底气不足-机械专业英语

用凑微分法的题型及方法归类如下：

f(

(x))


(x)dx

f(

(x))d

(x)
，实际上是将第一换元公式中的

(x)
具体
化。
（1）

f(axb)dx
例
等
11
f(axb)d(axb)f(u)du


aa1
dxdx
x1
3
dx,cos(axb)dx,edx,12x dx
，
,

3x2


x
2
2x5

12xx
2


2152
< br>xdx113x1111


3
dx

[ (13x)
3
(13x)
3
]dx(13x)
3
(13x)
3
C
3
33156
13x13x
（2 ）

xf(ax
2
b)dx
例
1
f(ax
2
b)d(ax
2
b).


2a

xe
x
2
dx,

xcos( x2)dx,

2
x
5
dx
x

,
dx.

6
2
23x
1x
x(1x)
dx
（3）

a
x
f(a
x
b)dx
1
f(a
x
b)d(a
x
b)

< br>lna
特别地，

e
x
f(e
x
b)dx 

f(e
x
b)d(e
x
b)

e
x
111e
x
1e
x
dx,

dx,

dx
化为第一种，或

dx

dx
例

xxxxx
1e1e1e1e1e
1
xx

e
x
e
x
dx,

ecos(e2)d x

1
（4）

f(lnxb)dx

f(l nxb)d(lnxb)

x
例
111
dx,dx,

xlnx

x(23lnx)

x
coslnxdx.

11x1111x11x1x1
2
1x
lndx( )lndxlndlnlnC

1x
2
1x

2 1x1x1x2

1x1x41x

（5）

f(sinx)cosxdx,

f(cosx)sinxdx,

sec< br>2
xf(tanx)dx
等
例

sinx
cos
3
x
dx,

3
sinxcosx
sinxc osx
dx,

sinxe
cosx
dx.

xd xxx
（6）

f(arcsin)

f(arcsin)dar csin;

a
a
2
x
2
aa

例

xdx1xx
f(arctan)
2
f(arct an)darctan;
等。
a
xa
2
a

a a
x
x(1x)
dx,

dx
1x(arcsinx)
22

arctan
,

ln(arcsinx)
2
arcsinx1x
2
dx

（7）

sinmxcosnxdx
式。
1

sin(mn)xsin(mn)x

dx
等。利用积化和差公
2
（8）

sin
2
xdx,

sin
4
xdx
降次——倍半角公式。
12x
2
x
2
(1x
2
)
（9）拆项法

2
dx

2
dx

22
x(1x)x(1x)
（10）加项减项法
x
2
x
3
x
4

1 x
2
dx,

1x
2
dx,

1x< br>2
dx
，
ln
2
xln
2
x11

x(1ln
2
x)
dx

x(1ln
2
x)
dx

（11）同乘或同除因式法

11sinx1 sinx
dx

dx

cos
2
x
dx

1sinx
1sin
2
x
x1
xe< br>x
e
x
11xe
x
x
如：

x (1xe
x
)
dx
=

xe
x
(1x e
x
)
dx

[
xe
x

1 xe
x
]d(xe)ln
1xe
x
C
。
常用 的凑微分
1111
(1
2
)dxd(x)

(1
2
)dxd(x)

xxxx
(1x)e
x
dxd(xe
x
)

(1xe)
x
dxdxe(
x

)
(1lnx)dxd(xlnx)

(1
1lnxlnx
dxd

2
xx
1
d)xd(xln

x)
x
1
1x
2
dxdln(x1
2
x

)
例
1lnx1lnxd(lnxx)
dxdx

(xlnx)
2

x
2
(1lnxx)
2

(1lnxx)
2


1
x
1
2x
2
111
dx

2
1
dx

d(x)
例

4
1
x1x
x
2
x
(x)
2
2
x
111x
2
1 x
2
1x
2
11x
2
1
dx


4
dx

4
dx
例
4
x12x
4
12x12x1

另：
x< br>4
1(x
2
2x1)(x
2
2x1)