谭诗雨-美食来了

青海民族大学

毕 业 论 文 （ 设 计 ）

论文题目：
浅谈中学数学中的配方、换元法


学生姓名：

学号：


指导教师：


职称：



院 系：


数学与统计学院



专业班级：

2011


级数学与应用数学民族班


二○ 一五 年 月 日

独创性声明

本人声明所呈交的毕业论文是本 人在导师指导下进行的理论学
习、实习实践以及研究所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢
之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包
含获得 青海民族大学 或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材
料。与我一起探讨、工作的同学对本论文所做的任何贡献均已在论文< br>中作了明确的说明并表示了谢意。

毕业论文作者签名： 签字日期：2015 年 03 月17 日




毕业论文版权使用授权书

本毕业论文作者完全了解 青海民族大学 有关保留、使 用毕业论
文的规定。特授权青海民族大学可以将毕业论文的全部或部分内容编
入有关数据库进行 检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、
汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构 送交论文的复
印件和磁盘。

论文作者签名： 签字日期：2015 年 03月 17 日

指导教师签名： 签字日期： 年 月 日

目录

摘要 ........................ ............................... 1
1引言 ........ ............................................. 1
2 配方法 ........................................ ........... 2
2.1配方法的定义 ........................................ 2
2.2配方法的各种配方形式 ................................ 2
2.3示范性典例： ........................................ 2
2.4再现性典例： ........................................ 4
3 换元法 .............................................. ..... 5
3.1换元法的定义 ........................................ 5
3.2换元法的类型及其运用 ................................ 6
3.3示范性典例： ........................................ 6
3.4再现性典例： ........................................ 9
3.5用换元法解题时应遵循的原则： ........................ 9
结论 ........................................... ........... 11
致谢 ............................ .......................... 12
参考文献： ................................................ 13

【摘要】为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本
文简要介绍高考中常用的两种数学基本解题方法：配方法、换元法。
在每节的内容中，先是对方 法或者问题进行综合性的叙述，再以典例
的形式出现。示范性典例进行详细的解答和分析，对方法和问题 进行
示范，再现性典例是一组简单的选择填题进行方法的再现旨在检查学
习的效果，起到巩固作 用。
关键词: 中学数学 高考 解题方法 数学解题 配方
法 换元法 < br>སློབ་མ་ཚོར་སྐུལ་འདེབས་བྱས་ཏེ་རྩིས་ཕྩིང་འགློལ་ཐབ ས་ཁློང་དུ་ཆུད་པ
ར་བྱེད་པ།
འདྩི་མཐློ་རྒྱུགས་ ཁློད་རྒྱུན་མཐློང་གྩི་རྩིས་རྩིག་གྩི་རྨང་གཞྩི་རྩིས་ཕ ེང་འགློལ་ཐ
བས་རང་སྒྱུར་སེབ་ཐབས་དང་རྒྱུ་བརེ་བའྩི ་ཐབས་ངློ་སློད་བྱས་ཡློད།
ཚན་པ་རེ་རེའ་ནང་དློན་ཁླ ོད་སློན་དུ་བྱེད་ཐབས་དང་ཡང་གནད་དློན་ལ་ཕློག
ས་བསྡ ུས་རང་བཞྩིན་གྩིས་གསལ་བཤད་བྱས་ཏེ་མཐར་མཚོན་བྱེད་དཔེ་ བརློད་
ཀྩི་རྣམ་པ་ལྟར་མངློན་པར་བྱས་ཡློད།
དཔེ ་སློན་རང་བཞྩིན་གྩི་མཚོན་བྱེད་དཔེ་བརློད་ལ་ཞྩིབ་ཚགས་ ཀྩིས་དབྱེ་ཞྩིབ་ད
ང་འགེལ་བཤད་བྱས་ནས་བྱེད་ཐབས་དང་ གནད་དློན་ལ་དཔེ་སློན་གྩིས་སློབ་མ
་ཚོའ་རྒྱུད་ལ་འབ ྱློར་དགློས།
གནད་འགག་མྩིང་བརྡ། དམའ་འབྩིང་གངས་རྩིག འགློལ་ཐབས།
མཐློ་རྒྱུགས། རང་བསྒྱུར་སྩིག་ཐབས། རྒྱུ་བརེ་བའྩི་ཐབས།

