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中考数学复习专题：配方法与换元法
一、配方法与换元法的特点：
把代数式 通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到
增加问题的条件的目的，这 种解题方法叫配方法．
配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题 中指定
用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己
确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，
以达到快 速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位
和份量。
换 元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数
称为元，所谓换元法 ，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部
分或改造原来的式子，使它简化， 使问题易于解决。
二、配方法与换元法的方法：
配方法与换元法主要依据完全平方公式，由 公式a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
可知，如果一个多
项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以
写成 这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负
数，即(a-b) ≥0，当a=b时，(a-b)=0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学
问题。
配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项
拆开又重新分配 组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二
项的系数特点，确定第三项系 数或常数项。如二次三项式4 x
2
+6x+k是完全平方式，试确定
k值。这一类的 问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系
数。如二次三项式4x
2
+kxy+25 y
2
是完全平方式，试确定k值。这一类问题一定要考虑正、< br>负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取
得好成 绩。
三、例题精讲：
热身： 填空题：
1．将二次三项式x
2
+2x－2进行配方，其结果为 。
22
2．方程x+y+4x－2y+5=0的解是 。
3． 已知M=x
2
－8x+22，N=－x
2
+6x－3，则M、N的大小关系为 。
4．用配方法把二次函数y=2x+3x+1写成y=a(x+m)+k的形式 。
5．设方程x
2
+2x－1=0的两实根为x
1
，x
2
，则（x
1
－x
2
）
2
= 。
6．已知方程x
2
－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为 。
7．若x、y为实数，且
x
2
22
22
y33 (2x3),则
y1
x1
的值等于 。
【例1】 分解因式：（1）a
2
b
2
-a
2
+4ab-b
2
+1 ；（2）（x
2
+2x＋4）（x
2
+2x+6）-8



【例2】已知
a
，b∈R，则不等式①
a< br>+3>2
a
，②
a
+b≥2(
a
－b－1)，③a
+b>
a
b中一
定成立的有_______．
22222

1
【例3】已知：a、b为实数，且 a
2
+4b
2
－2a+4b+2=0，求4a
2
－
b
的值。



【例4】求证：不论m、n为任何实数，关于x的 一元二次方程mx
2
＋(m＋2n)x+2n=0总有两
个实数根。



【例5】（技巧题）甲、乙两人同时从A到B，甲前一半路程用速度a，后一半路 程用速度b；
乙前一半时间用速度a，后一半时间用速度b，问哪个先到？



【例6】⑴已知M为△ABC的边AB上的点，且AM+BM+CM=2AM+2BM+2C M－3，则
AC
2
+BC
2
= 。 ⑵已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a
2
+b
2
+c
2=ab+bc+ac，
则△ABC的形状为 。



x2x
2
222
6
x2x
2< br>1
【例7】、解方程：




【例8】已知：△ ABC的两边AB、AC的长是关于
x
的一元二次方程
x(2k3)xk
22
3k20
的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）
k
为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）
k
为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．





【例9】已知二次函数y = ( k－1)x
2
－2kx +k +2，（1）当k为何值时，图象的顶点在坐
标轴上？（2）当k 为何值时，图象与x轴的两交点间的距离为2 ？

【例10】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现 在
他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将
减 少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多
少?




四、闯关夺冠：
1．已知x+y+4x－2y+5=0，则3x-2y 的值是 。
2．已知M=x－8x+22，N=－x+6x－3，则M、N的大小关系为 。
x
1
x
3x
2
22
22-2
1
x
的值为__________．
2
3、已知．则
4、把代数式< br>a
2
+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项
式是__________．
5．用配方法把二次函数y=2x
2
+3x+1写成 y=a(x+m)
2
+k的形式 。
6．设方程 x+2x－1=0的两实根为x
1
，x
2
，则（x
1
－x< br>2
）= 。
7．将二次三项式x
2
+2x－2进行配方，其结果为 最小值为
8、（08上海中考）用换元法解分式方程2x-1x-x2x-1=2时， 如果设2x-1x=y，并将原方
程化为关于y的整式方程，那么这个方程为____________ _。
9．已知方程x
2
－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为 。
10．代数式a
2
+5b
2-
4ab+2b+100的最小值为
——————————
。
x
2
22
y33(2x 3),则
y1
x1
的值等于 。
222
11．若x、y为实数，且
12、13、如果
a
、
b
、
c< br>为互不相等的实数，且满足关系式
bc2a16a14
与
bca4 a5
，那么
a
的取值范围范围是 ．
2
13 、不论m、n为何值，代数式m
2
+n
2
-2m+4n+5的值总是 （ ）
A 非负数 B 正数 C 负数 D 0
22
xx2
14、已知关于x的方程
x2axa2a20
的两个实数根满足1
=2，则a的值
22
为 （ ）
A．－3 B .－3，1 C.3，－1 D.1
15、已知一个四边形ABCD的 边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且a
2
+b
2
+c
2
+d
2
=2ac+2bd，
则四边形是 （ ）
A 任意四边形；B 梯形；C 平行四边形；D 对角线互相垂直的四边形；
16、对于分式1x
2
-2x+m，不论x 取何实数都有意义，则m的取值范围为 （ ）
A m≥1， B m≤1， C m＞1， D m＜1
17、若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a
2
–2ab+b
2
–c
2
的值 （ ）

A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定
18、若2x－kx+9是一个完全平方式，求k的值.



19、已知：菱形的两条对角线长之和为2 ，菱形的面积为2 ，求菱形的周长。



x
2
2

1
x
2
 x
1
x
40
20、解方程：（1）2x-6x+3=0(配方法) （2）


2


21、已知抛物线经过点A（2，4）和 点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求
抛物线的解析式。



22、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+20 08，求代数式a
2
+b
2
+c
2
-ac-bc- ca的值。



23、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。



2222
24、已知：△ABC的三这分别为a、b、c，且满足等式3 (a+b+c)=(a+b+c)，试说明该三角
形是等边三角形。



25、已知x
1
、x
2
是关于x的方程x
2
-6x +k=0的两个实数根，且x
1
2
x
2
2
-x
1< br>-x
2
=115，
（1）求k的值；（2）求x
1
2
+x
2
2
+8的值.



26、已知抛物线 y=(1－m)x
2
+4x－3开口向下，与x轴交于A(x
1
,0)和B( x
2
,0)两点，其中x
l
2
．
(1)求m的取值范围；
(2)若x
1
2
+ x
2
2
=10，求抛物线的解析式 ；
(3)设(2)中的抛物线与y轴于 点C,在y轴上是否存在点P，使以P、0、B为顶点的三角形与
△AOC相似?若存在，求出P点的坐 标；若不存在，请说明理由．

27、观察下列各式的特点，并回答下列问题：
（1）用＞、=、＜填空： 3
2< br>+4
2
————
2×3×4，（-1）
2
+8
2————
2×（-1）×8，
（-3）+（-5）
—————
2×（- 3）×（-5），（-6）+（-6）
——————
2×（-6）×（-6）
（2） 若a、b为实数，则a
2
+b
2
、2ab的大小关系为a
2
+b
2
_______
2ab，并证明其正确性。




28、已知二次函数图象经过A（-1， 3）．对称轴为x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，
求这个二次函数的解析式？



29．关于x的一元二次方程x+(k+1)x－k－3=0
(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．




30、(06南通中考)已知A=
a
+2，B=a
2
－2
a
+5，C=
a
2
+5
a< br>－19，其中
a
>0．
(1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由．




31、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x 轴上截得的线段长为3，求
抛物线的解析式。



2
2222