具结悔过-关于三八妇女节的文章

第6讲利用换元法解方程
一、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.
解分 式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、
无理方程化为有理方程、 整式（高次）方程逐步降次.
（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有 不同的换元方
法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以
便 寻求解题的途径．
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．
x

x

x

例如：①

，可使用局部换元法， 设
y

560

x1
x1x1

②
x
2

2
111
，变形后也可使用局部 换元法，设
x0xt
2
xxx

x
2
 x12x
2
x219

2

，看着很繁冗，变形整理 成③
2
x1xx16
x
2
x1x
2
1 19
1
时，就可使用局部换元法.
x
2
1x
2< br>x16
④

x3



x1

82
，可设
y
44

x3



x1

x2
2
，方程变成

y 1



y1

44
82
，使方程变 得易解，这是均值换元法.
⑤
6x
4
5x
3
38x< br>2
5x60
，符合与中间项等距离的项的系数相等，
如
6x< br>4
与
6
，
5x
3
与
5x
系数相等， 可构造
x
32
1
换元，是倒数换元法.
x
⑥
x 23x3x310
，不易求解，若反过来看，把设
x
看作已知数，
把
3
设为设
t
，则方程就变成
xt
2
2x2
1tx
3
10
，
数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.
有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.
例如：
x3x 2


2



x
2
2< br>3x2

3x
2
2x1


< br>3x
2
2x1



4x
2
 5x1

22
2
观察发现
x
2
3x23x
2
2x14x
2
5x1
，故可设
x3x2 u
，

3x
2
2x1v
，原方程变为
u
2
uvv
2


uv

，方程由 繁变简，可得解.
2

（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽 学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣.
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：
x
4
3x
2
20
【答案】
x
1
1
，
x
2
1
，< br>x
3
2
，
x
4
2

【解析】
试题分析：
通过观察发现
xx
4

，故设
x
2
2
2
y
，原方程变形为
y
2
3y 20
，可把高次方程
降次，转化为可解的一元二次方程.
试题解析：
解：设
xy
，则原方程变形为
y3y20
，
解得，
y
1
1
，
y
2
2
，
由
y
1
1
得
x
2
1
，解得< br>x
1
1
，
x
2
1
，
由y
2
2
得
x
2
2
，解得
x
3
2
，
x
4
2
，
∴方程的解是
x
1
1
，
x
2
1
，
x
3< br>2
，
x
4
2

【难度】较易
（分式方程）
22

x

x

【例题
2
】解方程：

5

60
x1x1

【答案】
x
1

【解析】
2

32
，
x
2


43
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.
试题解析：
解：设
x
y
，于是原方程变形为
y
2
5y60

x1
解得
y
1
3
，
y
2
2
x3
3
，解得
x
1

，
x 14
x2
当
y
2
2
时，
2
，解 得
x
2


x13
当
y
1
 3
时，

32
，
x
2

均为原方 程的根.
43
32
∴方程的解是
x
1

，x
2


43
经检验
x
1

【难度】较易
【例题3】已 知实数
x
满足
x
2

【答案】
2

【解析】
试题分析：
111
，那么的值是（）
x0x
x
2
xx
1
1

1

由于
x
2

2


x

2
，故 设
xt
，可解.
x
x

x

试题解析：
解：设
x
2
1
t
，
x
2
1

1

原方程化简得

x

2x 0
，
x

x

∴
t
2
2t0
，
解得
t
1
1
，
t
2
2
< br>1
1
化简得
x
2
x10
，△＜0，无解，舍 去
x
1
∴
x2
x

由
x
点评：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设
元.
【难度】一般
（无理方程）
【例题4】解方程：
1
【答案】
x
1

