把
f(t)
称为原函数，
t< br>称为原自变量（为区别起见，这里自变量用字母
t
表示），把
g(x)
称为新函数，
x
称为新自变量。
观察
g(x)
的运算过程：

①自变量
x
取值→②计算
x1
的值并将其赋给
t
→③计算
f(t)
的值并赋给
y

tx1yf(t)
xty





x是g（x）的自变量

x不是f（x）的自变量，x-1作为一个整体 处于f（x）
的自变量位置上，可视作ｔ的一个取值








g(x)f(x1)(x

1)
f是原函数的法则，
但不是新函数的法
则
2
g是新函数的法
则：自变量先减1
再平方

一般地，对 原函数
yf(t)
，
经
tu(x)
换元可得到新函数
g (x)f[u(x)]
，新函数的
运算过程如下：
tu(x)yf(t)
xty

这样，可以由简单的函 数构造出复杂的函数，考试中遇到的许多复杂的函数就是用这种
方式构造而成的：
txa
f(t)t
2
g(x)f(xa)(xa)
2

1
tx1
1

f(t)g(x)f(xa)< br>tx1
tx1
f(t)2
t
g(x)f(x1) 2
x1

tx1
f(t)log
2
tg (x)f(x1)log
2
(x1)

tsinx
f(t )at
2
btcg(x)f(sinx)asin
2
x bsinxc

x
t2
f(t)tbg(x)f(2x
)2
x
b

t2
f(t)atg( x)f(2
x
)a2
x

t

x

ysintysin(

x

)

x



反过来，对于形如
g(x)f[u(x)]的函数，则可以看作由原函数
f(t)
经
tu(x)
换元

而得到的新函数，我们可以通过
f(t)
来研究
yg(x)
的有 关性质.
g(x)(xa)
2
:
1
g(x):
x 1
txayt
xty

1
t
2
xty

tx1y2
xty

ylog
2
t
tx1
xty
t
tx1
y
g(x)2
x1
:
g(x)l og
2
(x1):
2
g(x)asinxbsinxc:
g (x)2
x
b:
g(x)a2
x
:
x
x ty

tsinxyat
2
btc
t2y tb
xty

t2yat
xty

t

x
ysint
xty

x
ysin(
x

):
对于这样的函数，我们只要搞清楚它的原函数是谁，变换关 系怎样，即搞清楚这些复杂
的函数是由哪个函数经过怎样的换元构造而成的，就可以通过原函数与变换关 系来研究新函
数.
在由原函数
f(t)
构造新函数
g(x)f[ u(x)]
的过程中，
tu(x)
是联结原函数与新函
数的桥梁，它实际上 给出了原函数到新函数的变换关系.


2. 换元法中的运算问题
t y
,这实际上是对于新函数
g(x)f[u(x)]
，其运算过程如下：< br>x
y
,其中，x与t，,t与y是直
t
,
t
把由x到y的运算由一步分成了两步:
x
接关系，而x与y则是间接关系.在 这x,t,y三个量之间的运算可形成如下四种结构:


tu(x)
y f(t)
tu(x)yf(t)
③yf[u(x)]

正方向
xty

①tu(x)②yf(t)

③yf[u(x)]

逆方向
①tu(x)②yf(t)
xty


③yf[u(x)]

两头到中间
①tu(x)②yf(t)
xty


③yf[u(x)]

中间到两头
xty



















①tu(x)②yf(t)

操作流程:
①、画出结构图：
②、在①②③三个位置摆关系（有关系摆关系，无关系摆字母）
③、搞清知谁求谁
④、选择运算
例1.
g(x)sinx2sinx3
的值域是 .











例2.求
y2sin(2x
2
③ysin
2
x2sinx3

xty

①t sinx②yt
2
2t3

3
)
的最大值及函数取得 最大值时x的集合

求函数的最大值：



③ysin(2x)


3



①t2x
②y2sint

3


xty


1－x
2
1
例3 ．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝
x
2
，则f(
2
)=_ ________
答案：15









1x
2
③y
2
x

①t12x②yf(t)
xty

例4.[2013·全国卷] 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域
为( )








③yf(2x1)

①t2x1②yf(t)
xty


练习题
1.已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )

2.已知函数f(2x+1)的定义域为(－1，0)，则函数f(x)的定义域为( )

