服装商品企划-四年级语文试卷分析

衢州三中微专题设计之《换元法之均值换元法》
李娜
知识要点
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件 联系起
来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的
计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研
究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
均值换元：利用两个量的平均值和一个字 母元，沟通原来两个量之间的关系，从
而简便计算，即形如
xy2S
形式时，设< br>x St，y S－t
进行换元，其中
S
是
x，y
的平 均值，
t
是新元。
典例分析
例1已知
a,bR
，且< br>ab1
，求证：
(a2)
2
(b2)
2


25
;
2

22
Mab,
求
M
的最值.
a,b
ab 1
例2已知正实数满足，
分析：由已知
ab1
，可设
a
2
11
t, bt
22
2
1

0t

，[来源:学科网]
2

1

1

1




M

t



t
2t
2

，转化成求关于元
t
的二次函数的最值.
2

2

2

我们使用换元法时，要遵循有利于 运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量的范
围一定要对应于原变量的取值范围，不能缩小也不 能扩大.

例3已知x
2
+y
2
+xy=1,求2x+y的取值范围。
22
x=
x=x+y
３x
′
y
′
2
解析 ：令{
′
,反解得{代入原式得
+=1.
′
−y
′
4
４
x
y=x−y
y=,
′
x
′
+y< br>′
2
x
′
=
3
cosα
令{,
′
y=2sinα
则2x+y=
3x
′
+y
′
22
√
3
＝
2
√
3cosα+2sinα
２=
√
3cosα+sinα=2sin
(
α+
)
∈[
−2,2
]
.
3
π
评析：此法为对称换元法，和均 值换元法类似，即在题中有两个变量
，换元后有可能简化代数式。


巩固练习
时，可以设
x+y≤1
1.若实数x,y满足{
2x−y ≥−1
则点P(x−y,x+y)形成的平面区域的面积是（ ）
x−2y≤1,
A.3 B. C.6 D.
24
33
2.已知实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5，设S＝x＋y，求
3。中，内角、、 成等差数列，其对边、
2222
1
S
max
＋
1
S
min
的值。
，求角A． 、满足
参考答案：
1.A
2. 解析：由S＝x＋y，设x＝
222
SSSS
2
＋t，y＝－ t，t∈[－，]，
2222
2
S
2
S
－t
2
代入①式得：4S±5
－t
2
=5， 则xy＝±
44
移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得：
2
22
1010
≤S≤
133
∴
1S
max
＋
1
S
min
＝
313168
＋＝＝
1010105
、、成等差数列， 3. 解：∵中，内角

∴。∴，。
又∵，∴根据正弦定理，得。∴。
由“”进行均值换元，设 ，。
则
∴

。∴或
，化简，得
。
。