换元积分法(第一类换元法)
关爱的作文-圣诞节手抄报内容
§4.2 换元积分法
Ⅰ 授课题目
§4.2
换元积分法(第一类换元法)
Ⅱ 教学目的与要求:
1. 理解第一类换元法的基本思想,
它实际上是复合函数求导法则的逆过程,其关键是“凑微
分”,
d(x)
(x)dx
.
2.
掌握几种典型的凑微分的方法,熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.
Ⅲ 教学重点与难点:
重点:第一换元法的思想,
难点:熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.
Ⅳ 讲授内容:
一、第一类换元积分法
设
f(u)
具
有原函数
F(u)
,
根据复合函数求导法则,有
f(u)du
F(u)C
.若
u
是中间变量,
u
(x)
,
(x)
可微,则
dF(
(x))dFdudu
f(u)f[
(x)]
(x)
。
dxdudxdx
所以根据不定积分的定义可得:
f[
(x)]
(x)dxF[
(x)]C
u
(x)
F[u]C[
f(u)du]
f[
(x)]
(x)]dx
u
(x)
[
f(u)du]F
u
C
F
(x)
C
.
以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍,就有
以上就是第一换元积分法。
从以
上可以看出,虽然
f[
(x)]
(x)d
x
是一个整体记号,但是被积表达式中的
dx
可当作变量
x
的微分来
对待从而上式中的
(x)dx
可以看成是
(x)的微分,通过换元
u
(x)
,应用到被积
表达式中就得到<
br>
(x)dxdu
.
定理1 设
f(u)
具有
原函数
F(u)
,
u(x)
可导,
du
(x)dx
,则
f[
(x)
(
x)dx
f(u)duF(u)CF[
(x)]C
(1)
如何应用公式(1),在求不定积分积分
g(x)dx
时
如果被积函数
g
(
x
)可以化为一个复合函数与
它内函数的导函数的
积的形式
f[
(x)]
(x)
的形式 那么
(x)u
[f(u)du]
F(u)C
u
(x)
F[
(x)]C
.
g(x)dxf[
(x)]
(x)dx
所以第一换元积分法体现了
“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
编辑版word
f[
(x)]
(x)
来.
例1 求
3e
3x
dx
解
3x3x
3x
3edxe3dx=e
(3x)
dx
,可设
中间变量
u3x
,
dud(3x)3dx
3dxdu
,
所以有
e
3x
dxe
3x<
br>3dxe
u
due
u
Ce
3x
C
.
首先观察被积函数的复合函数是什么样的,然后看是否有它的内函数的导数,若没有
就去凑。
例2
解
cos2xdx
11
cos2x2dx=cos2x(2x)
dx
22
令
u2x
,显然
du2dx
, 1111
则
cos2xdx
cos2x2dx
cosudusinuCsin2xC
.
2222
cos2xdx
在比较熟练后,我们可以将设中间变量
u
(x)
的过程省略,从而使运算更加简洁。
例3
(3x2)
5
dx
5
解 如将
(3
x2)
展开是很费力的,不如把
3x2
作为中间变量,
d(3x2)
3dx
,
5
(3x2)dx=
111
556
(3x2)3dx=(3x2)d(3x2)(3x2)C
.
3318
例4
1
32x
dx
111111
dx=2dx=d(32x)ln|32x|C
.
32x2
32x2
32x2
例5
2
2xe
x
2
dx
222
xx2x2x
2xedxe(x)dxedxeC
例6 求
x1xdx
2
x1x
dx
2
1
2
1
(2x)1x
2
dx
2
1
1x
2
(1x2
)
dx
1x
2
d(1x
2
)
2
33
u1x
2
1
udu
1
2
u
2
C
1
(1
x
2
)
2
C
.
2233
二、掌握几种典型的“凑微分”的方法
编辑版word
11
dxd(axb)
;
x
n1
dxd(x
n
b)
;
e
x
dxd(e
x
)
;
an
1
1
d(a
x
)
;
cosxdxd(sinx)
;
dxd(lnx)
;
a
x
dx
lna
x
sinxdxd(cosx);
sec
2
xdxd(tanx)
;
csc
2
xdxd(cotx)
;
secxtanxdxd
(secx)
;
dx
1x
2
d(arcsinx)
;
dx
d
(arctan
x
)
。
2
1x
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分
计算有关函数的不定积分时,需要先把被积函数变形转化,再利用第一换元积分法计算.
