大敌当前-狼吞虎咽造句

凑角虽巧,换元更妙
湖北省郧县第一中学（442500） 郑传根
在 三角公式的应用中，有一类题型是给值求值,这是三角中的一个重点题型,其形式多样,
变化多端.学生 在解这类题时常常因为找不到恰当的方法而致错,也因此而烦恼.本文旨在通
过例题说明给值求值问题的 不同解法，感受凑角法之巧,体会换元法之妙!供同学们学习或教
师教学参考.
一.公式法
利用已知条件、和差公式及同角三角函数的基本关系式，列方程组求出待求的三角
函数值，是一 种基础而常规的方法.
3
5
，sinB =，则cosC的值为…………（A）
5
13
16561656
16
或
D

A B C
65656565
65
例1在△ABC中，已知cosA =
解：∵C =   (A + B) ∴cosC =  cos(A + B)
3
12
而sinB = 显然sinA > sinB
5
13
4
∴A > B 即B必为锐角 ∴ cosB =
5
1235416

∴cosC =  cos(A + B) = sinAsinB  cosAcosB =
13513565
又∵A(0, ) ∴sinA =

43
例2 已知

,

(0 ,),cos

,cos(



),求sin

.
255

43
解:由

(0,),cos

得sin

.
255
根据两角和的余弦公式与完全平 方公式得
33

4

7

cos

sin

,
55
解得sin

=,或sin

1.

5
25

cos
2

sin
2

1.


7


(0,),sin

.
225
二.凑角法
当所给角与待求 值的角都较复杂时,公式法要么很繁,要么无法解答,这时用凑角法
显得巧而有效.


例3 已知

,

(
求sin (

+).
4

3

3

12< br>,

),sin(



),sin(

).
45413

解:

,

 (
3

3

3

,

),



(,2

),

(,).< br>42424

4

5
cos(



),cos(

).
5413





sin(

)sin


< br>









44




=
sin(
< br>


)cos(

)cos(

< br>
)sin(

)

44

=

3541233
().

51351365
显然,此例如果再用常规的方法,会有不甚其繁的感觉,因而不再使用常规法 ,而直接采
用凑角法.
1

2

)=-,
< br>(,

).sin(-

)=,

(0,).< br>292232
求cos(

+

)的值.
例4 已知 cos(

-

解:由

(,

),< br>
(0,)得



,-

.
2242422

1

2

45

5
且cos(

),sin(

).sin(

),cos(

).
29232923

< br>

coscos[(

)(

)]
222

75
cos(

)cos(

)sin(

)sin(

).
222227< br>


239
cos(



) 2cos
2
1.
2729
三.换元法
当待求角与已知角的关系较隐蔽时,你又会有凑角不便之感.这时不妨用换元的方法来
简化.


2

3

335
例5 已知0<

<



,cos(
),sin(



).
4445413
求sin (



).


3
解:设-

=

,



=

,由条件知< br>44

35412
cos

,sin

 ,sin

=-,cos

.
513513


3
sin(



)sin(





)cos(



)
44
56
(cos

cos

sin

sin

)

.

65
显然，换元之后，凑角中的逆思考变成了顺思考和推理，降 低了难度.

例6 设sin2

=a,cos2

=b,0<

<,给出tan(

+)值的
44
ba1+b1+a
四个答 案:(1);(2);(3);(4).其中正确的序
1a1-bab
号是________ _.

解:令2

=

,则

=. sin

a,cos

b.
2


sin(

)

b
22
tan(
)tan()tan.

4242
1cos(

)
1a
2

或tan(

)tan()tan
424
所以答案为（1）（4）.


1cos(

)
1a
2

2
.

2b
sin(

)
2


3

例7 已知tan

2
tan



2
6.

(1)求证:5cos(

-)7co s0;(2)若tan=2,求cos(

-

).
222



解证:(1)令

,

,则

2

,

2

2

.

22
tan

tan

6,即sin< br>
sin

6cos

cos

0.< br>
5cos(




22
5co s(



)7cos(



)
)7cos


12cos

cos

2sin

sin

0.

(2)tan< br>
2
2,tan

2,tan

3.< br>1tan
2

1(3)
2
4
cos(



)cos2

.

22
1tan

1(3)5

由此可见，虽然凑角可 以很巧地解决求值问题，但换元更有化繁为简、化逆为顺的
作用.在实际解题时采用那种方法要因人而宜 、因题而宜.同时有两点要注意:(1)我们在
体会使用凑角法、换元法的同时,也不要忘记常规方法. 如例4中的凑角易错,换元又不易
想到,这时使用常规的方法也不失为一种好方法.(2)换元法的要领 是,将已知条件中的角
换元,再将待求值的角用新未知元来表示,然后用三角公式求解.

4