《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
一艘船-消防安全绘画
《因式分解
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待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
知识体系梳理
添项拆项法
有的多项式由于 “缺项”，或
“并项”因此不能直接分解。通过进行适当
的添项 或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组
分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无
用的。
.
待定系数法
有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定
系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因
式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
.
换元法
所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，
用新的字母代替（即换元），则能使复杂
的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫
。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独
到的作用。
（
1
）、使用换元法时，一定要有
1 6
意识，即把某些相同或相似的部分看成一个
。
（
2
）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特
殊值换元和几何换元。
（
3
）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式 “回归”。
★★
典型例题、方法导航
方法一：添项拆项法
【例
1
】分解因式：
分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分
解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二
项式的积，即
，再看常数项可分解成
±1
、±
2
，
因此我们可猜想分解的结果可能是或或
,
但
的中间项是
,
因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请
看：
解：
其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解
结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：
方法三：
方法四：
方法五：
2 6
方法六：
（余下过程同学自己完成）
方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运
用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数
有关的因式。
◎ 变式议练一：
分解下列各式的因式
（
1
）
（
2
）
（
3
）
方法二：待定系数法
【例
2
】分解因式：
解：
设：
展开后左右两边比较系数求出、即可。
分解结果：
【例
3
】已知多项式能被整除，请分解前者的因式。
分析：设，利用多项式的恒等求出、即可。
◎变式议练二：
、已知是的一个因式，则
2
、用待定系数法分解因式：
3 6
【例
4
】在实数范围内分解因式
（
1
）
（
2
）
（
3
）
◎变式议练三：
求的算术平方根。
方法三：换元法
.
直接换元法
【例
5
】用换元法分解因式：
方法点金：设，
注意：换元法分解因式最后要回归。 ◎变式议练四
、用换元法分解因式：
2
、用换元法分解因式：
方法点金：当两括号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考虑用换元
法分解因式。
【例
6
】分解因式：
分析：两括号中二次项、一次项系数的比为，可以换元。
组合换元法
【例
7
】分解因式：
分析：观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为，因
4 6
此也可用组合换元法分解因式。
◎变式议练五
证明四个连续正整数的积与
1
的和是一个完全平方。
.
能力与创新
把下列各式分解因式：
① 、
② 、
③ 、
.......
快乐体验
、若多项式和多项式有公因式，则
2
、若能被整除，则
3
、分解因式：
（
1
）
2
)
4
、已知多项式有一个因式是，把这个多项式分解因式。
5
、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了
,
分解结果为
,
乙看错了
果
为
,
请分析一下，、的值分别为多少？并写出正确的分解过程。
5 6
分解结
,
6
、已知一个三角形的三边、、满足
,
试判断这个三角形的形状，并证明你
的 结论。
6 6