例7
求
sin
2
xdx
解
111
2
sinxdx(1cos2x)dxdxcos2xdx
22
2
x1x1
(cos2x)2dxsin2xC
.(此题利用三角函数中的降幂扩角公式)
2424
例8求
dx
ax
22
(a0)
11
x
1()
2
a
xx<
br>d()arcsinC
.
aa
解
dx
a
2
x
2
x
a1()
2
a
dx
利用
d
(
x
)
nx
nn1
dx
,有如下例题
sin
例9
求
1
x
x
1
x
dx
2
1
dx
2
x
解
d()
sin
1
x
dx
(sin
1
)(
1
)dx(sin
1
)(
1
)
dx
sin
1
d(
1
)cos
1
C
xx
xx
2
xx
x
x2
例10求
ecosedx
解
xxxxx
e<
br>cos
edx
=cos
ed
(
e
)sin
e
C
.
xxxx
xx
利用d
(
e
)
edx
,
d(a)alnadx
编辑版word
例11
求
dx
e
x
e
x
习题
4-2:2(30)
dxe
x
de
x
x
解
x
dxarctan
e
C
.
xx2x2
ee(e)1(e)1
例12
求
dx
e
x
1
11e
x
e
x
e
x
1
x
解
x
x
e1e1e1
dxe
x
d(e
x
1)
x
dx
x
dxx
x
x
ln(
e
x
1)
C
.
e1e1e1
6
x
dx
例13 求
xx
49
6
x
3
x
()
x
6
x
4
dx
2
dxdx
解
x
x
x
3
2x
9
4
9
1()
1
x
2
4
113
x
13x
d[()]arctan()C
.
3
3
x
2
2ln3ln22
ln
1()
2
2
此题利用
d
(
a
)
a
ln
adx
xx
下面几个例题利用
d(lnx)
例14
求
1
dx
x
dx
xlnx
解
dx111
xlnx
lnxx
dx
lnx
d(lnx)lnlnxC
.
dx
xlnxlnlnx
;
dx111
=dx
解
xlnxlnlnx
<
br>lnlnxlnxx
又如习题
4-2:2(16)
11
dlnx
lnlnxlnx
1
lnlnx
dlnlnxln|lnlnx|C
.
1
4
例15
求
(2ln
x
5)
dx
x
编辑版word
解
11
44
2
(2lnx5)dx(2lnx5)dx
x
2x
11
(2lnx5)
4
d(2lnx5)(2lnx5)
5
C
.
210
第一次课可以讲到这里.
编辑版word
被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法
(例16~例22六个例题)
例16求
解
dx
a
2
x
2
(a0)
分子是常数,分母是二次二项式,没有一次项.
dx1111x1x
dxd()arctanC
.
a<
br>2
x
2
a
2
x
2
x
a
1()
2
aaa
1()
aa
dx
9x
2
12x4
被积函数分母是一个完全平方式
dx11111
=3dxd(3x2)C
.
9x<
br>2
12x43
(3x2)
2
3
(
3x2)
2
3(3x2)
例17
解
编辑版word <
/p>
被积函数分母是一个完全平方式,被积函数化为
111
dx=
(axb)
2
a
(axb)
2
d(axb
)
dx
4x
2
4x17
分子是常数,分母是二次三项式,不是完全平方式
dxdx11
解
2
dx
2
2x1
4x4x1716(2x1)16
1()
2
4
112x
11x1
d()arctan()C
8
1(
2x1
)
2
4824
4
例18
被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式,不是完全平方式时可以把分母配方化为
(ax
b)
2
c
的形式,
然后利用
练习:求
2
1
dxarctanxC
2
1x
1
x
2
2x5
dx
(第一换元积分法分)
2
解
x2x5(x1)4
,
dx111
dx=dx
2
(x
2
2x5)
(x1)
x1
44
(
2)1
2
11x11x1
=
d=arctanC
x1
2
1(
222
2
)
2
dx
例19 求
2
分子是常数,分母是二次三项式且可以分解因式
xx12
解
Q
11111
()
x
2
x12(x3)(x4)7x4x3
dx1111111
()dxdxdx
x<
br>2
x12
7x4x37
x47
x3
1111
d(x4)
d(x3)<
br>7x47x3
111x4
ln|x4|ln|x3|Cln||C
.
777x3
被积函数分母是二次三项式且可以分解因式,被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.
cc11
[]
(xa)(xb)ab(xa)(xb)例20求
x
1x
2
dx
分子是一次多项式,分母是二次多项式
2
解
d(x
1)
2xdx
编辑版word
x12x111
2
2
dxdxd(x1)ln(x1)C
.