3.设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是 ( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
1－x
2
1< br>4．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝
x
2
，则f(
2
)=_________
5. 已知f(x＋1)＝x
2
＋4x＋1，求f(x)的解析式．
所求函数解析式为f(x)＝x
2
＋2x－2.
6（14乌市三模15）定 义在R上的函数
f(x)
单调递增，且对任意
x(0,)
，恒
有
f(f(x)log
2
x)1
，则函数
f(x)
的零 点为________________.
1
答案：
2
1
7、设 一次函数
y
=
f(x)
(x∈R)为奇函数，且
f(1),f(5 )
（ ）（2014年一模）
2
5
A.
2
B. 1 C. 3 D. 5
选A

log
2
(1x),x0
8、定义在R上的函数
f(x)
满足
f(x)
=

，则
f(2009)
的
f( x1)f(x2),x0

值为
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
选c

9（2006全国1文8）设a1
，函数
f(x)log
a
x
在区间
[a,2a ]
上的最大值与最小
值之差为
1
，则
a

2
A．
2
B．2 C．
22
D．4

选D

1 0.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射
的是( )
1
A．f：x→y＝
2
x
2
C．f：x→y＝
3
x
答案：C
11．已知函 数f(x)对任意的x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(1)
＝
f(1)＝2.


12. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝


1
B．f：x→y＝
3
x
D．f：x→y＝x

ax＋1，－1≤x＜0，

bx＋2
，0≤x≤1，

x＋1< br>答案：－10




1

3

其中a，b∈R.若f

2

＝f

2

，求a＋3b的值。

1
13.(2013·山东高考)函数f(x)＝1－2＋的定义域为( )
x＋3
x
A．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
【答案】选A




B．(－3,1]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]

1
14.(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝ln(1＋9x－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg
2
)＝
2
( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】 D

15.（2011天津高考文10）设函数
g

x

x
2
2

xR< br>
，


g

x

x4,x g

x

,
f

x





g

x

x,xg

x

,
则
f

x

的值域是（ ）．

9

,0

U

1,


0,

Ａ．

4

Ｂ．

，

9

9

,,0

U

2,




Ｄ．

4

Ｃ．

4

【答案】D


lgx,x0
16（2011陕西高考文11）设
f(x)

x
，则
f(f(2))
______.

10,x0
【答案】
2

17．（2011 高考）对于函数
f(x)asinxbxc
(其中，选取
a,b,ca,b R,cZ
)，
的一组值计算
f(1)
和
f(1)
，所得 出的正确结果一定不可能是
．．．．．．
A．4和6
答案：为D


B．3和1 C．2和4 D．1和2
18、（2012 高考）已知定义在区间
(0,2)
上的函数
yf(x)
的图像如图所示,则
yf(2x)
的图像为

答案：B

19、（2013 高考 ）已知函数
f

x

的定义域为

1,0

,则函数
f

2x1

的定义域
为
1

1

(A)

1,1

(B)

1,

(C)

-1,0

(D)

,1


2

2

【答案】B

2
x2

,
20、.（2011 高考）已知函数f(x)

x
，若关于x的方程
f(x)k
有
< br>(x1)
3
,x2

两个不同的实根，则实数k的取值范围是__ ______.
答案：（0,1）

(x+1)
2
+sinx
21 函数的值域（2012新疆高考）(16)设 函数f(x)=
x
2
+1
的最大值为M，最
小值为m，则M+m=_ ___
答案：2

22.(2014乌鲁木齐二模)7. 设函数
f(x)=a
x
(a >0,a
≠
l)
在
x
∈
[ -1
，
1
]上的最大值
与最小值之和为
g(a)
，则函数
g(a)
的取值范围是
A.(0,1)
选D

23. (2011年高考山东卷理科5)对于函数
yf(x),xR
,“
y|f(x)|
的图象关于
y轴对称”是“
y
=
f(x)
是奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要
【答案】B
B. (0,2) C. (1, +oo ) D. (2, +
∞
)
< /p>

24．(2011年高考安徽卷理科3)设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，当
x
时，
f(x)xx
，则
f( )

（A）

(B)

（Ｃ）１ （Ｄ）３
【答案】A

25. 题目内容：集合
A
＝{
a
，
b
}，
B
＝{－1，0，1}，从
A
到
B
的映射
f
：
A
→
B
满< br>足
f
(
a
)＋
f
(
b
)＝0，那么 这样的映射
f
：
A
→
B
的个数为( )
A．2
C．5
答案：B

26、（2009全国）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{
2
x
, x+2,10-x} (x

0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
解析：选C
27.【2012高考真题山东理8】定义在
R
上的 函数
f(x)
满足
f(x6)f(x)
.当
2
)(x 2
，
)
当
1x3
时，
f(x)x
。则< br>3x1
时，
f(x



B．3
D．8
f(1)f(2f)(3f)


（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
【答案】B


－x，x≤0，
28. 设函数f(x)＝

2
若f(α)＝4，则实数α＝( )
x，x>0.

A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2

【答案】 B