定积分换元法

玛丽莲梦兔
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2021年01月03日 20:10
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2021年1月3日发(作者:段去惑)


定积分换元法
1、先做这个题

这个题用一般的方法是无法解出来的,因为不知道到底哪个函数求导后是

我们可以设x=a*sin t,要x从0取到a,只要t从0取到π2就行。现在就
用a*sin t代替x。那么,就有

求导数等于cos(2t)的函数是很容易求出来的。结果为

总结:所 谓的换元思想,就是替换。x既可以理解成一个自变量,也可以理
解成一个函数。这个例题中把它当成自 变量不好解,就尝试把它看成是一个函数。
这个函数是你自己可以编的。你可以用x=a*cos t( -π2x=t²(0a
)(当然,因为这样并不能 将开出来,所以虽然换元没问
题,但开不出来也没用)
将一个自变量自己编为一个合适的函数,这就是第一类换元法

2、再看一个题目

这个题目, Sin xdx=-dcos x的。于是有


这里把cos x看成了一个整体,相当于,把整个函数看成了一个自变量。即
t=cos x ,根据x从0取π时,t从1取到0。

将整体看成一个自变量,这就是第二类换元法。
再看一下标准的定理:





正向是第一类,逆向是第二类。
应该能理解了。就是把单独的变量看成一个整体和把整体看成 一个变量的
事。注意好积分号的上下限。

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