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§4.2 换元积分法
Ⅰ 授课题目
§4.2 换元积分法（第一类换元法）
Ⅱ 教学目的与要求：
1. 理解第一类换元法的基本思想， 它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微
分”，
d(x)
(x)dx
.
2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：第一换元法的思想，
难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.
Ⅳ 讲授内容：

一、第一类换元积分法
设
f(u)
具 有原函数
F(u)
，
f(u)duF(u)C
.若
u
是 中间变量，
u

(x)
，

(x)
可微，则根据复合函数求导法则，有

dF(

(x))dFdudu
f(u)f[

(x)]


(x)
。
dxdudxdx
所以根据不定积分的定义可得：


f[

(x)]


(x)dxF[

(x)]C
u

(x)
F[u]C[

f(u)du]

以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有
u

(x)
f [

(x)]


(x)]dx[

f(u)du ]F

u

CF


(x)
C
.
以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然

f[

(x)]


(x)dx
是一个整体记号，但是被积 表达式中的
dx
可当作变量
x的微分来对待从而上式中的

(x)dx
可以看成是

(x)
的微分，通过换元
u

(x)
，应用到被积表
达式中就得到


(x)dxd u
.
定理1 设
f(u)
具有原函数
F(u)
，
u(x)
可导，
du

(x)dx
，则

f[

(x)


(x)dx

f(u)du F(u)CF[

(x)]C
(1)
如何应用公式(1)，在求不定积分积分
g(x)dx
时 如果被积函数g(x)可 以化为一个复合函数与
它内函数的导函数的积的形式
f[

(x)]


(x)
的形式 那么



1


(x)u
[f(u)du]
F(u)C
u
(x)
F[

(x)]C
.

g(x)dxf[

(x)]

(x)dx

所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
f[

(x)]


(x)
来.
3x
例1 求
3edx


3x3x3x

dx
，可设中间变量
u3x
， 解
3edxe3dx=e(3x)

dud(3x)3dx

3dxdu
，
3x3xuu3x
所以有
edxe3dxedueCeC
. < br>
首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑 。
例2
cos2xdx


11
cos2x2dx=cos2x(2x)

dx


22
令
u2x
，显然
du2dx
， < br>1111
则

cos2xdx

cos2x2dx
cosudusinuCsin2xC
.
2222
解 cos2xdx
在比较熟练后，我们可以将设中间变量
u

(x)< br>的过程省略，从而使运算更加简洁。
5
例3
(3x2)dx


解 如将
(3x2)
5
展开是很费力的，不如把
3x 2
作为中间变量，
d(3x2)3dx
，
5

(3 x2)dx=
111
55
(3x2)3dx=(3x2)d(3x2)( 3x2)
6
C
.

3318
例4
1

32x
dx

111111
dx=2dx=d(32x)ln|32x|C
.

32x2

32x

232x2
例5
2xedx

xx2x2x

2xedx

e( x)

dx

edxeC

2222

x
2
例6 求
x1xdx
2
x1xdx


2
1
2
(2x)1 xdx


2


2


11
2222

1x(1x)dx1xd(1x)

2

2

33
u1x
2

1
udu
1

2
u
2
C
1
(1x
2
)
2
C
.
2

233
二、掌握几种典型的“凑微分”的方法
1
1
dxd(axb)
；
x
n1
dxd(x
n
b)
；
e
x
dxd(e
x
)
；
n
a
1
1
dxd(lnx)
；
a
x
dxd(a
x
)
；
cosxdxd(sinx)
；
x
lna
sinxdxd(cosx)
；
sec
2
xdxd(tanx)
；
csc
2
xdxd(cotx)
；
secxtanxdxd (secx)
；
dx
1x
2
d(arcsinx)
；
dx
d(arctanx)
。
2
1x
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分

计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算.
2
例7 求
sinxdx


解
sinxdx
111
(1cos2x)dxdxcos2xdx
< br>
22

2

x1x1


( cos2x)2dxsin2xC
.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式）
242 4
2
例8求

dx
ax
dx
a
2
x
2
22

(a0)

解



1
x
a1()
2
a
dx

1
x
1()
2
a
xx
d()arcsinC
.
aa
利用
d(x)nx
nn1
dx
，有如下例题
sin
例9 求

1
x
x
2
1
x
dx

1
dx

2
x
解
d()


3

sin



1
x
dx(sin
1
)(
1
)dx(sin
1
)(
1
)

dx

sin
1
d(
1
)cos
1
C


xx

xx
2

xx
x
x2
xx
例10求
ecosedx


xxxxx
解
ecosedx＝cosed(e)sineC
.

