经典短信铃声-地震自救常识

换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而 使问题得到简化，这叫换元
法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是 变换研究对象，将问题
移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化， 变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来 ，隐含的
条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不
等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知
中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问 题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0）， 而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数
方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为 三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有
某点联系进行换元。如求函数y＝
x< br>＋
1x
的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin
α ，α∈[0,< br>2
xxx

2
]，
问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么 会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去
根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化
为三角问题。
均值换元， 如遇到x＋y＝S形式时，设x＝
222
SS
＋t，y＝－t等等。
22< br>我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，
一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,

]。
2
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
1

2.设f(x
2
＋1)＝log
a
(4－x
4
) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a
n< br>}中，a
1
＝－1，a
n1
·a
n
＝a
n 1
－a
n
，则数列通项a
n
＝___________。
4.设实数x、y满足x
2
＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是__________ _。
13
x
5.方程＝3的解是_______________。
13
x
6.不等式log
2
(2
x
－1) ·l og
2
(2
x1
－2)〈2的解集是_______________。
t
2
1
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－
2
,
2
]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝
2
2
1
2
，y
max
＝＋
2
；
2
2小题：设x
2
＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log
a< br>[-(t-1)
2
＋4]，所以值域为(－∞,log
a
4]； 3小题：已知变形为
所以a
n
＝－
1
a
n1
－
11
＝－1,设b
n
＝，则b
1
＝－1,b
n< br>＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，
a
n
a
n
1
；
n
4小题：设x＋y＝k，则x
2
－2kx＋1＝0, △＝4k
2
－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3
x
＝ y，则3y
2
＋2y－1＝0,解得y＝
x
1
，所以x＝－1； < br>3
5
6小题：设log
2
(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得 －22
,log
2
3)。
4
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x
2
－5xy＋4y
2
＝5 （ ①式） ，设S＝x
2
＋y
2
，求
（93年全国高中数学联赛题）
1
S
max
＋
1
S
min
的值。


xScosα
【分析】 由S＝x＋y联想到cos
α＋sinα＝1,于是进 行三角换元，设

代入


ySsinα
2222
①式求S
max
和S
min
的值。


xScosα
【解】设

代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5


ySsinα
10
解得 S＝ ；
85sin2α
2

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
∴
101010
≤≤
1385 sin

3
1
S
max
＋
1
S
m in
＝
313168
＋＝＝
1010105
8S10
的 有界性而求，即解不等式：|
S
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝
8S10
|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
S
【另解】 由S＝x
2
＋y
2
，设x
2
＝
SSSS
＋ t，y
2
＝－t，t∈[－，]，
2222
S
2
S2
2
－t
代入①式得：4S±5
－t
2
=5，
则xy＝±
44
移项平方整理得 100t
2
+39S
2
－160S＋100＝0 。
1010
∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤
133
2
∴
1
S
max
＋
1
S
min
＝
313168
＋＝＝
1010105
【注】 此 题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x
2
＋y
2
与三 角公式cos
2
α＋sin
2
α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数 问题转化为三角函数值域问题。第二种解
22
法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2
＋y
2
而按照均值换元的思路，设x
2
＝
S
＋t、y
2
＝
S
－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求 值域的几种方法：有界法、不等式性
质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一 种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋
b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换 元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，
代入①式整理得3a
2
＋1 3b
2
＝5 ，求得a
2
∈[0,
5
]，所以S＝(a－ b)
2
＋(a＋b)
2
＝2(a
2
＋b
2
)＝
3
1020
2
1010
11
＋a∈[,]，再求＋的值 。
1313133
S
max
S
min

例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，
2
1
1
＋＝－，求co s
cosA
cosC
cosB
AC
的值。（96年全国理）
2
3


AC120°
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

；
B＝60°

A＝60°α
AC
由“A＋C＝120°”进行均值换 元，则设

，再代入可求cosα即cos。
2

C＝60°－ α

AC120°
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得

,
B＝60°

由A＋C＝120°，设


A＝60°α

C＝60°－α
11
1
11
1< br>＋＝＋＝＋＝
cosA
cosC
cos(60

)cos (60

)
1313
cos

sin
cos

sin

2222
cos

cos

＝＝－2
2
,
133
cos
2
sin
2

cos
2


444
解 得：cosα＝
，代入已知等式得：
22
AC
， 即：cos＝。
22
2
2
1
1
＋＝－
cosA
cosC
cosB
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
＝－2< br>2
，设
所以cosA＝
1
1
＝－
2
＋m，＝ －
2
－m ，
cosA
cosC
11
，cosC＝，两式分别相加、相减得：
 2m2m
22
ACACAC
cosA＋cosC＝2coscos＝co s＝
2
，
222
m2
cosA－cosC＝－2sin
ACACAC2m
sin＝－
3
sin＝
2
，
22 2
m2
即：sin
4
22
AC
2m
2
AC
2
AC
＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m
222< br>m
2
2
3(m
2
2)
222
AC＝
2
＝。
2
2
m2
1
1
＋＝－2
2
”分别进行均值换元，
cosA
cosC
－16m－12＝0,解 出m
2
＝6，代入cos
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的
运用相当 熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝
4

