任由爱-知识就是力量英文

广东石油化工学院高州师范学院

用换元法解不等式
广东石油化工学院高州师范学院309数学（3）班 傅慧


【 摘要】
换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的
结构特点， 将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容
易证明，这种方法称为换 元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命
题化为简单的、熟悉的命题。
换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证
明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，
换元法一般 有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。

【关键词】 换元法 三角换元 代数换元

做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功 半。解答数学问题
关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。波利亚说过：“解 题的成
功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”

换元法是数学中的一个基本方法之一。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进
新的变量，可以把 分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂 的计算和推证简化。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、
有利于标准化的原则，换元后要注重新变量 范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量
的取值范围，不能缩小也不能扩大。下面通过几个例题介 绍几种换元的思想和方法。

一、
增量换元

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。
例1 设
x,y,z

0,1

并且它们的和为2 ，求证
1xyyzzx
4
.
3

1

数学与计算机系 数学教育 《换元法解不等式》
分析与证明 由条件x,y,z

0,1

可令
x1a
1
, y1a
2
,z1a
3
，且
a
1
,a
2
,a
3


0,1

，则
a
1
a
2
a
3
1
.

xyyzzx

1a
1

1a
2



1a
2

1a
3



1a
3

1a
1



3-2

a
1
a
2
a
3



a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1



1a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
1

又
1-3

a
1
a
2
a
2
a
3
a
3a
1



a
1
a
2
a
3

2
3

a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1


=
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1



1

a
1
a
2

2


a
3
a
2

2


a
3
a
1

2
0
，
2
222

1

a
1
a2
a
2
a
3
a
3
a
1

.
3

xyyxzx1a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
，

1xyyzzx1
14

.
33
例 2

已知
a2,b2
，求证
abab
.
证 设
a2m,b2n
，显然
m0,n0
.
则
a bab2m2n

2m

2n



4mn42m2nmn


mnmn0

故
ab
.
注 增量换元 的目的，在于从不等式
ab
转化为
abx
这个等式。再应用这个不等式 往不
等转化，以达到证题的目的。

二、三角换元

在解 某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利
用函数的性质解决问题 。

例3 若
pqr1
，且
0p,q,r1
，求证：
pqr3
.

2

广东石油化工学院高州师范学院
2
分析 由
pq r1
，可令
pcos

，
qsin
2
cos
2

，
rsin
2

cos
2

，其中

，




0，


2


.则

pqrco
2
s

sin
2

c o
2
s

sin
2

sin
2



co

s sin

co

ssin

sin



co

ssin


co

ssin




co

s2sin

si

n





4




co

s2sin



3si


n


arctan
2< br>

3


2


例4 已知:
a1,
b0,
ab1,
求证:
0
1
< br>a



a
1

a







b
1

b



1
.
分析:由于
a1,
b0,
ab1,
并且不等式中有
a,b,

因此我们联想三角函数平 方关系:
sec
2

tan
2

1
.经过对比,发现
a
相当于
sec
2

，
当于tan
2

，因而可令：
asec
2

,< br>btan
2






0< br>

2


.
证明:令
asec2

,
btan
2






0


2


, 则
1

a



a
1

a







b
1
b





1sec
2

1tan
2

1
sec
2

sec

tan


sin

1

可见原不等式成立。
-510sin




4




10

原不等式成立。

3
b
相

数学与计算机系 数学教育 《换元法解不等式》
从例3，例4可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等 式的结构与三角
函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式

三、代数换元

对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，则能化难为易，简洁
明快地解决问题。
例5

解不等式
2
2x
32
x2
320
.
解：设
2
x
t
，则原不等式可化为
t
212t320
，
解之得
4t8
.
即
4 2
x
8
，故
2
2
2
x
2
3
.
根据指数函数的单调性，原不等式的解集为

x2x3

.
例6 设a,b,c是三角形的三边长，s是三角形的半周长，求证：

abc8

sa

sb

sc

。
证明 令
axy,byz,cz
，其中
x0,y0,z0
，则

s
1

abc

xyz
.
2
所以不等式等价于

yz

x z

xy

8xyz

因为
yz2yz
，
xzxz
，
xyxy
.
上述三式相乘，得


yz

zx

xy

2yz2xz2xy8x yz

故原不等式得证。

四、均值换元

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。
2
x
1
2
x
2
例7
n
个正数
x
1
,x
2
,x
n
,
它们的和是1,求 证:




x
1
x
2
x
2
x
3

4

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22
x
n
x
n
1
1


.
x
n1
x
n
x
n
 x
1
2
分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等
式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令
x
1

