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华北水利水电大学


课题名称： 积分换元法解题技巧研究


专业： 岩土工程


班级：


小组成员：





联系方式：


2013年6月09日
1

摘要
：换元法是积分应用中的一种重要解题方法，也是一种重要的
数学思想。论文主要 讨论了第一换元法、第二类换元法、二重积分换
元法以及三重积分换元法的解题方式与技巧，同时也介绍 了解题中应
该注意的事项，以便能够准确而高效地运用积分换元法的解题技巧。
关键词
：积分换元法、解题技巧、应用举例



英文题目
Reasearch on Problem Solving Skills Change Element Method
Integration
Abstract:

Change element method is an important method of
solving the integral application ,also is a kind of important
mathematics thought .This paper mainly discuss the first
element method , second kinds of method, the double integral
method and the method of three integral problem-solving
methods and techniques, and items that should be noticed in
problem solving is also introduced, in order to
problem-solving skills to accurately and efficiently using
integral method.
Key words:

for example, integral method ,technique,application

2

1. 引言
积分的换元法是积分中的重要解题技巧，省 时且省力。凑微
分法是将新的变量设为原来的积分变量的函数，而第二类换元法
则是讲原来对的 积分变量设为新的变量的函数。二重、三重积分
换元法是计算二重、三重积分的一个重点，同时也是一个 难点。
论文介绍了二重、三重积分换元法的定理，极坐标代换及其应用
举例。根据积分的特点， 选择恰当的解题方法即可。
2. 研究问题及成果
2.1第一换元法与第二换元法的
（1）第一类换元法（凑微法）:是对应于链式求导法则的积分方法
令 F’(u)=f(u)，u=g(x)
由
dF[g(x)]dF(u)dg(x)
•F'(u)g'(x)
< br>dxdudx

f[g(x)]g'(x)d(x)

f(u)du F(u)CF[g(x)]C

（2）第二类换元法：x=g(u)是连续函数的导函数 g’(u)

0 < br>则

f(x)dx

f[g(u)g'(u)duF(u)C F[g
1
(x)]C


※常见的几种配元形式：
1
f(axb)d(axb)


a
1
(2)

f(x
n
)x
n1
dx

f(x< br>n
)dx
n

n
111
(3)

f (x
n
)dx

f(x
n
)
n
dxn

xn
x
(1)

f(axb)dx
( 4)

f(sinx)cosxdx

f(sinx)dsinx

(5)

f(cosx)sinxdx

f(cosx)dco sx

（3）两者的联系与区别
两种换元法本质上采用的是同一个公式：
3


f[g(x)]g'(x)dxug(x)

f(u)du

两种换元法的不同：
第一类换元法是从左向右进行变换，他的关键部分在于准确找
到凑微分的对象。
第二类换元法反向使用公式，此处关键的步骤在于“置身事外”。
但是第二类换元法本身的应用不是拘 泥于函数本身的化简，而是从
“旁观者”的角度来理解，将被积函数中比较复杂而不容易化简的部
分，采用各种方法将这部分变得简单。
2.2第一换元法与第二换元法的应用举例
（1）第一类换元法应用举例
99
例1.

（x2）dx
(u=x+2)
=

(x2)
99
d(x2)

100
（x2）
c


100
例2 .

e
sinx
cosxdx
(u=sinx)
=

e
sinx
dsinx

=e
sinx
c

例3.
lnlnx

x
dx
(u=lnx)
=

lnlnxd(lnx)

=

lnudu

=
ulnuuc

=
lnxln(lnx)lnxc

例4.

e
x
cose
x
dx
(u=e
x
)
4

=

cose
x
de
x

=
sine
x
c

例5.

arctanx
x
dx
(u=
x
)
=2

arctanxdx

=2[
uarctanu

udarctanu
]




2


uarctanu

u< br>
1u
2
du






2



xarcx
1
2
l n(1x)



c

（2）第二类换元法应用举例
①.三角代换：
例6.

a
2
x
2
dx
(a>0)
解：令x=asint (-

2
t
2
),则有 dx=acostdt


a
2
x
2
dx
=
a
2

cos
2
tdt
=
a< br>2
2

(1cos2t)dt
1
2
a
2< br>xx
2
[at(asint)(acost)]c
=
a
2
x
2
2
arcsin
a

2
c

②.根式代换：
例7.

3
x
x(x
3< br>x)
dx

解：令x=t
6

原式=

t
2
5
t
6
(t
3
t
2)
tdt
=6

1
t(t1)
dt

6
（
1
t

1
t1
)6(lntlnt 1)C6ln
x
6
x1
C

5
=
=6

③.倒代换（分母中积分变量次数高于分数的次数）：
例8.