120°，B＝60°。所以
和积互化得：
2
1
1
＋＝－＝－2
2
，即cosA＋cosC＝－2
2
cos AcosC，
cosA
cosC
cosB
22
ACACAC< br>2coscos＝－
2
[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－
2
cos(A-C)＝
22
222
ACACAC
－
2
(2cos
2
－1)，整理得：4
2
cos
2
＋2 cos－3
2
＝0,
222
解得：cos
2
AC
＝
2
2
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·co sx－2a
2
的最大
值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则 t∈[-
2
,
2
]，由(sinx＋cosx)
2
y
, ,
－
2

2
x
t
2
1
＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
2
∴ f(x)＝g(t)＝－
11
(t－2a)
2
＋ （a>0），t∈[-
2
,
2
]
22
t＝-
2< br>时，取最小值：－2a
2
－2
2
a－
1

2
1
；
2
当2a≥
2
时，t＝
2< br>，取最大值：－2a
2
＋2
2
a－
当0<2a≤
2< br>时，t＝2a，取最大值：
1
。
2

12(0a)

1

22
∴ f(x)的最小值为－2a
2
－2
2
a－，最大值为

。
2
12

2
2a22a(a)

22
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sin x·cosx的内在联系，
将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解 。换元过程中一定
要注意新的参数的范围（t∈[-
2
,
2
]）与s inx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含
了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由 对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况
进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知 中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最
小值的题型时，即函数为f(sin x±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间
上的二次函数或一次 函数的研究。
5

4(a1)
(a1)
2
2a
例4. 设对所于有实数x，不等式xlog
2
＋2x log
2
＋log
2
>0恒成立，
2
a
a1
4a
2
求a的取值范围。 （87年全国理）
4(a1)
(a1)
2
2a
【分析】不等式 中log
2
、 log
2
、log
2
三项有何联系？进行对 数式的有
a
a1
4a
2
关变形后不难发现，再实施换元法。 4(a1)
2a8(a1)a12a
＝t，则log
2
＝log< br>2
＝3＋log
2
＝3－log
2
a
a12a2a a1
(a1)
2
a1
＝3－t，log
2
＝2log ＝－2t，
2
2a
4a
2
【解】 设log
2
代 入后原不等式简化为（3－t）x
2
＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：

3t0

t3
2a
，解得 ∴ t<0即log<0

2
2
a1
t0或t6
 4t8t(3t)0


0<
2a
<1，解得0a1
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设 元，
4(a1)
(a1)
2
2a
关键是发现已知不等式中log
2
、 log
2
、log
2
三项之间的联系。在解决不a
a1
4a
2
等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还 要求对数运算十分熟练。一般地，解指
数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能 要对所给的已知条件进行适当
变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
x
sinθ
sin
2
θ
cos
2
θ
10
cosθ
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
2
222
y
x
y
y
x
3(xy)
【解】 设sinθ
cosθ
＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin
2θ＋cos
2
θ＝k
2
(x
2
+y
2
)＝1,
x
y
10k
2
k
2
x
2
x
2
10
k
2
y
2
y
2
10代入②式得：
2
＋
2
＝＝ 即：
2
＋
2
＝
3
3
yy
xx
3 (x
2
y
2
)
x
1
x
2
31
设
2
＝t，则t＋＝
10
, 解得：t＝3或 ∴＝±
3
或±
y
t
3
3y
3
x
sinθ
cos
2
θ
【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表 示成含tgθ的式子：1
2
y
cosθ
x
10
10
＋tg
4
θ＝
(1tg
2

)
＝tg
2
θ，设tg
2
θ＝t，则3t
2
—10t＋3＝0，
1
3
3(1
2
)
tg

6

∴t＝3或
x
3
1
， 解得＝±
3
或±。
y
3
3
sinθ
cosθ＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二
x
y
x
sinθ
种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求
ycosθ
【注】 第一种解法由
代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
(x1)
2
(y1)
2
例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
916
(x1)
2
(y1)
2
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a
2
＋b
2
＝1有相似之处，于是实
916
施三角换元。
x1
( x1)
2
(y1)
2
y1
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝ sinθ，
3
916
4

x13cosθ
即：

代入不等式x＋y－k>0得：
y14sinθ

3cosθ＋4sinθ－ k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立
的 问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇
到与圆、椭 圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经
常使用“三角换元法 ”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此 题
不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于
平面上x＋y－k>0的区域。即当直 线x＋y－k＝0在与
椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方
y
x


x＋y－k>0
k 平面区域


16 (x1)
2
9(y1)
2
144
程组

有 相等的一组实数解，

xyk0
消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3 时原不等式恒成
立。

7

Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x
3
)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B.
1
lg2 C.
2
lg2 D.
2
lg4
333
2. 函数y＝(x＋1)
4
＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数 列{a
n
}的公差d＝
1
，且S
100
＝145，则a1
＋a
3
＋a
5
＋……＋a
99
的值为___ __。
2
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x
2
＋4y
2
＝4x，则x＋y的范 围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则
a 
1
＋
b
1
的范围是____________。
2
2
6. 不等式
x
>ax＋
3
的解集是(4,b )，则a＝________，b＝_______。
2
7. 函数y＝2x＋
x1
的值域是________________。
8. 在等比 数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋…＋a
10
＝2，a
11
＋a
12
＋…＋a
30
＝12，求a
31
＋a
32
＋…＋a
60
。
9. 实数m在什么范围 内取值，对任意实数x，不
等式sin
2
x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
y D C
A B
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x
2

O x
＋y
2
＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终
平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。





8

9