瑕不掩瑜的例子-温暖冬季

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一元二次方程中的整体思想（换元法）
一、内容概述
所谓整体思想就是从问题整体 性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和
元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思 想之一。最具体的代表就是换元法的运用。
二、例题解析
初中阶段，在各年级的数 学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题
时，把某个式子看成一个整体，用一个变量 去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元
的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低 次，化无理为有理。
（一）换元法在解方程中的应用
我们知道，解分式方 程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解
无理方程一般用“两边乘方”的方法， 将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样
的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生 高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时
难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未 知数来替换原有未知数的
某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。
1.利用倒数关系换元
例1 解分式方程：
x
2

4
3x4

2
x3x
分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较 复杂难解。但是若稍
加整理成
x
2
3x
了。
解：移项整理得
x
2
3x
2
4
40
，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单
x
2
3x
4
40

2
x3x
设
x3xy
，则原方程可化为
y
4
40

y
去分母得
y4y40

解得
y
1
y
2
2

当
y2
时，
x
2
3x2
解得
x
1
1

x
2
2

经检验：
x
1
1

x
2
2
是原方程的根
所以，原方程的根为
x
1
1

x
2
2

2
练习1 解无理方程：
x1x210


x2x13
2.利用平方关系进行换元
例2 解方程：
2xx52xx6

2
分析：代数式
2xx
与
2xx
有平方关系，因此可以这样解
22
2
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解：设
2x
2
xy
，则原方程可化为
y5y6

解得
y
1
6
，
y
2
1

2
当
y6
时，
2xx6
解得
x
1
4

x
2

2
9

2
当
y1
时，
2xx1
， 此方程无实数根
2
9
是原方程的根
2
9
所以，原方程的根为
x
1
4

x
2


2
经检验：
x
1
4

x
2

练习2 解方程：
2x6x5x3x15

分析：如果这个方程 两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但本题的
x
2
项与
x
的
一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程
3.利用对称关系换元
22


x2y2x3y5
例3 解方程组：


22


2xxy6y16
分析：将第二个方程左边 分解因式可得

x2y

2x3y

16
，如果设
x2ya
，

ab5

2x3yb< br>，那么原方程组可化为简单的对称方程组

22

ab16
4.均值换元
例4 分解因式
x
2
7x4
< br>x
2
7x8

4

分析：初步观察此 代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个
二次三项式很“相似”，不妨可以设
x
2
7x6a
，解题步骤如下：
解：设
x
2
7x6a
，则
原式=

a2

a2

4ax7x6
22
< br>

x1

x6


2
22
当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。
5.整体代入
据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入式中求值。
32x
2
4x

例5 已知
x31
，那么
2
x2x1
解：因为
x31
，

x1


2

3

，所以
x
2
2
2x2

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因此，原式=
32

x
2
2x


x
2
2x

1

32•2
1

21
习题部分
1.换元法解方程：
x
2

11
x4

x
2
x
2.因式分解：
x
2
3x2< br>
x
2
7x12

1

18
5


x2yy2x
1

3.解分式方程组：


312

1


x2y2xy
4.解无理方程：
2xx52xx6

5.已知四个连续的整数为< br>m,

m1

,

m2

,< br>
m3

，试说明这四个整数的积加上1，
是完全平方数
6.已知
22
1
bc
2
的值

bc



ab

ca

，且
a0
，求
4
a
7.甲、乙、丙三种货物，购买甲3件，乙 7件，丙1件，需要3.15元；购买甲4件，
乙10件，丙1件，需要4.20元；现各购买1件，需 要多少元？
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