222
1x21x2x12
x
x
2
2x10
dx
2
例21求
解
Qd(x
x12x22
22
x2x10
2
x
2x10
x12x2212x212
2
dx
2
dx
2
dx
2
dx
x2x102x2x102x2x102x2x10
2x10)(
2x2)dx
,则
1d(x
2
2x10)dx11
2
2
ln(x
2
2x10)
dx
2
2x2x10x2x102(x1)9
11x1
111
C
.
ln(x
2
2x
10)
dx
ln(x
2
2x10)arctan
x1
233
29
()
2
1
3
被积函数分子是
一次多项式,分母是二次多项式时,首先把分子凑成分母的导数.
下面几个例题利用三角函数的微分公式:
d(sinx)cosxdx
;
d(cosx)sinxdx
;
d(tanx)sec
2
xdx
;
d(cotx)csc
2
xdx
例22 求
tanxdx
(化切为弦)
解
tanxdx=
3
sinxsinx1
dx=
dx
=
d(cosx)lncosxC
cosxcosxcosx
例23 求
tanxdx
解
322
tanxdxtanx(secx1)dxtanxsecxdx
<
br>sinx
dx
cosx
tanxd(tanx)
例24
求
cscxdx
11
d(cosx)tan
2
xlncosxC
c
osx2
1
x
x
sec
2
11x
22
cscxdx=dx=dxdxd
sinx
t
an
x
2
xxx
2
2sincossin
222
2
x
cos
2
cos
2
1<
br>tan
x
2
dtan
xx
ln|tan|C
.
22
xxx
2sin
2
2sin
2
x
si
n
2
1cosx
22
因为
tan
x
cscxcotx
.
xx
2
cos
2
2sin
2
cos
2
sinx
sinx
编辑版word
所以
x
csc
xdxln|tan|
C
ln|csc
x
cot
x
|<
br>C
.
2
此题用三角万能公式代换也可以
x
2
12
1x
ttan
1t
cscxdx=dxdt
d
tln|t|Cln|tan|C
.
2
2t1t
2<
br>
sinx
t2
例25 求
secxdx
解
secxdx
11
dx
dx
sec(x
)d(x
)
22
cosxsin(x
2
)
ln
|csc(x
)cot(x)|Cln|secxtanx|C
.
22
secxdxln|secxtanx|C
例26
求
cos3xcos2xdx
(利用三角函数积化和差公式)
和差化积公式
积化和差
1
sin
cos
[sin(
<
br>
)sin(
)]
222
1
sin
sin
2cossincos
sin
[sin(
)sin(
)]
222;
1
co
s
cos
2coscoscos
cos
[cos(
)cos(
)]
222
1
c
os
cos
2sinsinsin
sin
[cos(
)cos(
<
br>
)]
222
sin
sin
2si
ncos
解 根据三角函数的积化和差公式:
cos3xcos2x
1
(cos5xcosx)
2
1
cos5xcosxdx
2
1111<
br>
cos5xd5x
cosxdxsin5xsinxC
.
102102
cos3xcos2xdx
由以上例题可
以看出,第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法,始终贯穿着“凑微分”思
想,因此学生应熟悉这些
基本例题。
Ⅴ 归纳总结
1.第一换元法是把被积函数
g
(<
br>x
)凑成
f[
(x)]
(x)
的形式然后应用公式
f[
(x)]
(
x)]dx
u
(x)
[
f(u)du]F
u
CF
(x)
C
;
2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。
编辑版word
111
1
dxd(axb)
;
x
n1
dxd(
x
n
b)
;
e
x
dxd(e
x
);
dxd(lnx)
;
a
x
dxd(a
x
)
;
anlna
x
cosxdxd(sinx)
;
sin
xdxd(cosx)
;
sec
2
xdxd(tanx)
;<
br>csc
2
xdxd(cotx)
;
secxtanxdxd(s
ecx)
;
dx
1x
2
d(arcsinx)
;
dx
d
(arctan
x
)
.
2
1x
3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分
111<
br>;;
dxdx
a
2
x
2
x<
br>2
a
2
ax
2
bxc
dx
;
exf
dx
;
dx
ax
2
bx
c
xlnxlnlnx
Ⅵ
课堂练习:第一次课
P
207
1,习题
4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19);
第二次课2(11)(35)(43)(12)(29).
Ⅶ
课外作业:第一次课
P
207
习题 4-2:
2(1)
(2)(4)(6) (7) (8) (9) (13) (16)(17)(19)(21)(30)
(33).
第二次课2(11) (12) (15) (22)(24) (25)
(26)(32) (34) (35)(43).
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编辑版word