青海民族大学毕业论文
1引言
众所周知，数学解题与数学的进展是紧密相关的．我国古代数学
经典《九章算术》就是从“解 题”形式展现那个时代数学发展的丰硕
成果的．伴随着数学的发展，数学解题的思想、方法等也日臻深化 和
完善．如今浩如烟海的解题方法和技巧构思巧妙，千变万化，异彩纷
呈，美不胜收．著名数学 教育家波利亚说过: “一位好的数学老师或
学生应努力保持解题的好胃口．”这是因为，解题是深刻理 解和熟练
掌握数学理论和方法的必要手段; 解题是培养分析问题、解决问题能
力和创造能力的有效途径。
配方法是对数学式子进行一种定 向变形（配成”完全平方”)的技
巧,通过配方找到已知与未知的联系,从而化繁为简。何时配方，需要 我
们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的
技巧，从而完成配方。有 时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是
进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已 知或未
知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求
解或者缺xy项的二 次曲线的平移变换等问题。
一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变
量 去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质就是“转
化与化归”的数学思想，关键是构造 元和设元，理论依据是等量代换，
目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而< br>使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，获得问题的解决。

1

浅谈中学数学中的配方、换元法
2 配方法
2.1配方法的定义
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的
技巧，通过配方找到已知和未知 的联系，从而化繁为简。何时配方，
需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“ 凑”
的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使 数学式子出现完全平方。它主
要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、
二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
2.2配方法的各种配方形式
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b )
2
＝
a
2
＋2ab＋b
2
，将这个公式灵活运用 ，可得到各种基本配方形式，如：
a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab＝(a－b)
2
＋2ab；
a
2
＋ab＋b
2
＝(a＋b)
2
－ab＝(a－b)
2
＋3ab＝(a＋ )
2
＋（
1
2
b
2
3
2
b）；
2
a
2
＋b
2
＋c
2
＋ab＋bc＋ca ＝[(a＋b)
2
＋(b＋c)
2
＋(c＋a)
2
] a
2
＋b
2
＋c
2
＝(a＋b＋c)
2
－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)
2
－2(ab
－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
2
；
11
2
1
2
x＋
2
＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
xxx
2
2.3示范性典例：

2

青海民族大学毕业论文
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长 度之和为24，则
这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2
3
B.
14
C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，
则


2(xyyzxz)11
,而欲求对角线长
4(xyz) 24

x
2
y
2
z
2
，将其配凑成两 已知
式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积 为

2(xyyzxz)11
11，其12条棱的长度之和为24”而得：


4(xyz)24

长方体所求对角线长为：
x
2
y
2
z
2
＝
(xyz)
22(xyyzxz)
＝
6
2
11
＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数
学表示 式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学
式进行联系，即联系了已知和未知，从而求 解。这也是我们使用配方
法的一种解题模式。
例2. 设方程
x
2
kx20
的两实根为p、q，若()
2
+()
2
≤7成
立，求实数k的取值范围。
【解】方程
x
2
kx20
的两 实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝
－k，pq＝2 ,
p
q
q
p

3

浅谈中学数学中的配方、换元法
pq
p
4
q4
(p
2
q
2
)
2
2p
2
q
2
[(pq)
2
2pq]
2
2p
2q
2
()+()＝＝＝＝≤7，解得-
10k10
(pq)
2
(pq)
2
qp
(pq)
2
。
又 ∵p、q为方程
x
2
kx20
的两实根，
∴ < br>k
2
80
即k≥2
2
或k≤－2
2

综合起来，k的取值范围是：－
10
≤k≤－
22
或者
22
≤k≤
10
。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先 考虑根的判别式
“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定
理得到p＋ q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后
配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如 本题不对“△”讨论，结果
将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答
是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
2.4再现性典例：
1. 在正项等 比数列{a
n
}中，a
1
﹒a
5
+2a
3
﹒a
5
+a
3
a
7
=25，则 a
3
＋
a
5
＝_______。
2. 方程x
2
＋y
2
－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
11
A.
1
4
4
或k>1 C. k∈R D. k＝
4
或k＝1
3. 已知
sin

4
cos

4
1
，则
sin

cos

的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
【简解】 1小题：利用等比数列性质a
mp
a
mp
＝a
m
2
，将已知等式
左边后配方
(a a)
2
易求。答案是：5。

4

青海民族大学毕业论文
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，解r
2
>0
即 可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sin
2
α＋cos
2
α)
2
－2sin
2
αcos
2
α＝
1，求出sin

cos

，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
2.5使用配方法解题时应注意的地方：
1、将要求解的一元二次方程化为标准形式a
x
2
+ bx + c = 0;
2、化二次项系数为1，同时把常数项移动到等号右边；
3、等号左右两边分别加上一次项系数一半的平方；
4、将等号左边的代数式写成完全平方式；
5、对等号左右的式子同时开方，整理即可得原方程的解。
3 换元法
3.1换元法的定义
一般地说把数学问题中的某一(些)字母的表达式用另一个字母
代换;或者把数学问题中的某一字母用另一(些)字母来代换;或者把数
学问题中的某一(些)字母的表 达式用另一(些)字母表达式来换元的实
质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是 变换
研究对象，将问题移至新对象的知识代换从而使原来的问题化为简单
而易于解决的问题的方 法叫做换元法(或变量代换法)。
换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题
中有广泛的应用。
5