利用
d (e
x
)e
x
dx
，
d(a
x
)a< br>x
lnadx

例11 求
dx

e
x
e
x
习题 4-2:2(30)
dxe
x
de
x
x
解

x
dxarctaneC
.
xx2x2

ee(e)1(e)1
例12 求
dx

e
x
1

11e
x
e
x
e
x
1
x
解

x

e1e
x
1e1

dxe
x
d(e
x
1)


x


dx

x
dxx

x
xln(e
x
1)C
.
e1e1e1
6
x
dx
例13 求

xx
49
6
x
3
x
()
x
x
64
dx
2
解
dx

4
x
9< br>x

9
x

3
2x
dx

1()
1
x
2
4
113
x
13
x< br>d[()]arctan()C
.
2

3
2ln3 ln22
ln
1

(
3
)
x


2

2


此题利用
d(a)alnadx< br>
下面几个例题利用
d(lnx)
例14 求
xx
1
dx

x
dx

xlnx



4

解
dx111
dx

xlnx

lnxx< br>
lnx
d(lnx)lnlnxC
.
dx

xlnxlnlnx
;
dx111
=dx
解

xlnxlnlnx
< br>lnlnxlnxx


又如习题 4-2:2（16）


11
dlnx

lnlnxlnx
1

lnlnx
dlnlnxln|lnlnx|C
.
1
4
例15 求

(2lnx5)dx

x
11
44
2
dx
解

(2ln x5)dx

(2lnx5)
x2x
11
4
(2ln x5)
5
C
.


(2lnx5)d(2lnx 5)
210
第一次课可以讲到这里.



























5

6

被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法
(例16～例22六个例题)
例16求
dx

a
2
x
2

(a0)
分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.
解
11x1x
dx11
dxd()arctanC
.
a
2
x
2
a
2

x
2
< br>x
a
1()
2
aaa
1()
a
a
dx

9x
2
12x4
被积函数分母是一个完全平方式 例17
解
dx11111
=3dxd(3x2)C
.

9x< br>2
12x43

(3x2)
2
3

( 3x2)
2
3(3x2)
111
dx=

(axb)
2
a

(axb)
2
d(axb)
被积函数 分母是一个完全平方式，被积函数化为
dx

4x
2
4x17< br> 分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式
dxdx11
解

2


dx

2

2x1
4x4x1716(2x1)16
1()
2
4
112x 11x1



d()arctan()C

8
1(
2x1
)
2
4824
4
例18
被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为
(ax b)
2
c
的形式， 然后利用

练习：求
2
1
dxarctanxC

1x
2
1

x
2
2x5
dx
（第一换元积分法分）
2
解
x2x5(x1)4
，
dx111
dx=dx

2

(x
2
 2x5)

(x1）

x1
44
(
2）1
2
11x11x1
=

d=arctanC
2
1(
x1
）
222
2

2
dx
例19 求

2
分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式
xx12



7

解

11111
()

x
2
x 12(x3)(x4)7x4x3
dx1111111
()dxdxdx< br>

x
2
x12

7x4x3

7x47x3
1111


d(x4)

d(x3)
7x47x3
111x4
ln|x4|ln|x3|C ln||C
.
777x3



被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.
cc11
[]