1
xx
42
dx

1
dt

t
2
解：令x=(-1 原式=

1
11

t
4
t
2
•(
1
t
111
)dt dtarccostCarccosC


1t
2
x
t
2
2.3第二类换元法解题技巧：
（1） 奇次进，平方倍角化
例9.

sin
2
xcos
5
xdx

sin
2
xcos
4
xco sxdx

=

sin
2
x(1sin
2
x)
2
dsinx

121
35 7
1cos2x11
例10．

cos
2
xdx


dx

dx

cos2xd(2x）
2 24
x1
=
sin2xC

24
=
sin
3
xsin
5
xsin
7
xC

（2） 乘积化和差
1
[cos(32)xcos(32)x]dx


2

1
=

（cosxcos5x)dx

2
11
=
sinxsin5xC

210
例11.

cos3xcos2xdxdx
（3） 假分式用除法 .
P(x)
.

Q(x)
dx型（其中P(x), Q(x)是x的多项式，P的次数不低于Q的次数）
当被积函数
P(x)
是假分式时， 应先进行除法再积分。
Q(x）
x
4
3x
3
x
2
53x5
2
dx(x3x)dx
例12.

x
2
1x
2
1
6

=
x
2
3
2
311
x

2
d(x
2
1)

dx

322
x11x
2
x
2
3< br>2
3
=
xln(1x
2
)5arctanxC

322
（4） 三项式配方法.
1

(ax
2
 bxc)
dx型____先配方再积分.

例13.

11
dxd(x1)

22

x2x3(x1)2
=
（5） 裂项（分母乘积）
例14.

例15.

1< br>2
arctan(
x1
x
)C

111
dx()dxtanxcotxC

2222
< br>cosxsinxcosxsinx
11111
dxdx()dx
< br>
(x2)(x5)3

x2x5
x
2
7x 10
1
3
1
3
=-
lnx2lnx5C



2.4二重积分的换元法
定理：设f(x,y)在xoy平面上的闭区域D上连续，如果变换T：
x=x(u,v), y=y(u,v)
将uov平面上的闭区域D’变为xoy平面上的闭区域D，且满足：
（1） x=x(u,v), y=y(u,v)在D’上具有一阶连续偏导数；
（2） 在D’上雅可比行列式J(u,v)=
(x,y)
0
;
(u,v)
（3） 变换T是D’与D之间的一个一一对应；
7

则有，

f(x,y)dxdy

f[x(u,v ),y(u,v)]J(u.v)dudv

DD'
雅可比行列式，是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式，常记
为
(u
1
,u
2
,u
n
)

 (x
1
,x
2
,x
n
)
使用变换公式的注意事项 ：
（1） 换元后要求定限简单，积分容易；
（2） 选择什么样的换元公式取决于积分区域的形状和被积函数的
形式；
（3） 如果雅可比式J( u,v)只在D’内个别点上或者一条曲线上为零，
而在其他点上不为零，则上述换元公式仍成立；
（4） 使换元后的积分区域D’不分块，换元后的被积函数易于积出。

对极坐标变换公式的解释：

x

cos




y

sin


x
( x,y)



J


，



(

,

)
y



x
cos




y
sin




sin





cos


f(x,y)dxdy

f(

cos

,

sin

)
< br>d

d


DD

例16：计算
 
e
D
yx
yx
dxdy,
D：x=0,y=0,x+ y=2所围成的平面闭区域。
解：令u=y-x,v=y+x
则x=
v-uvu
,y=,
22
x=0

u=v
8

y=0

u=-v
x+y=-2

v=2
1
(x,y)

2
J

u,v


1
(u,v)
2
-
1
2
-
11
2

2
v
1
2
1
2
111
v

dvedueevdvee

-dud v

v
2
0
2

0
2
u< br>故

e
D
yx
yx
dxdy
=

e
D
u
v
例17：计算

D
x< br>2
y
2
x
2
y
2
1
2

2
dxdy
，其中D为椭圆
2

2
1
所 围成的闭
ab
ab
区域。
解：作广义极坐标变换

xa

cos


yb

sin



D’={（

,

)
0


1,0

2

} D

J=
（x,y)
acos

=
(

,

)
bsin

a

si n

b

cos

=ab


J在D’内仅当

=0时为零，故换元公式仍成立。

D
x
2
y
2
2
1-
2

2
dxd y
=

1

2
ab

d

=

ab

3
ab
D'
y
(x y)
2
edD
,D:x+y=1,x=0,y=0.
xy
例18：计算

D
解： 令{
J=
uxy

xuv



vy

yv
(x,y)
1-1
1

(u,v）
01
D’:x+y=1
u
1
X=0

u-v=0
Y=0

v=0
9

原式=

f(u,v)Jdudv

0
du

0
e
u
dv(e1)
D
1u
v
u
2
1
4
例19：计算二重积分
x
D
2
y
2
dxdy
,其中D是双曲线x y=1和xy=2，直
线y=x和y=4x所围成的第一象限内的区域。
解：根据积分区域D的特点，令u=xy,v=，则积分区域D变换为D’

