艾薇儿冰红茶广告-汉字的起源

§4.2 换元积分法（第二类）

Ⅰ 授课题目（章节）：

§4.2 换元积分法 （
第二类换元
积分
法）
Ⅱ 教学目的与要求：
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：第二换元法中的三角代换及根式代换
难点：积分后的结果进行反代换
Ⅳ 讲授内容：
第一类换元积分法的思想是：在求积分
g(x)dx
时 如果函数g( x)可以化为
f[

(x)]


(x)
的形式 那么


g(x)dx

f[

(x)]


(x)dx

f[

(x)]d< br>
(x)
F(u)CF[

(x)]C

u

(x)

f(u)du

所以第一换元积分 法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如
f[

(x)]

< br>(x)
函数来.对于某些
函数第一换元积分法无能为力，例如
学习的第二类换元 积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换
x(t)
将无理函数f(x)
的积分
有理式
f[

(t)]

< br>(t)
的积分

a
2
x
2
dx
. 对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要

f(x)dx
化为

f[

(t)]


(t)dt
。即

f[

(t)]


(t)dt(t)C
,

f(x)dx

f[

(t)]


(t)dt



(t)
有原函数
(t)
，则若 上面的等式右端的被积函数
f[

(t)]
1
然后再把
 (t)
中的
t
还原成

(x)
，所以需要一开始的变量代换
x(t)
有反函数。
定理2 设
x(t)
是单调、可导的 函数，且


(t)0
，又设
f[(t)]

(t)
有原函数
(t)
，则

f(x)dx

f[(t)]

(t)dt(t)C[
1
(x)]C

分析 要证明

f(x)dx[

1
(x )]C
，只要证明
[

1
(x)]
的导数为
f(x)
，
dddtdt
[

1
(x)]
，
?

dxdtdxdx

§4.2 换元积分法
1

证明
x

(t)
单调、可导，

x

(t)
存在反函数
t

1
(x)
，且dt11


dx
dx


(t)
dt
dddt1
[

1
(x)]f[

(t)]


(t)f(x)

dxdtdx


(t)
[
1
(x)]
是
f(x)
是一 个原函数

f(x)dx[
1
(x)]C
.
第二换元法，常用于如下基本类型
类型1：被积函数中含有
a
2
 x
2
（
a0
）,可令
xasint
（并约定
t (

,)
）则
22
a
2
x
2acost
，
dxacostdx
，可将原积分化作三角有理函数的积分.
例1 求

a
2
x
2
dx

(a0)

解 令
xasint
，
t(

,)
，则
a
2
x
2
acost

dxacostdt

22
2


11a
2
a
2
axdx

acostacostdt
a< br>
(cos2t)dttsin2tC

2224
22
a
2
a
2
a
2
xx
2
tsintc ostCarcsinax
2
C
.
222a2
借助下面 的辅助三角形把
sint
，
cost
用
x
表示.

例2 求


x
2
4x
2
dx

解 令
x2sint
，
t(

,)
，则< br>4x
2
2cost
，
dx2costdt

2 2


4sin
2
t1cos2t
dx
2costdt=

4dt

2
2cost2
4x
x
2
=

(22cos2t)dt2tsin2tC


§4.2 换元积分法
2

2t2sintcostC2arcsin
类型2：被积函数中含有
xx4x
2
C

22
(a0)
可令
xatant
并约定
t(
a
2
x
2
,)
，则
22
a
2
x
2
as ect
；
dxasec
2
tdt
；可将原积分化为三角有理函数的积分.
例3 求

dx
xa
22

(a0)

解 令
xatant
，
t(

,)
，则
x2
a
2
asect
，
dxasec
2
t dt

22


dx
xa
22


sectdt
lnsecttantC

ln
x
2
a
2
x
Clnxx
2
a
2
C
1
.
aa

例4 求


x
dx
2
4x
2

解 令
x 2tant
，
t(

,)
，则
4x
2< br>2sect
，
dx2sec
2
tdt

221
cost
sin
2
t
cos
2
t


dx
x
2
2sec
2
t
1sect1< br>

dt
dt
4tan
2
t2sect
4

tan
2
t4

4x
2
dt
1cost111114x
2


2
dt

2
dsintCC

4sint4sint4sint 4x
例5求
dx

(x
2
9)
2
（分母是二次质因式的平方）

222
解 令
x3tant
，则
x99sect
，
dx3sectdt

dx3sec
2
t1
2
 dtcos
224

(x9)