【解析】
试题分析：
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
1
2x10


xx23
19
，
x
2


44
2x2

，
xx
与
2
110x
互为倒数，可设
1y
，则原方程变形为
y
，无理方程 化为有理方程.
x
y3
x2

试题解析：
解：设
1
2
2
110
y

y＞0
，则原方程变形为
y
x
y3

整理得
3y10y30

解得
y
1
3，
y
2

当
y
1
3
时，
1 
1

3
2
1
3
，解得
x
1

x
4
当
y
2

21
19
时，
1
，解得
x
2


x3
34
19< br>，
x
2

都是原方程的根.
44
19
原 方程的解是
x
1

，
x
2


44
经检验
x
1

【难度】一般
【例题5】解方程
x13x10

【答案】
x
1
1
【解析】
试题分析：
7
7
，
x
2
1

2
2
注意到原方程可变为
x13x1
，可设两个未知数，利用韦达定理求解.
试题解析：
解：设
x1m
，
3xn
，
原方程变为
mn1

又∵

mn

m
2
n
2
2mn

∴
142mn
，即
mn
2
3

2
3
0
的根
2
根据韦达定理，
m、n
是方程
z
2
z
解得
z
1

1717
，
z
2


2
2
∵
17
＜0
，
2

∴
z
2
舍去
即
m
17
17
或
n

2
2
17
17
或
3x

2
2
故
x1
解得
x
1
1
7
7，
x
2
1
2

2
7
7
，
x
2
1
是原方程的解 2
2
经检验
x
1
1
∴方程的解是
x
1
1
【难度】一般
类型二均值换元
7
7
，
x
2
1
2
2

【例题6】解方程：

x3



x1
< br>82

【答案】
x
1
0
，
x
2
4

【解析】
试题分析：
观察方程可知

x3



x1

2
，适合使用均值法换元，故设
y
可达到降次目的.
试题解析：
解：设
y
44

x 3



x1

x2
2


x3



x1

x2
244
，
原方程变为

y1



y1

82

2222
整理得


y 1



y1


2

y 1

y1

82


22
解得
y10
（舍），
y4

2
即
y
1
2
，
y
1
2

由
x22
，得
x
1
0

由
x22
，得
x
2
4

∴原方程的解为
x
1
0
，
x
2
4< br>
点评：一般形如

xa



xb< br>
c
的方程可用均值法，设
y
进行代换，化原方程为双二次方程求 解.
【难度】较难
类型三倒数换元
【例题7】解方程：
6x
4
5x
3
38x
2
5x60

【答案】
x
1

【解析】
试题分析：
本题的特 点是：按
x
降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如
6x
4
与
6
，
5x
3
与
5x
系数相等，可构造
x 
试题解析：
解：显然
x0
不是方程的解，故用
x
2
除方程两边， < br>整理得
6

x
设
yx
44
xax bab
x
22
11
，
x
2
2
,
x
3
3
，
x
4


23
1
换元.
x


2
1

1

5x

380
，
2
< br>x

x

11
，则
x
2

2
y
2
2
，
xx
上式变为
6y
2
25y380
，
整理得
6y5y500

2

510
，
y
2

，
2 3
151
由
x
，解得
x
1

，
x
2
2

x22
1101
由
x
，解得
x
3
3
，
x
4


x33
解得
y
1

432
点评：形如
axbx cxbxa0
的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂
排列后，与中间项等距离 的项的绝对值相等，其解法是，用
x
2
除各项，构造
x
方程变为一 元二次方程得解.
【难度】较难
类型四常数换元
【例题8】解方程
x23x3x310

32
1
，使原
x

13
4
1213
4
1 2
，
x
3


【答案】
x
1
1 3
，
x
2

22
【解析】

试题分析：
这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设
x
看作已知数，把< br>3
设
为设
t
，则方程就变成关于
t
的一元二次方程.
试题解析：
解：设
3t

则原方程变形为
x
3
2x
2
txt
2
t10

即
x t
2
2x
2
1tx
3
10

整理得

x
2



31x1


x31


0




x
2


31x10
或
x310


13
4
1213
4
12
解得
x
1
13
，
x
2

，
x
3


22
【难度】困难
三、实战演练
类型一局部换元
（高次方程）
1.已知
x
2
y
2
1x
2
y
2
38
，则
xy
的值为（）
【答案】1
【解析】
试题分析：
解题时把
xy
当成一个整体考虑，再求解就比较简单.
试题解析：
解：设
xyt
，

t0

，则
2 2
22

22
原方程变形为

t1
< br>t3

8
，
整理得

t5

t1

0
，
解得
t
1
5
，
t
2
1
，
∵
t0

∴
t1

∴
xy
的值是1
【难度】较易
2.解方程：< br>x2x
22

2

2
3x
2
 6x0

【答案】
x
1
0
，
x
22
，
x
3
3
，
x
4
1
【解析】
试题分析：
观察可知，方程整理后
x2x
试题解析：
解：方程整理后
x2x
设
x2xy
，则
原方程变为
y3y0
解得
y
1
0
，
y
2
3
2
2

2

2
3

x< br>2
2x

0
，可用换元法降次.