n
x
2
x
3
x
n
x
1
m2
,
,
x
n
m
n
（其中
m
i
0
）.
x
2

22
i1
x
1
x
2
m
1
,
2
证明:令
x
1

xx
1
xx
3
x< br>1
x
2
m
n
,
则
m
1,x
2

2

m
2
,

,< br>x
n

n
2
22

m
i1
n
i
0
.
22
2
x
n
x
n
x
1
2x
2
1





x
n 1
x
n
x
n
x
1
x
1
x
2
x
2
x
3

1

1

1


xxmxxmxxm
1212 32n1n

222



x
1
x
2
x
2
x
3
x
nx
1
2
x
n
x
1
x
1
 x
2
x
2
x
3
m
1
2
m
2



m
1
m
2
 m
n


444x
1
x
2
x
2
x
3
2
m
n


x
n< br>x
1
222


2

x
1
x
2
x
n


4
1

2

因而原不等式成立。
例8 设
x2y3z12
，求证：
x
2
2y
2
3z
2
24< br>.
分析
xyyzzz12
，故平均值为2.
令< br>x2t
1
,y2t
2
,z2t
3
，则< br>t
1
2t
2
3t
3
0
.

5

数学与计算机系 数学教育 《换元法解不等式》
222
x
2
2y
2
3z
2


2t< br>1

2

2t
2

3
2t
3



244

t
1
2t
2
3t
3

t
1
2
2t
2
2
3t
3
2


24
.
注 选取平均数，引入新变元，证明过程的确自有它独特的魅力。
又证
1
2
11
x22x,2y
2
4 4y,3z
2
66z
,
222
1
三式相加：x
2
2y
2
3z
2
122

x2y3z

24
，
2

x
2
2y
2
3z
3
24
，
111
等号当且仅 当
x
2
2,2y
2
4,3z
2
6
，
222
即
xyz2
时取得。
注 凑常数，决不是信手拈来，估计等号成立的条件，有的放矢地匹配。

再证

123

x
2
2y
2
3z
2


x2y3z

144

2
 
x
2
2y
2
3z
2
24
.
例7例8说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。


五、
几何换元

在∆
ABC
中，ABc,BCa,CAb
，内切圆交
AB,BC,CA
分别于
D, E,F
,如图，则可设
axy,byz,czx
，其中
x0, y0,z0
.几何换元法能达到利用等式反映出三角形任
意两边之和大于第三边的不等关系 的功效。
例9 已知
a,b,c为三角形三边，求证
abc
3
.
bcaacbabc
证：设
axy,byz,czx
其中
x0,y0,z0
，
则
abc
xyyzzx



bcaacbabc
2z2x2y


6

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1


x





2


z
z


y




x



z
z

y




x

y


x



y




1

xzyzyx

222

3



2

zxzyxy

所以原不等式得证。

例10

已知
a,b,c
是
ABC
三边的长，求证：
a
3
bb
3
cc
3
aa
2
b
2
b< br>2
c
2
c
2
a
2
.
分析:(如图)作
ABC
的内切圆,设
D,E,F
为切点,
令
xBD,yCD,zAE,
(其中
x,y,zR

),
则原不等式可转化为:

y
2

z
2
x
2


zxy

z

x

y

2x2y2z
.

利用重要不等式:
ab2ab
可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。
证明:设
D,E,F
为切点,令
xBD,yCD,zAE,
则原不等式可转化为:

y
2

z
2
x
2


zxy

z
 
x

y

2x2y2z
.


1



A
E
F
又因为
x,y,zR

,则有
yz
x
z2y,

x2z
,
y2x
，
zx
y
22
2
B
D
C
所以(1)式成立,因此原不等式成立。
从例9，例10可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题 意结合几何图形进行分析、
换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

六、向量换元


7

数学与计算机系 数学教育 《换元法解不等式》
例11 已知
a,bR
，且
ab1
，求证
2a 12b122
.

证：设
m

1,1

,n


2a1,2b1
，则
mn2a 12b1




m2,n2a12b12
.

由性质
mnmn，得2a12b122
.

例12 已知
xyz1
，求证
x
2
y
2
z
2

1
.
3


证：设
m

1,1,1

,n

x,y,z

，则mnxyz1
，


m3,nx
2
y
2
z
2

1

2

2

2
由性质
mnmn，得x
2
y
2
z
2


3

七、对称换元
例13 设
a,b,cR
,
求证:
abc

bca

cab

abc

.
分析:经过观察,我们发现,把
a,b,c
中的两个互换,不等式不变,说明这是
一个对称不等式,如果我们令
xbca,y
cab,
zab c,
则原不等式可化为:

xy

yz
zx

8xyz
.
这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。
证明:令
xbca,ycab,zabc
,则
a
1< br>
yz

,
b
1

xz
< br>,c
1

xy

.
222
a,b,cR

,
当xyz0
时,有 
xy

yz

zx

8xyz
；
当
xyz0
时,有
x,y,zR

(否则
x,y,z
中必有两个不为正值,不妨设
x0
,

y0
,则
c0
,这与
c0
矛盾), 因此
xy2xy0
,
yz2yz0,
zx2zx0,


8

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
xy< br>
yz

zx

8xyz
,
综上所述,恒有

xy

yz

zx

8xyz
,
把
x,y,z
代入上式得:
a bc

bca

cab

abc

.

