文昌鱼图片-九寨沟风光

§4.2 换元积分法
Ⅰ 授课题目
§4.2 换元积分法（第一类换元法）
Ⅱ 教学目的与要求：
1. 理解第一类换元法的基本思想， 它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微
分”，
d(x)
(x)dx
.
2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：第一换元法的思想，
难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.
Ⅳ 讲授内容：

一、第一类换元积分法
设
f(u)
具 有原函数
F(u)
，
f(u)duF(u)C
.若
u
是 中间变量，
u

(x)
，

(x)
可微，则根据复合函数求导法则，有

dF(

(x))dFdudu
f(u)f[

(x)]


(x)
。
dxdudxdx
所以根据不定积分的定义可得：


f[

(x)]


(x)dxF[

(x)]C
u

(x)
F[u]C[

f(u)du]
f[

(x)]


(x)]dx
u
(x)
[

f(u)du]F

u

C F


(x)

C
.
以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有
以上就是第一换元积分法。
从以 上可以看出，虽然

f[

(x)]


(x)d x
是一个整体记号，但是被积表达式中的
dx
可当作变量
x的微分来对待从 而上式中的


(x)dx
可以看成是

(x)
的 微分，通过换元
u

(x)
，应用到被积表
达式中就得到


(x)dxdu
.
定理1 设
f(u)
具有原函数
F(u)
，
u(x)
可导，
du

(x) dx
，则

f[

(x)


(x)d x

f(u)duF(u)CF[

(x)]C
(1)
如何应用公式(1)，在求不定积分积分
g(x)dx
时 如果被积函数g (x)可以化为一个复合函数与
它内函数的导函数的积的形式
f[

(x)]


(x)
的形式 那么


(x)u< br>[f(u)du]
F(u)C
u

(x)
F[

(x)]C
.

g(x)dxf[

(x)]
(x)dx

所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一 个复合函数与其内函数的积

f[

(x)]

(x)
来.
例1 求
3e
3x
dx



dx
，可设中间变量
u3x
， 解
3e< br>3x
dxe
3x
3dx=e
3x
(3x)
< br>dud(3x)3dx

3dxdu
，
所以有
e
3x
dxe
3x
3dxe
u
due
u
Ce
3x
C
.

首先观察被积函数的复合函数是什么 样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例2
cos2xdx


11
cos2x2dx=cos2x(2x)

dx


22
令
u2x
，显然
du2dx
， < br>1111
则

cos2xdx

cos2x2dx
cosudusinuCsin2xC
.
2222
解 cos2xdx
在比较熟练后，我们可以将设中间变量
u

(x)< br>的过程省略，从而使运算更加简洁。
例3
(3x2)dx

解 如将
(3x2)
展开是很费力的，不如把
3x2
作为中间变量，
d(3x2)3dx
，
5
(3x2)dx=

5

5
111
556
(3x2)3dx=(3x2)d(3x2)( 3x2)C
.

3318
例4
1

32x
dx

111111
dx=2dx=d(32x)ln|32x|C
.

32x2

32x2

32x2
例5
2xedx

xx2x2x

2xedxe(x)dxedxeC


2222

x
2
例6 求
x1xdx

2

x1xdx

2
1
2

1
(2x)1x
2
dx


2
1
1x
2
(1x
2
)

dx

1x
2
d(1x
2
)

2
33
u1x
2

1
udu
1< br>
2
u
2
C
1
(1x
2
)
2
C
.

2233
二、掌握几种典型的“凑微分”的方法

11
dxd(axb)
；
x
n1
dxd(x
n
b)
；
e
x
dxd(e
x
)
；
an
1
1
d(a
x
)
；
cosxdxd(sinx)
；
dxd(lnx)
；
a
x
dx
lna
x
sinxdxd(cosx)；
sec
2
xdxd(tanx)
；
csc
2
xdxd(cotx)
；
secxtanxdxd (secx)
；
dx
1x
2
d(arcsinx)
；
dx
d(arctanx)
。
2
1x
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分

计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算.
例7 求
sin
2
xdx


解
sinxdx
111
(1cos2x)dxdxcos2xdx
< br>
22

2

x1x1


( cos2x)2dxsin2xC
.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式）
2424
2
例8求

dx
ax
22

(a0)

11
x
1()
2
a
xx< br>d()arcsinC
.
aa
解

dx
a
2
x
2


x
a1()
2
a
dx

利用
d(x)nx
nn1
dx
，有 如下例题
sin
例9 求

1
x
x
1
x
dx

2
1
dx

2
x
解
d()
sin



1
x
dx (sin
1
)(
1
)dx(sin
1
)(
1
)

dx

sin
1
d(
1
)cos
1
C


xx

xx
2

xx
x
x2
例10求
ecosedx

解
ecosedx＝cosed(e)sineC
.
利用
d(e)edx
，
d(a)alnadx

例11 求
xxxx

xx

xx

xxx
dx< br>
e
x
e
x
习题 4-2:2(30)

dxe
x
de
x
解

x


x2
dx

x2
arctane
x
C
.
x
ee(e)1(e)1
例12 求
dx

e
x
1

11e
x
e
x
e
x
1
x
解

x

e1e
x
1e1

dxe
x
d(e
x
1)


x


dx

x
dxx

x
xln(e
x
1)C
.
e1e1e1
6
x
dx
例13 求

x< br>49
x
6
x
3
x
()
x
x
6
dx

4
x
dx

2
dx
解

xx
3
9
49
1()
2x
1
x
2
4
113
x
13
x
d[() ]arctan()C
.
3


3
x
2
2ln3ln22
ln
1()