2

2
3

x
2
2x

0



由
y
1
0
，得
x
2
2x0
，解得
x
1
0
，
x
2
 2

由
y
2
3
，得
x
2
2x 3
，解得
x
3
3
，
x
4
1

∴原方程的解是
x
1
0
，
x
2
 2
，
x
3
3
，
x
4
1

【难度】较易
3.方程
x3
2

2

2
5

3x
2

20
，如果设
x
2
3y
，那么原方程可变形为（）
222
A．
y5 y20
B.
y5y20
C.
y5y20
D.
y5y20

【答案】D
【解析】
试题分析:
注意到
x
2
3
与
3x
2
互为相反数，只有符号要变化 ，可利用换元法变形.
试题解析：
解：设
x3y
，则
3xy

用
y
表示
x3
后代入方程得
y5y20

故选D.
【难度】较易
2
2
22

4.解 方程：
x1

2

2
x
2
3

【答案】
x
1
1
，
x
2
1

【解析】
试题分析：
22
1.以
x1
为一个整体换元 ，因此要对方程进行变形使其含有
x1
.

2
x
2.把方程展开成标准的双次方程，再对进行换元.
试题解析：
解法一：原方程可化为
x1x120
，
2
设
x1y
，得
yy20
，
2

2

2
2

解得
y
1
2
，
y
2
1

由
x
2
12
，解得
x
1
1
，
x
2
1

由
x
2
11
，
x
2
2
无实根
∴方程的解是
x
1
1
，
x
2
 1

解法二：由方程得
x
4
x
2
20
，
设
xy

得
yy20
，
解得
y
1
1
，
y
2
2
（舍去）
由
x
2
1
，解得
x
1
1
，
x
2
1

∴方程的解是
x
1
1
，
x< br>2
1

点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为 换元对象.在解方程的
过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方 法都可以
应用.

【难度】较易
（分式方程）
5.解方程
2
2
6
x
2
x1
2
xx
【答案】
x
1
2
，
x
2
1

【解析】
试题分析：
方程左边分式分母为
x
2
x
，可将右边
x
2
x
看成一个整 体，然后用换元法解.
试题解析：
解：设
xxy
，则原方程变形为
2
6
y1

y
解得
y
1
3
，
y
2
2< br>
当
y
1
3
时，
x
2
x 3
，△＜0，此方程无实根
当
y
2
2
时，
x< br>2
x2
，解得
x
1
2
，
x
2
1

经检验，
x
1
2
，
x
2
1
都是原方程的根.
【难度】较易
6.解方程：
x

x2


2

x1

2

【答案】
x
1
12
，
x
2
1 2

【解析】
试题分析：
整理后发现
x

x 2

x2x
，故
x

x2

1

x1

，就可换元解题了
2
2
试题解析：
2
解：方程整理后变为
x2x
2

x1
< br>2
2
，
两边加1得

x1

2

2

x1

1

设

x1

y
，则
原方程变为
y
2
2
1

y
整理得
yy20

2

解得
y
1
2
，
y
2
1
（舍去）
由y
1
2
得

x1

2
，解得< br>x
1
12
，
x
2
12

经检验
x
1
12
，
x
2
12
是原方程的解
∴方程的解是
x
1
12
，
x
2
12


【难度】较易
2
x
2
x12x
2
x219

2

7.解方程
2
x1xx16
【答案】
x
1
x
2
1< br>，
x
3

【解析】
试题分析：
22
x< br>2
x1
2x
2
x2

xx1

x1
x
2
1
y
，原方程可化观察到
2，设
1
2
x
2
1
xx1x
2x1xx1
3535
，
x
4


22
为
y
119
1
，由繁变简，可解.
y6
试题解析：
x
2
x1x
2
1191
解：原方程变形得，
22
x1xx16
x
2< br>x1x
2
113

即
x
2
1x
2
x16
x
2
x1
113
y

y
设，则原方程变为
y6
x
2
1
整理得
6y13y60

解得
y
1

2
32，
y
2


23
3
x
2
x 13

，解得
x
1
x
2
1
由y
1

得
2
x12
2
35352
x
2
x12

xx
由
y
2

得，解得，
34
2
22
x13
3