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换元法在因式分解中的应用
因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形， 它是分式通分、约分、解方程以及三角
函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意 义。
除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。
例1.分解因式 ：

xy

4

xy

4
（济南市 2007）
分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个 角度考虑，可以
将
xy
看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式 。
解：设
xyu

原式
u4u4




u2





xy2


例2.分解因式：
4

3x
2
x1

x
2
2x3



4x
2
x4


2
2< br>2
2
2
分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以 尝试用换元法进行
因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：
4xx4< br>
2

3x
2
x1x
2

2
2x3
，将其中两部分设为辅助元，则可以表示出第三部分。
22

解：设
3xx1A
，
x2x3B
,则
4xx 4AB
。
原式
4AB

AB



AB


3x
22

2
x1x
2
2x3

2
2x

23x2

2

使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要 反复比较式子中重复出现的整体
结构，以便寻找最恰当的辅助元。

换元法在化简二次根式中的应用
在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂 而无从下手，这时可以考
虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应 用换元法化
简二次根式的方法。

3.1设元代数，化已知为未知
例3.若
x
1


2

2002

，求
2002

1
x
2
1x
的值
分析：
2002
是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此 可以尝试用字母换元
代入。
解：设
y
1
1

1

1

1

2

y

，且
y0


，
x1
，则
x

y


y
4

y

2
y

2
2
2002
原式

1

1


y


4

y< br>
2002

1

1

1

1

1

1


y


y



y



2

y

2

y

2

y

y

3.2设元代式，无理变有理
例4. 化简
aab
aab
b
（陕西省 2008）
分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。
解：设
ax
，
by
，
x
3
2原式

xy
xy
2
x

x
xy

xy

x

xy

b



xya
解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式 子用字母代换，这样会使得式子中的各种
关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

换元法在解方程中的应用
除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种 常用的方法。如果
方程
F

x

0
的左端
F

x

是一个复合函数：
F

x
< br>f

u

，
u


x

，而方程
f

u

0
和
u


x

是比较简单的方程，则可进行换元。令
u

x

，这样方程就转化为
f

u

0
，
方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能 。
下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。
2

4.1分式方程
形如
af

x


b
f

x

c0

令< br>uf

x

，原方程化为
au
cc
2
b
u
c0
，即
au
2
buc0

2
解得
u
4ab
2a
c
2
，原 方程化为两个简单方程
f

x
1


cc4 ab
2a
，
f

x
2


c 4ab
2a
，注意检验根。
例5.解方程
x
x
2
1

x
2
1
x

5
2

分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。
解：设
x
x
2
1
u
，则
1
2
x
2
1
x

1
u
，原方程化为
u
1
u

5
2

解得
u
1

当
u
1

1
2
，
u
2
2

xx
x
2
时，有
1
x
1

1
2
，即
x2x10
，解得
x
1
x
21

2
2
当
u
2
2
时，有
2
2
，即
2xx20
，无实数解
经检验，
x1
是原方程的解。
4.2一元二次方程
形如
a

f

x

bf

x

c0

令
uf

x

，原方程化为 一元二次方程
ax
cc
2
2
2
bxc0

2
解得
u
4ab
2a
cc
2
，原 方程化为两个简单方程
f

x
1


cc4 ab
2a
，
f

x
2


4a b
2a

当
f

x

是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟，
当
f

x

是分式或无理式时，应进行验根。
例 6.解方程

6x
2
7x

2

6x
2
7x

3
（哈尔滨 2007）
2
3

分析：则可以将
6x7x
看成整体进行换元，转化为一元二次方程求解。
解：设
u6x7x
，
原方程化为
u2u30
， 解之得
u
1
3
，
u
2
1

当
u
1
3
时，即
6x7x3
，得
x
1

2
2
2
2
3
2
，
x
2

1
6
1
3

2
当
u
2
1
时，即
6x7x1
，
x
3
1< br>，
x
4


经检验
x
1

3
2
，
x
2

1
3
，
x
3
1
，
x
4

1
6
是原方程的根
4.3三角有理方程
形如
R

sinx,cosx

0


2u
运用万能代换
utan
，得代数有理方程
R


2

1u
x
2
,
1u
1u2
2


0
。需要注意的是，因


utan
x
2
的自变量允许值是
x

2n1


，

nz

，缩小了未知量的范围，因此用万能< br>代换解三角有理方程时，应注意有失根的可能。
例7.解方程
sinxcosx1

分析：运用万能代换，将原方程化为代数有理方程，再求解。
解：设
utan
x
2
，
2u
1u
2
原方程化为
x
2

1u
1u
2
21
，解之得
u1

因此
tan1
，
x

2
2n



nz


经检验，
x
1


2
2n

，
x
2


2n1


是原方程的根 < br>从以上分析可以看出，换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，因此不同的方
程就有不同 的换元方法。因此，这种方法灵活性大，技巧性强，适当的换元，可以将复杂的
方程化简，方便求解。

换元法在证明不等式中的应用
不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学 中具有举足轻重的地位。在不等式
证明中，有些问题直接证明较为困难，但如果通过换元的思想与方法去 解决就方便多了。下
4

面列举两种基本的换元方法。
5.1三角换元法
三角换元是常用的一种换元方法，多用于条件不等式的证明。在解类似这些 问题时，选
用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质解决< br>问题。
例8.已知
a,bR
，且
ab1
，求证：a2abb
分析：由条件不难想到公式
sin

