河北理工大学排名-心得体会开头

高考数学专题—数学思想方法3
换元法及待定系数法

解数学问题时，通过一个或几个新变量代替原来的变量，使得代换后的
问题中仅含这些新变量的方法称之 为换元法。用这种方法解题的目的是变量
研究，其实质是移问题至新对象的知识背景中去研究，达到化难 为易，化繁
为简的目的。
待定系数法的实质是方程的思想，把待定的未知数与已知数等同看待列
式即得方程。

第一讲 换元法
例1、已知
3x
2
2y
2
 6
，求
x
2
y
2
6x
的最值。
分析：请看下面解法：
∵
3x
2
2y
2
6
，
∴
x
2
y
2
6xx
2

1
2
(63x< br>2
)6x
1
2
(x6)
2
21

得
x
2
y
2
6x
的最大值为21，无最小值。
思考：上面解法是否正确？

正确解法：
解：由题意得：
x2
2

y
2
3
1

故可设
x2cos

,y3sin

，

[0,2

)

x
2
y
2
6x2cos
2

3sin
2

62c os



362cos

cos
2

(cos

32)
2
21

∵
1cos

1

∴当
cos

1
时，
x
2
y
2
6x
有最大值
262
；
当
cos

1
时，
x
2
y
2
6x
有最小值
262
；



例2、已知
x
2
4y
2
6x32y690
，求
xy5x5y
的最值；
解：
x
2
4y
2
6x32y690
可化为：

(x3)
2
4(y4)
2
4

即
(x3)
2
4
(y4)
2
1

设
x2cos

3,
ysin

4

∴
xy5x5y
(2cos

3)( sin

4)5(2cos

3)5(sin

 4)
2sin

cos

2sin

2co s

23


(sin

cos

)
2
2(sin

cos

)24

[(sin

cos

)1]
2
2 5

∵
sin

cos

2sin(



4
)

∴当
sin(



4
)
2
2
时，
xy5x5y
有 最大值25；
当
sin(



4
)1< br>时，
xy5x5y
在最小值
2222
；

例3、已知
f
1
(x)
2x
1x
2
，
f
n1
(x)f
1
(f
3
n
(x))
，
nN
，求
f
10
(
3
)
的值。
[分析] 此题条件中，
f
n1
(x)f
1
(f
n
(x))
的含义是，
f
2
(x)f
1
(f< br>1
(x))
f
3
(
x
)
f
1(
f
2
(
x
))
f
1
(
f
1
(
f
1
(
x
))),
，显然，按此 递推公式求出
f
3
10
(
3
)
，计算量较大，仔 细观察条件中，
f
2x
1
(x)
1x
2
的形式 与
正切的倍角公式
tg


2tg

1tg2

相近。由此可得解法。
解：设
xtg

，

(

2
,

2
)

1

∵
f
2x
1
(x)
1x
2

∴
f
2tg

1
(tg

)
1tg
2

tg2


f
2
(tg

) f
1
(f
1
(tg

))f
1
(tg 2

)tg4

tg2
2


f3
(tg

)f
1
(tg4

)tg8< br>
tg2
3


┄┄┄┄┄
f
3
3
)f(

2
10

10
(
10
(tg
6
))tg(
6
)

tg
2

3
3


例4、在曲线< br>C
：
y
x1
x
2
2x
上求一点
P
，使它到直线
xy10
的
距离取最小值。
解：
x1x1

∵
y
x
2
2x

(x1)
2
1

设
x1sec

，

(0,

2
) (

,
3

2
)

则
y
sec

tg

csc


又设
P(1sec

,csc

)

则
P
点在曲线
C
上，
P
到直线
xy10
的距离为
S
(1sec

)csc

sin
cos

2

2sin

cos


S
2

(sin

cos

)
2
22sin2

2sin
2

cos2


sin
2
2

2(
1
sin2


1
2
)
2

1
2

∵

(0,

2
)(

,
3

2
)
，∴
2

(0,

)(2

,3

)


∴
0sin2

1
，
∴ 当
sin2

1
时，
S
有最小值2 ；
由sin2

1
及

(0,

2
) (

,
3

2
)
，得



或


5

44

∴ 当
P
点坐标为
(12,2)
时，
P
到直线
xy10
的距离
最小，最小值为2 ；
例 5、已知集合
A{(x,y)x
2
y
2
144}
，< br>B{m3m
2
15amb,(a,b)A}
，
求集合
B
；
解：令
a
2
b
2
k
2
144
，
(0k12)

则可设
akcos

，
bkcos

，

[0,2

)

∴
3m
2
15kmcos

ksin

3m
2
kmcos

ksin

150
，
关于
m
的二次方程有实根的充要条件是
0

又∵
k
2
cos
2

43(15ksin

)k
2
k
2
sin
2

1801 2ksin



(ksin

6)< br>2
144k
2
0

∴
k
2
144(ksin

6)
2
0

∵
k
2
1440

∴


k
2
1440

ksin

60

解得；< br>k12
，
sin


1
2
，
cos


3
2
，
∴ 原方程为
3m
2
63m90

∴
m3

∴ 所求集合
B{3,3}


2

练 习
1、已知
f(x
2
1) lo
4
a
g(4x)(a1)
，那么
f(x)
的值域
是 ；
2、设实数
x,y
满足
x
2
2xy10
，则
xy
的取值范围
是 ；
3、设
a0
，求函数
f(x)2a(sinxcosx)sin xcosx2a
2
的最小
值；
4、设
yx23x
2
，求证：，
y26
； < br>5、已知
x1,y1
，且
log
2
a
xlog
2
a
ylog
a
(ax
2
)log
a
(ay
2
)
(a1)
，
求
log
a(xy)
的最大值与最小值；
第二讲 待定系数法

