圣诞夜歌词-文化常识

浅谈换元法应遵循的原则
换元法是一种有效的解题方法，通过它可以达到 化难为易，化繁为简的解题目
的。换元法的应用范围十分广泛，解题方法也很多，不少同学难以把握。其 实，
应用换元法解题也有一定的原则可以遵循，本文笔者就一些具体的例子，对应用
换元法解题 应遵循的原则谈一谈。

1.整体性原则
例1.解下列方程：
（1）

2

（2）
10
lg
2
3




2

x
lgxx
3


4


x
x
20

3)
，则

< br>2

x
解：（1）令
t(2
x
1
< br>3




t
原方程化为
t
1
t
4
，解得
t23

即
(23)
x
23
，
x2

（2）令
tlgx
，
x10
t

原 方程化为
10
t
10
t
20
，
t1

即
lgx1
，
x
1
10
，< br>x
2

经检验，
x
1
10
，< br>x
2

1
10
1
10
22

都是原方程的解
由此看出，利用换元法解题时，常把其中有规律的式子当作一个整体，设为< br>一个新的变量，从而使问题中隐蔽的条件明显化，复杂的关系简单化。这就是所
谓的整体性原则。 遵循整体性原则，是换元法的本质所在。
2.简洁性原则
例2.求函数
yx1x
的值域
解：令
t1x

t0

，则
x1t
2

1< br>
55
原函数化为
y1tt


t

2

44

2
2
函数的值域为
y

,


4

例3.求函数
yx1x
2
的值域
解 ：由
1x
2
0
得函数的定义域为
1x1


令
xsin

，



,

，则

22


5



ys in

1sin
2

sin

cos




2sin





4


由于



,

，则



,

，
s in






,1

< br>4


2

4


44


22

所以
y

1,2


简洁性原则包括选择简洁代换和使 新变量的范围尽量最简这两个方面。上述
两例正是依据题目的特点，分别采用了简洁的代数换元和三角换 元，从而获得巧
妙的解答。例3中限定



,

，也是在满足等价变换的基础上，使新变量


22

的范围保持 了最简，从而使整个解题过程简洁流畅。如果设



0,2

或

R
，
就需要对

所在象限进行讨论。 计算结果虽然相同，却使解题陷入繁琐的境地。
遵循简洁性原则是换元法的基本要求。同时，这也是数学 中简洁美的体现。
3.统一性原则
例4.求椭圆
x
2





3





2




3
y
2
1
上 的点到直线
xy40
的最近和最远距离
解：设
P

x
0
,y
0

是椭圆上的任意一点，令
x
0
3cos

，
y
0
sin


0

2





2sin




4
3

2
所以
d< br>3cos

sin

4
2
2


从而
d
max
32
，
d
min


例5.求函数
y
解：令
ttan

2
sin

1
cos

2
的值域
2 t
1t
2
，由万能公式得
sin


2t1 t
t3
2
2
，
cos


1t
1t
2
2

原方程化为
y
，即

1 y

t
2
2t3y10



4

,0


3

由判别式法求得函数的值域为


例4通过换元将二元
x
0
、
y
0
的关系统一到了一元

的关系上，例5将两个函
数< br>cos

和
sin

的关系统一到了一个函数
tan

2
的关系上，在实现问题条件的统一
过程中，将问题化难为易，化繁为简。 这种统一性原则体现的是减元，改变函数
式结构，降幂等思想。换元过程中遵循统一性原则，有助于我们 寻找问题的突破
口。
4.等价性原则
例6.求函数
ysinxcosxsinxcosx
的最大、最小值
错解：令
tsinxcosx
，则
sinxcosx
t1
2
2
t1
2
2

原函数化为
t< br>1
2

t1

2
1

当
t1
时，
y
min
1
，函数无最大值
分析：本题错解的原因在于忽视了新变量
t
的取值范围。
由于
t sinxcosx


2sin

x

， 所以
t
4


2,2

。
正确解 ：令
tsinxcosx
，由于
tsinxcosx

 
2sin

x

，所以
4

t

2,2

，则
sinxcosx
t1
22
t1
2
1

2

原函数化为
 t
1
2

t1

2

当
t1
时，
y
min
1

当
t2
时，
y
max

1
2
2

由此可以看出 ，利用换元法解题时，需要使新变量的允许值和原变量的可取
值范围之间保持等价，这就是换元法应遵循 的等价性原则。忽视等价性是换元法
解题中易出现的错误，应特别加以注意。
本文是对论文的 一个补充，遵循上述的四个原则，可以帮助我们更深刻地理
解换元法，进而灵活地运用它，使之成为我们 解题的有力工具。