2
2222
2

cos

2
假设
arsin

，
b rcos

，其中
r1
，
1
，



0,2


，这样就将代数问题转化为三角问题了。
证 明：设
arsin

，
brcos

，其中
r 1
，



0,2


，
则
a
2
2abb
2
r
2
cos
2
2rsin

cos

rsin

22 2


r
2
cos2

r
2
sin2




sin

2




4




2
9

8
2r
2
2

当
r1
，


5.2增量换元法
或时，等号成立。
一般的，对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a >b>c）的不
等式，常用增量法进行换元，换元的目的是通过减元，使问题化难为易，化繁为简。 < br>例9.已知
a
>2,
b
>2,求证：
ab
<
ab

分析：因为
a,b
都在常量2附近变化，运用增量换元法，设
a2m
，其中
m
>0，
b2n
，
n
>0 ，再运算证明。
证明：设
a2m
，
b2n
，其中
m
>0，
n
>0
则
abab2m2n
< br>2m

2n



4mn42m2nmn


mnmn
<0
故
ab
<
ab

不等式证明是中学数学中的一个难点，换元法是常用的一种方法，然而在具体解题时要
根据不同的条件 和结论进行相应的换元，技巧性很强。
5

换元法常见错误分析
虽然合理运用换元法能够做到化繁为简，化难为易的作用，但在使用过程 中如果不注意
等价转化，往往会出现不易察觉的错误。错误常表现为：
6.1将复合函数与原函数混为一谈
函数
yF

x
< br>经过换元
x


u

就变为
yF



u

这种形式的复合函数。常常出现只
考虑yF



u

的单调性，而不考虑
< br>
u

的单调性的情况，最终导致错解。
ax
1x
2
例10.试讨论函数
y
（
a
<0）的单调性
acos

sin

错解： 设
xcos

,



0,


，则
yacot


因为
ycot
在

0,


上是减函数，且
a
<0
ax
1x
2
所以
y
（
a
<0）是增函数 < br>分析：换元过后，只考虑了
yacot

的单调性，没有考虑
xc os

的单调性，导致了错
解。正确的解答应该在考虑
yacot

的单调性的同时，还考虑到
xcos

的单调性，两
者结合，最 终得出结论。
正确解：设
xcos

,



0,


，则
y
acos

sin
acot


因为
yacot

在
0,


上是增函数，又因为
xcos

在

0,


上是减函数
ax
1x
2
所以
y
（
a
<0）是减函数
对于
yF



u

这种形式的复合函数，在考虑
yF



u

的单调性的同时，还要考
虑

u

的单调性，两者结合，最终得出结论。
6.2改变换元后中间变量的范围
换元后，根据原自变量的范围错误地确定中间变量的取值范围的情况也常常发生。
例11.若
log
16
xlog
x
16log
x
y3< br>，求
y
的取值范围
6

错解： 设
x16
，则：
u
3

3


u


2

4

2
u
3u

log
16
y
u
3
，所以
y 16
u3u3
2
且
u0
，
y168
， 又
x
>0且
x1
，即
u0
，
y16
3

所以
y

8,16
3



16
3
,


分析：在用
x1
推 得
y16
时，还包含了
u3
的情况，这实际上是错解了
u
的范围，
造成了非等价转化，从而缩小了
y
的范围。
正确解：设
x16
，则：
u
3

9


u< br>

24

2
3
u
3
u

log
16
y
u
3
，所以
y16
u 3u3
2
且
u0

y168

所以
y

8,


通过原自变量的范围求解 中间变量范围时一定要特别注意，既不能扩大范围，也不能缩
小范围，在遇到比较难判断的点时，可以代 回原方程进行检验。
6.3换元的选择不恰当
换元的选择不恰当，不仅会使得计算变复杂，很多时候还会导致错解。
例12.设
x 1y
2
y1x
2
1
，求
xy
的最值 < br>错解：因为
x1
，
y1
，所以设
xcos
< br>，
ysin

，



0,2


，即

0,
则
cos

cos

sin

sin

1
，
两边平方得：< br>sin2

0
，


k

2
2
,

,
3

2


kz


xycos

sin




2sin





4




k

2sin




kz


4

2
xy
的最大值为1，最小值为-1
分析：事实 上，由已知可得
0x1
，
0y1
，而上题假设将原函数的定义域扩大 了，
且条件中没有
xy
22
1
，就导致了错解。正确解法是重新 换元，再求
xy
的最值。
2
正确解：因为
x1
，y1
，又
y1x1x1y
7

2
，

所以
x0
，同理
y0
，即
0 x1
，
0y1


设
xcos

，
ysin

，

,



0,


2

则
cos

sin

sin

cos

1
，即
cos





1

又


2








2
，所以



0
，即






2sin




，其中
4

xycos

sin

cos

sin



4



4



3

4

当

当



4

4
时，即

0
，
xy
取最小值为1，
时，即



4

4

2
，
xy
取最小值为2

运用换元法时要慎重选择中间变量，一旦换元不恰当，就会导致解题错误。快速而又正
确地找出中间变量就需要多解题，积累经验。
利用换元法能使问题处理简单快捷，但由于学生 概念不清，在代换过程中往往会出现这
样那样的错误，并且很难检查出。以上三种最为常见，在解题时更 要注意。


8