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名师堂八年级数学第六讲
换元法和添项拆项法分解因式

前面我 们已学过了提取公因式法，应用公因式法，十字相乘法，分组分解
法这四种基本的分解因式的方法，下面 我们再介绍几种因式分解的方法：
1、换元法
（1）直接换元法
例1．用换元法分解因式
（x
2
+4xy+y
2
）
2
-18xy(x
2
+y
2
),观察多项式中含x
2+y
2
,xy,因此我们可以设x
2
+y
2
=m,
xy=n, 用含m,n的代数式表示原式，再将原式分解因式。





试一试，你能用换元法分解下面的多项式吗？
（a
2
+b
2
）（a
2
+b
2
-10）+25



例2．用换元法分解因式
（x
2
+8x+7）（x< br>2
+8x+15）-9,观察多项式中两括号中都有x
2
+8x,因此我们可设
x
2
+8x=m,用含有m的代数式表示原式，再分解：




例3.分解因式 （3x
2
+24x+7）(2x
2
+16x+15)+14,观察发现两括号中二次项、一
次项系数的比为3：24=2：16， 因此可以用换元法分解：
解：




试试看：你能用换元法分解下面多项式的因式分解

（3x
2
+24x+7）(x
2
+8x+15)-41




(2)组合换元法
例4．分解因式
（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）- 9,观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号
内的常数的和为1+7=3+5，因此也可用组合换元 法分解因式。
解：



试一试：分解因式（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-24



例5.证明四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方：
解：





2、基础训练
用换元法分解因式
(1)(x2
+y
2
)(x
2
+y
2
-8)+16 (2)(x
2
+y
2
)(2x
2
+2y
2
-3)-5





(3)(x
2
+2x-5)(x
2
+2x-6)-6 (4)(x
2
+x+
2
)(x
2
+x-4)-16

(5)(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+16 (6)(x-6)(x-3)(x-1)(x+2)+56





(4)利用因式分解解答下列各题
①已知：4 m
2
+12mn+9n
2
-6m-9n=0,且2m+3n≠3。求3(m- 3n)
3
+27m
2
(3n-m)的值。





②已知一个三角形的三边a、b、c满足a
2
(b-c)+b< br>2
(c-a)+c
2
(a-b)=0,试判断这个
三角形的形状，并证 明你的结论。





(5)已知x
2
+3x-2=0，求x
3
+5x
2
+4x-10的值。





第二部分 添项和拆项法
一、知识梳理
1、 添项拆项法
有的多项式由于“缺项”，或“并 项”因此不能直接分解。但如果它们进行
适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了，那么添项和 拆项有没有标
准？
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分
解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用
的。
2、待定系数法
有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系< /p>

数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法
把这 些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待
定系数法分解因式。
二、典例精讲
专题一：添项拆项法
例1 分解下列各式的因式
（1）x
4
+4 (2) 2x
2
+x-1







例2 分解因式：x
3
-3x+2







例3 分解因式：x
3
-9x+8．








变式训练：
（1）x
4
+x
2
+1 (2)x
4
+64 (3)x




4
-7x-2