81sect27
< br>tdt


§4.2 换元积分法
3

1t1t1
(1cos2t)dtcos2tdtcos2td2t

54545454254
t1t1
sin2tsintcost C

542545454
1x13x
arctan
2C

54354x9


练习： 求
1

(x
2
2x5)
2
dx
（第二换元积分法分）
2222
解
(x2x5)[2(x1)]
，令
x12tant

2
t(

,)
则
22

dx2s ec
2
t1t1
dt(1cos2t)dtsintcostC

(x
2
2x5)
2

2
4
sec< br>4
t16

1616

1x11x1
arcta n
2
C

1628x2x5
类型3 被积分函数中含有
x
2
a
2

(a0)
，当
xa
时，可令
xasect
，并约定
t(0,)
，则
x
2
a
2
atant
，
dxasectta ntdt
，当
xa
时，可令
ux
，则
ua
，可
2
将原积分化为三角有理函数的积分。
例6 求


dx
xa
22

(a0)

解 被积函数的定义域为
(,a)(a,)
，
当
x (a,)
时，令
xasect
，
t(0,
则
2
)
，
x
2
a
2
atant
，
dxasecttantdt
有

dx
xa
22

asecttant
dt

sectdt

atant

xx
2
a
2
ln(sect tant)Cln()C
ln(xx
2
a
2
)C< br>1
.
aa

§4.2 换元积分法
4

当
x(,a)
时，令
xu
，则
u(a, )
有

dx
xa
22


duua
22
ln(uu
2
a
2
)C
1
ln(xx
2
a
2
)C
1

ln
1
xxa
22
C
1
ln
x x
2
a
2
(xxa)(xxa)
2222
 C
1
xx
2
a
2
222
lnCln( xxa)(Clna)

11
2
a
ln(xx2
a
2
)C
2

x(,a)(a, )
时，

dx
x
2
a
2
lnxx
2
a
2
C

例7 求

x
dx
2
x1
2

解
x (1,)
时，令
xsect
,
t(0,

2)
则
x
2
1tant
,
dxsecttantd t
，有

x
dx
2
secttant


dt

costdtsintC
2
2
sectt ant
x1
x
2
1
C
，
x

x(,1)
时，令
ux
，则
u(1,)
有

x
dx
2
x1
2


du
u
2
u
2
1
C
2
u
u 1
dx
x
2
x
2
1
C

x

无论
x1
或
x1
均有

x1< br>2

x
2
1
C

x
注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分
(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为
x
的函数时，常常用到同角三角 函数的关
系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”
(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.

§4.2 换元积分法
5

例8 求

x
dx
xa
22

(a0)

解法一（用第一换元法）
xa
时

dx
xx
2
a
2


x
2
d x
a
2
1
2
x

1
a
a
d()
1a
x
arccosC
，
ax
a
1()
2
x
xa
时，令
ux
则
ua


x
dx
x
2
a
2
＝

du
(u)u
2
a
2

1a1a
arccosCarccosC

auax
两式合并< br>
x
dx
x
2
a
2
1a
arcc osC

ax
解法二 （第二换元法）
（1）当
xa
时，
xasect
,
t(0,

2
)
则
xaatant
,
dxasecttantdt

22
< br>x

x
dx
x
2
a
2
dx
xa
22


asecttant
1t1a
dt


1dtCarccosC
.
asectatant
aaax
du
uua
22
（2）当
xa
时，令< br>ux





du
uua
22

1a1a
arccosCarccosC

auax
由( 1)(2)两种情况可得

x
dx
x
2
a
2
1a
arccosC

ax
Ⅴ 归纳总结
1、第二类换元积分法的思想
若

f(x)dx
中的被积函数f(x)
为无理函数，可以选择适当的变量代换
x(t)
，将无理函数
f(x)
的积分

f(x)dx
化为有理式的积分

f[

(t)]


(t)dt
.

f(x )dx
x

(t)

f[

(t)]


(t)dt(t)C[

1
(x)]C

2、第二类换元积分法适用的被积函数类型

§4.2 换元积分法
6

类型1：被积函数中含有
a
2
x
2
（
a0）,可令
xasint
（并约定
t(

,)
） 则
22
a
2
x
2
acost
；
dx acostdx
可将原积分化作三角有理函数的积分.
类型2：被积函数中含有
a< br>2
x
2
(a0)
可令
xatant
并约 定
t(

,)
，则
22
a
2
x< br>2
asect
；
dxasec
2
tdt
；可将原积分化为三角有理函数的积分.
类型3 被积分函数中含有
x
2
a
2

(a0)
，当
xa
时，可令
xasect
，并约定
t(0,)
，则
x
2
a
2
atant
，
dxasectta ntdt
，当
xa
时，可令
ux
，则
ua
，可
2
将原积分化为三角有理函数的积分。
Ⅵ 课堂练习：P208习题4-2 2（37）
Ⅶ 课外作业：P208 习题4-2 2（36）（37）（38）（40）（42）




§4.2 换元积分法
7