因式分解待定系数法换元法添项拆项法知识点归纳
保卫黄河钢琴曲-呼喊
《因式分解---
待定系数法、换元法、添
项拆项法》知识点归纳
知识体系梳理 ◆ 添项拆项法 有的多项式
由
于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解<
br>的方法称为添项、拆项法。 一般来说，添项
拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相
乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不
能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用
的
。 ◆ 待定系数法 有些多项式不能直接分
解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有
待定
系数因式的乘积形式。然后再把积乘出
来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这
些待定系数
求出来，进而得出因式分解结果，
这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因
式。 ◆ 换元法
所谓换元，即对结构比较复
杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，
用新的字母代替（即换
元），则能使复杂的问题
简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂
问题的方法，就叫
20 × 20
。换元法在减少代数式的
项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着
独到的作用。
有
个
（1）、使用换元法时，一定要
意识，即把某些相同或相似的部分看成一
。 （2）、换元法的
种类有：单个换元、
多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元
和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题
时，最后要让原有的数或式“回归”。 ★★
典型
例题、方法导航
【例1
◆ 方法一：添项拆项法
分析：此多项式是
三次】分解因式：
三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项
法分解。从它的最高次项看是三
次，因此我们
可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的
积，即 ，再看常数项
可分解成±1、±2，因
或 或 ,但 此我们可猜想分解的结果可能是
的中间项是 ,因此
是不可能的，因此只可能
解： 是前面两种的其中一种。下面请看：
其结果是我们猜想中的第
一种。此题还有其他
分解方法吗？在注意到分解结果中有 和
的
因式，因此还有其他更多的分解方法。
二：
20 × 20
方法
方法 方法三： 方法四： 方法五：
六： （余下过程同学自己完成） 方法点
金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆
项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可
考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分
解的
因数有关的因式。
解下列各式的因式 （
◎
1
）
变式议练一：
（
2
2） （
3
分
）
◆ 方法二：待定系数法
解：
出
、
设：
【例】分解因式：
展开后左右两边比较系数求
即可。
【例3】已知多项式
能被
整分解结果：
除，请分解前者的因式。
多项式的恒等求出
◎
、
分析：设，利用
即可。
是 的一个因变式议练二：
1、已知
式，则
【例
（2
4
）
；
2、用待定系数法分解因式：
（
1
求
）
的算
】在实数范围内分解因式
（3） ◎ 变式议练三：
术平方根。
法
【例
5
，
◆ 方法三：换元法 ◆
直接换元
方法点】用换元法分解因式：
金：设
归。
20 × 20
注意：换元法分解因式最后要回
◎ 变式议练四 1、用换元法分解因式：
2、用换元法分解因式：
方法点金：当两括
号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考
虑用换元法分解因式。
【例6】分解因式：
分析：两括号中二次项、一次项系数的比
为 ，可以换元。
◆ 组合换元法 【例7】
分解因式：分析：观察第一、四括号内的常
，因此数项
和第二、三括号内的常数的和为
也可用组合换元法分解因式。
证明四个连续正整数的积与
平方。 ◆ 能力与创新
1
◎ 变式议练五
的和是一个完全
把下列各式分解因
式： ①、 ②、 ③、
◆◆◆◆
快乐体验 1、若多项式
； 2、若
（
能被
1
）
和多项式
有公因式，则
则
整除，
（2） 4、； 3、分解因式：
已知多项式
分解因式。
5
有一个因式是，把这个多项式
、甲、乙两同学分解多项式 时，甲看错
了
,分解结果为 ,乙看错了 ,分解结果为 ,请
分析一下， 、
的值分别为多少？并写出正
确的分解过程。 6、已知一个三角形的三
20 × 20
边 、 、 满足
,试判断这个三角形的形
状，并证明你的结论。
20 × 20