u

x
则

v


yuv

y
x
1


x,y

J

u,v




u,v

2uv
1v
2u
2
-
1
u
1
3


v
2v
1u
2v
2
2
4
u11
2
7
xydxdyududvdudvln2


11
v2v23
DD
2
2
2.5三重积分换元法

定理：设变换T：x=x(u,v,w),y=(u,v,w),z=(u,v,w),将uvw空间中 的有界
闭区域

uvw
变成xyz空间的有界闭区域

xy z
，且满足：
(1) x=x(u,v,w),y=(u,v,w),z=(u,v,w)



uvw
;
x
u
(x,y,z)y

(2)
J(u,v,w )
(u,v,w)u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
0
,(u,v,w)


uvw
；
w
z
w
(3) 变换T：

uvw

xyz

若f(u,v,w)

R(

),则有


xyz
f(x,y,z)dxdydz

f[x(u,v,w),y( u,v,w),z(u,v,w)]

uvw
(x,y,z)
dudvdw

(u,v,w)
1.利用柱坐标计算三重积分
10


xrcos


柱坐标与直角坐标的关系为

yrsin

]

zz

J(r,

,z)
(x,y,z)
r

(r,

,z)
所以，
xyz

f( x,y,z)dxdydz
r

z


f(rcos

,rsin

,z)rdrd

dz

2.利用球面坐标计算三重积分
球面坐标与直角坐标系的关系为：

xrsin

cos




yrsin

sin

(
0r ,0



,0

2

)

zrcos



(x,y,z)
r
2
sin


(r,

,

)
所以
xyz

f(x,y,z)dxdydz

=

f(rsin

cos

,rsin
sin

,rcos

)r
2
sin

drd

d


r

（xyz)cos (xyz)
2
dv
,其中


例20：计算I=
(x,y,z)0xy1
,

0xz1,0xy z1

.
解： 为了使积分区域

变得简单，作坐标变换
x-y=u , x-z=v , x+y+z=w
1

x(uvw)

3

1
于是

y(2uvw)


3

z
1
（u-2vw)

3

11

1
3
(x,y,z)
2
J(x, y,z)==

(u,v,w)
3
1
3
1
31
3
2

3
1
3
1
1
=
3
3
1
3
1
2
wcos(w)dudvdw


3

I=

wcos(w)
2
J(x,y,z)dudvdw



’={(u,v,w)｜
0u1,0v1,0w1
}


I=
11
1
1
1
2dudvwcos(w)dwsin1

3

0

0

0
6
x
2
y
2
z
2
x
2
y
2
z
2
例21：求

（
2

2

2
)dv
,其中

为椭球体2

2

2
1
.
abc
abc

解： 把分式看作一个整体，那么积分区域就可以看成一个球面，作
如下坐标变换

x
a


sin

cos


xa

sin

cos


y


即


sin

sin


yb

sin

sin



zc

cos


b
z




cos



c

于是 J（x,y,z）=
（x,y,z)
bsin

sin< br>
(

,

,

)
ccos
asin

cos

acos

cos
b

cos

sin

c
sin

a

sin

sin

b

sin

cos


0
=abc

2
sin


I=

abc

4
d

d

d



=abc

0
4
5
2

d


sin

d



4d


00

1
=
abc


（该题所用的变换称为广义球坐标变换）。
3.结束语：通过对积分换元法的第一类换元法是将非
12

公式化向公式化转化的过程，第二类换元法是寻求一
种变换，过渡到前者。前者是基础，后者是前者的 拓
展。二重与三重积分换元是还原法中的发展与推广，
使得解题更加简便而高效。因此，定积分 的换元法在
定积分的计算中是必不可少的，





参考文献
[1]同济大学数学教研室，高等数学（第二版）（上册），北京：高等教
育出版社，1982.5。
[2]候风波，应用数学（理工类），北京：科学出版社，2007.9。
[3]陶筱平等，应用高等数学，北京：北京工业大学出版社，2010（转
载自论文之家ht tp:，请保留此标记。）.8。
[4]吴良大，高等数学教程，北京：清华大学出版社，2007.7。
[5]萧树铁 扈志明，微积分（上）（修订版），北京：清华大学出版社，
2008.4。



13