(xa)(xb)ab(xa)(xb)例20求
x

1x
2
dx
分子是一次多项式，分母是二次多项式
解
d(x
2
1)2xdx


x12x111
22


dxdxd(x1)ln(x1)C
.
2 22

1x21x2x12
例21求
x

x
2
2x10
dx

2
解
d(x

x12x22


x
2
2x10
2x
2
2x10
x12x2212x212


2
dx

2
dx

2
dx
2
dx

x2x102x2x102x2x102x2x10< br>2x10)(2x2)dx
，则
1d(x
2
2x10)d x11


2


2
ln(x
2
2x10)

dx
2
2x2x10x2x102(x1) 9
11x1
111
C
.
ln(x
2
2 x10)

dx
ln(x
2
2x10)arctan< br>233
29
(
x1
)
2
1
3
被 积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数.
下面几个例题利用三角函数的微分公式：

d(sinx)cosxdx
；
d(cosx)sinxdx
；
d(tanx)sec
2
x dx
；
d(cotx)csc
2
xdx

例22 求
tanxdx
（化切为弦）

解
sinxsinx1


tanxdx＝

cosxdx=

cosx
dx=

cosx
d(cosx )lncosxC



8

3
例23 求
tanxdx


3
解
tanxdxtanx(secx1)dxtanxsecxdx

2
< br>2
sinx

cosx
dx



tanxd(tanx)

例24 求
cscxdx

11
d(cosx)tan
2
xlncosxC

c osx2

1
x
x
sec
2
11x
22
dx

dx

x
d


cscxdx＝

sinx
dx=

xxx
tan
2
2
2sincossin
222
2
x
cos
2
cos
2


1
tan
x
2
dt an
xx
ln|tan|C
.
22
xxx
2sin< br>2
2sin
2
x
sin
2
1cosx
22
因为
tan
x
cscxcotx
.
xx
cos2sincos
sinx
2sinx
222
所以

cscxdxln|tan
x
|Cln|cscxcotx|C
.
2
此题用三角万能公式代换也可以
x
2
12
1x
ttan
1t
dtln|t|Cln|tan|C
. cscxdx＝dxdt
2

2t1t
2

t< br>
sinx
2
例25 求
secxdx

解


secxdx

11

dx
< br>dx

sec(x

)d(x)


22
cosxsin(x
2
)

ln|csc(x

)cot(x)|Cln|secxtanx|C
.
22

secxdxln|secxtanx|C

例26 求
cos3xcos2xdx
（利用三角函数积化和差公式）
和差化积公式 积化和差



9

1
sin

cos

[sin(

< br>
)sin(



)]
222





1
sin

sin
2cossincos

sin

[sin(



)sin(



)]
222
；





1
cos

co s

2coscoscos

cos

[cos(


)cos(



)]
22 2





1
cos

c os

2sinsinsin

sin

[cos (



)cos(



)]
222
sin

sin

2sincos
解 根据三 角函数的积化和差公式：
cos3xcos2x




1
(cos5xcosx)

2
1
cos5xcosxdx


2
1111< br>

cos5xd5x

cosxdxsin5xsinxC
.
102102

cos3xcos2xdx
由以上例题可 以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思
想，因此学生应熟悉这些 基本例题。

Ⅴ 归纳总结
1.第一换元法是把被积函数g(x)凑成
f [

(x)]


(x)
的形式然后应用公式

u

(x)
f[

(x)]


(x)]dx[

f(u)du]F

u

CF< br>

(x)

C
；
2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。
1
1
11
dxd (axb)
；
x
n1
dxd(x
n
b)
；
e
x
dxd(e
x
)
；
dxd(lnx)；
a
x
dxd(a
x
)
；
x
nln a
a
cosxdxd(sinx)
；
sinxdxd(cosx)；
sec
2
xdxd(tanx)
；
csc
2
xdxd(cotx)
；
secxtanxdxd(secx)
；
d x
1x
2
d(arcsinx)
；
dx
d(arct anx)
.
1x
2
3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分
111exf
dx
dxdxdxdx
；；； ；

a2
x
2

x
2
a
2

a x
2
bxc

ax
2
bxc

x lnxlnlnx

Ⅵ 课堂练习：第一次课
P
207
1，习题 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19)；
第二次课2(11)(35)(43)(12)(29).
Ⅶ 课外作业：第一次课
P
207
习题 4-2:
2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13) (16)(17)(19)（21）(30) (33).
第二次课2(11) (12) (15) (22)(24) (25) (26)(32) (34) （35）（43）.


10