例14 设
a,b,cR
,求证:
a
2
b
2
c
2

a
2
b
2
c
2



abbcca

2

2



abc

2< br>
a
2
b
2
c
2


abbcca


2
.
分析:类似于例13,我们不难发现, 这也是一个对称不等式,因此可考虑令
xabc,
ya
2
b
2
c
2
,
zabbcca,

则原不等式可化为 2

yz

z
2
0
.这是一个简单的不等式, 由已知条件可证该不等式,因此我
们可按上述换元证明原不等式。
证明:令
xa bc,
ya
2
b
2
c
2
,
za bbcca,
则
x
2
y2z,

yz
原不等式可化为:
1

ab

2

bc

2


ca

2
0
,
2
2

yy
2
z
2
x
2

yz

,
将
x
2
y2z,
代入上式得:

yy2
z
2


y2z



yz

,
2


yz

y
2
yz

y2z

yz


0
,
2

yz

z
2
0
,
又由 已知条件可知,2

yz

z
2
0
成立,而上 述过程可逆,因此原不等式成立。
对于类似于例13与例14的对称不等式，可以结合不等式的具体形 式换元，简化不等式
的结构，使得不等式容易证明。


9

数学与计算机系 数学教育 《换元法解不等式》

八、总结


用换元法证明不等式的换元方法多种多样，变换灵活，以 上是我们在用换元法时证明不
等式经常用换元法，在换元方法中，每种方法各有特点，从上述方法可以看 出。各种方法各
有优缺点。那么在证明不等式的时候，我们具体选择哪种证明方法，才能方便、快速、准 确
地得出所要证明的结论呢？我认为应该没有固定的模式可寻，它必须根据不等式的已知条件
和 结论的具体形式来科学加以选取适当的方法，再运用不等式的相关性质和其它数学手段经
过严格的逻辑推 理，这样方可得出正确的结论。



参考文献
[1]中等师范学校教科书《代数与初等函数》第一册，人民教育出版社
[2]《怎样解题----高中数学解题方法与技巧》，薛金星，北京教育出版社
[3]《不等式方法·技巧·优美解》，张嘉瑾，长春教育出版社
[4]《智慧的阶梯——论数学思想方法的教与学》，肖学平，国防大学出版社














10

广东石油化工学院高州师范学院
广东石油化工学院高州师范学院
毕

业

论

文

答

辩

记

录

表

论文题目
论文作者 傅慧
换元法解不等式
数学与计算机系
助理讲
师
309数学
学 号
（3） 班
论文评阅老助理
曾春燕 职称
师 讲师
职 称 数学高级讲师
论文指导老师 杜玉坤 职称
答辩小组主持人 简 艺
姓名 张文宏 职称
答辩小组成员
高级高级
姓名 张汉省 职称
讲师 讲师
高级
姓名 简 艺 职称 姓名 职称
讲师
2012年5月15日 答 辩 时 间
答 辩 题 目

x1x
2
解不等式arccos
以及概括用换元法解反
2arccosx
，
2
三 解函数不等式的步骤。

答辩记录（可加页）：
分析：注意到
x

-1,1

，可以联想到正弦函数的有界性，可令
xsin
.




，



-，

，则 解：易知
x

-1,1
< br>，可设
xsin

2,2

x1x
2
sin

cos



3






cos




且




-，

.
22
44


4

4







,

-，

x1x
2


4

2,4

所以
arcco s



2




,



,


4

42< br>





而
xsin
cos




，且




0,


.
2

2








2





42

或 所以
arccos

，故原不等式等价于

2








24


11

数学与计算机系 数学教育 《换元法解不等式》






2




4

2

即得
-




或




5
.

24412





< br>
42

综合得
-

2



5

.
12
所以
-1sin

sin

5

26

，原不等式的解集为

-1，

.
12
4

所以用换元法解反三解函数不等式的步骤是：
1、确定不等式有意义的
x
的范围;
2、设元: 联想一些常用的三角公式, 结合
x
的取值范围恰当地令
xf



（f

x

为某一
种三角函数), 再根据
x
的范围确定

的取值范围;
3、换元: 将
xf



代人不等式的两边,通过反三角函数恒等变换, 将不等式化简成
关于

的代数不等式;
4、消元: 由3中解出的

范围, 以及
f



的单调性消去

, 便得到原不等式的解集。



12