2

2


此题利用
d(a)alnadx

下面几个例题利用
d(lnx)
例14 求
xx
1
dx

x
dx

xlnx

解
dx111
d x

xlnx

lnxx

lnx
d(lnx) lnlnxC
.
dx

xlnxlnlnx
;
dx111
=dx
解

xlnxlnlnx
< br>lnlnxlnxx


又如习题 4-2:2（16）


11
dlnx

lnlnxlnx
1

lnlnx
dlnlnxln|lnlnx|C
.
1
4
例15 求

(2lnx5)dx

x
11
44
2
dx
解

(2ln x5)dx

(2lnx5)
x2x
11
4
(2ln x5)
5
C
.


(2lnx5)d(2lnx 5)
210

第一次课可以讲到这里.

被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法
(例16～例22六个例题)
例16求
dx

a
2
x
2

(a0)
分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.
dx1111x1x< br>
2

dx

d()arctanC
. 解

22
xx
axa
1()
2
a
1( )
2
aaa
aa
例17
dx

9x
2
12x4
被积函数分母是一个完全平方式
解
dx11111
=3dxd(3x2)C
.
2
9x
2
12x43

(3x2)
2

3 (3x2)3(3x2)
111
dx=

(axb)
2
a

(axb)
2
d(axb)
被积函数分母是一个完全平 方式，被积函数化为
dx

4x
2
4x17
分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式
dxdx11


dx
解

2
4x4x1716(2x1)
2
16

1(
2x1)
2
4
例18


112x11x1
d()arctan()C


2x1
8
1(
4824
)
2
4
1
d xarctanxC

2
1x
被积函数分母是二次三项式且不可以 分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为
(axb)
2
c
的形式 ， 然后利用

练习：求
2
1

x
2
2 x5
dx
（第一换元积分法分）
2
解
x2x5(x1)4
，
dx111
dx=dx
2

(x
2
2x5)

(x1）44

(
x1
）
2
1
2
11x11x1
=

d=arctanC
x1
2
1(
222
2

）
2
dx
例19 求

2
分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式
xx12

解
Q
11111
()

x
2
x12(x3)(x4)7x4x3


dx1111111
()dxdxdx


x< br>2
x12

7x4x37

x47
x3
1111


d(x4)

d(x3)< br>7x47x3
111x4
ln|x4|ln|x3|Cln||C
.
777x3

被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.
cc11
[]

(xa)(xb)ab(xa)(xb)例20求
x

1x
2
dx
分子是一次多项式，分母是二次多项式
2
解
d(x1)2xdx




x12x111
22
dxdxd(x1)l n(x1)C
.
222

1x21x2x12
x
x
2
2x10
dx

2
例21求
解
Qd(x

x12x22

2

2
x2x10
2< br>x2x10
x12x2212x212


2
dx 

2
dx

2
dx

2
d x

x2x102x2x102x2x102x2x10
2x1 0)(2x2)dx
，则

1d(x
2
2x10)dx 11


2


2
ln(x
2
2x10)

dx
2x2x10x2x102(x1)
2< br>9

11x1
111
C
.
ln(x
2
2x10)

dx
ln(x
2
2x10) arctan
233
29
(
x1
)
2
13
被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数.
下面几个例题利用三角函数的微分公式：
d(sinx)cosxdx
；
d(cosx)sinxdx
；
d(tanx)sec
2
xdx
；
d(cotx)csc
2
xdx

例22 求
tanxdx
（化切为弦）

解

tanxdx＝


3
sinxsinx1
dx=

dx

=

d(cosx)lncosxC

cosxcosxcosx
例23 求
tan
3
xdx

解
tanxdxtanx(secx1)dxtanxsecxdx

2

2
sinx

cosx
dx



tanxd(tanx)

例24 求
cscxdx

11
d(cosx)tan
2
xlncosxC

c osx2

1
x
x
sec
2
11x
22
cscxdx＝dx=dxdxd

sinx

t an
x
2

xxx
2
2sincossin
222
2
x
cos
2
cos
2


1< br>tan
x
2
dtan
xx
ln|tan|C
.
22
xxx
2sin
2
2sin
2
x
si n
2
1cosx
22
因为
tan
x
cscxcotx
.
xx
cos2sincos
sinx
2sinx
222
所以
x
cscxdxln|tan|Cln|cscxcotx|C
.

2
此题用三角万能公式代换也可以
x
2
12
1 x
ttan
1t
cscxdx＝dxdt
dtln|t|Cl n|tan|C
.
2

2t1t
2

si nx

t2
例25 求
secxdx