例1、已知方程
x
4
10x
3
36x
2
52x200< br>有一个根是
3i
解这个方
程；
[分析] 根据实系数方程虚根成对原理，必有另一个根是
3i
，故方程
等价于
[x(3i)][x(3i)](x
2
bxc)0
，其中
b,c
待定，求出
b,c
后
就可求同另二个根。
解： 设
x
4
10x
3
36x
2
 52x20(x3i)(x3i)(x
2
bxc)

令
x0
得
c2
, 令
x1
得
b2
；
∴
x
2
 2x20
,解得：
x
3,4
1i
，
∴原方程的根为
3i,1i
。
例2、已知一个共100项的等比数列
{ a
n
n
}
的前
n
项的和
S
n
a (xb)
，
(1n100,a0)

若
x2
2

2
2
i
，求所有适合等式
S
n
a
10
的
n
值的和；
[分析]
Sa(xn
n
b)
中含有两个字母，直觉告诉我们，去确定
a,b
之
值，是解题中重要的环节。

解： ∵
a
n
S
n
S
n1
ax
n1
(x1)

(n2)

又
{a
n
}
是等比数列，
∴
aa(x1)
，又由
S
n
1
n
 a(xb)
知
a
1
a(xb)
，
∴
a(x1)a(xb)
，
b1

(a0)
，
又
a
10
x
9
)
，
x
2< br>10
a(x
2

2
2
i
cos

4
isin
4

aa(x
10
x9
)
a(cos
9

9

10
4
isin
4
)(cos
4
isin
4
1)

a(cos

isin

)(cos
i

444
sin
4
1)

由
S
n
a
10
得：
∴
(cosn

4
1)isin
n

4
(cos< br>
4
1)isin

4
，
∴
(co s
n

1)
2
sin
2
n

(cos

1)
2
sin
2

4444
∴
cos
n

4

2
2
，
∴
n1,7,9,15,17,23,,97.

例3、曲线
C
2 2
1
：
yaxbxc
的图象与曲线
C
2
：< br>yx3x1
的图
象关于点
(1,2)
对称，求
a,b< br>的值；
解：设
(x
0
,y
0
)
是
C
1
上任意一点，
(x
1
,y
1
)
是(x
0
,y
0
)
关于
(1,2)
对
称 的
C
2
上的点，
则有


x
0
2x
，

y
0
4y

∴
4y
2
1
a(2x
1
)b(2x
1
)c
，
即
y
2
1
ax
1
(4ab)x
1
4a2bc4
①
①与
yx
2
3x1
应为同一方程，
3

即
ax
2
2
1
(4ab )x
1
4a2bc4
x3x1

比较系数得
a1,b7,c7
。
例4、设
a,b
为常数，
a0
，
f(x)
x
axb
,f(2)1
，且方程
f(x)x
有等根，
(1)
求
a,b
之值；
(2)
若
x
1< br>1
0,x
n
f(x
n1
)
，求使
x< br>
1
n1
x

A
n1
x
成立的
A
值
n
(n1,nN)
；
解：
(1)
由
f(2)1
得
2
2ab
1
, 即
2ab2
，
又
f(x)x
，故
x
x
axb
，
因此
x0
或
x
1b
a

方程有等根


1b
a
0
，故
b1,a
1
2
；
(2)
∵
f(x)
x
1

2x
，
x1
x2
2
又
xf(x)
2x
n1
n

n1
x
，
n1
2
∴
x
2x
n
2x
n
n1

2x
且
x
n1

，
n
2x
n
因此，将
x
1
n1
与
x
n1
代入
x

1

A
x
得
A 2
。
n1
x
n1n

练 习
1、已知无 穷等比数列前
n
项和为
S
1
n
n
a(
2
)
，则所有项和等于

()

A、

1
2
B、 1 C、
1
2
D、 任意实数
2、满足
C
01C
12n
nn
2C
n
nC
n
< 500的
n
的最大正整数是
()

A、 4 B、 5 C、 6 D、 7
3、在直角坐标系内有两点
A(1,m)
、
B(1,3)
，点
A
在抛物线
x
2
2py
上，
F
为抛物线的焦点，若
ABAF7
2
，则
m
的值为
()

A、

1
2
B、
1
2
C、 1 D、 不能确定
4、如果恒等式
5x4ab
( x1)(2x1)

x1

2x1
成立，则
a< br> ；
b
；
5、若方程
2x
2
mxy3y
2
5y20
的图象是两条直线，则
m
；
6、函数
yabcos3x(b 0)
的最大值为
31
2
，最小值为

2
，则
y4asin3bx
的周期
是 ；
7、已知函数
y
mx
2
43xn
x
2< br>1
的最大值为7，最小值为
1
，求此
函数的解析式；




8、已知抛物线
C:
y(t
2
 t1)x
2
2(at)x(t
2
3atb)
，对
任意实数
t
均过定点
A(1,0)
，
(1)
求实数
a,b
之值；
(2)
求抛物线
焦点到准线距离的最大值；
4