浅谈中学数学中的配方、换元法
3.2换元法的类型及其运用
换元法的类型有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元
又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一
个字母来代替它从而简化问 题，当然有时候要通过变形才能发现。例
如解不等式：4
x
＋2
x
－ 2≥0，先变形为设2
x
＝t（t>0），而变为熟悉
的一元二次不等式求解和指数方 程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利
用已知代数式中与 三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝
x
＋
1x
的值域时，易发现 x∈[0,1]，设x＝sin
2
α ，α∈[0,]，问
2

题变 成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应
该是发现值域的联系，又有去根号的需要 。如变量x、y适合条件x
2
＋
y
2
＝r
2
（r> 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问
题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵 循有利于运算、有利于标准化的原则，
换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变 量
的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。
2
S
2
S
2

3.3示范性典例：
例1.已知：x + y + z = 1,求证
x
2
+
y
2
+
z
2

.
证明：令x= - s,y = + s + t,z = - t.则有：
111
333
111
x
2+
y
2
+
z
2
=（ - s）
2
+（ + s + t）
2
+（ - t）
2

333
6

1
3

青海民族大学毕业论文
= + s
2
+ t
2
+(s + t)
2

1

.
3
1
3
例2． △ABC的三个内角A 、B、C满足：A＋C＝2B，
＝－
AC
2
，求cos的值。
2
cosB
1
1
＋
cosA
cosC
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的
性质，可得


AC120°

B＝60°
；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设
A＝60°α
AC
，再代入可求cosα即cos。

2

C＝60°－α
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得：

AC120°




B＝60°

A＝60°α
由A＋C＝120°，设

，代入已知等式得：

C＝60°－α
11
1
1
＋＝＋
cos(60

)cos(60

)
cosAcosC
＝
1
13
cos

sin

22
＋
1
13
cos

sin

22

＝
1
cos

cos

＝
3 3
cos
2

sin
2

cos
2

444
＝－2
2
,
解得：cosα＝
22
AC
， 即：cos＝。
2
22

7

浅谈中学数学中的配方、换元法
sinθ
10
cosθsin
2
θcos
2
θ
例3. 已知＝，且＋＝ (②
x
y
y
2
x
2
3(x
2
y
2
)
式)，求的值。
【解】 设
sinθ
cosθ
＝＝k， 则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin
2
x
y
x
y
22
22
kx
10
ky
2222
θ＋cosθ＝k(x+y )＝1,代入②式得：
2
＋
2
＝
2
＝
y
x
3(xy
2
)
10k
2

3
x
2
y
2
10
即：
2
＋
2
＝
3
y
x
1
x2
1
设
2
＝t，则t＋＝
10
, 解得：t＝3或
t
3
y
3
所以，＝±
3
或±
x
y
3

3
x
sinθ
cos
2
θ
【另解】 由＝＝tgθ ，将等式②两边同时除以，
y
cosθ
x
2
再表示成含tgθ的式子 ：1＋tgθ＝
(1tg

)
4
2
10
3(1 
1
2
)
tg

10
＝tg
2
θ ，
3
设tg
2
θ＝t，则3t
2
—10t＋3＝0，
x
3
1
所以，t＝3或， 解得＝±
3
或±。
y
3
3
【注】 第一种解法由
sinθ
cosθ
＝ 而进行等量代换，进行换元，
x
y
减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为＝x
y
sinθ
，不难发现进
cosθ

8

青海民族大学毕业论文
行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代 数变形比较熟练。
在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
3.4再现性典例：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.已 知数列{a
n
}中，a
1
＝－1，a
n1
·a
n
＝a
n1
－a
n
，则数列通项
a
n
＝_ __________。
3.设实数x、y满足x
2
＋2xy－1＝0，则x＋y的 取值范围是
___________。
13
x
4.方程＝3的解是_______________。
13
x
t
2
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－
2
,
2
]，则y＝＋t－
2
11
，对称轴t＝－1，当t＝
2
，y
max
＝＋
2
；
22
2小题：已知变形为
1
a
n1
11
－＝－1,设b
n
＝，则b
1
＝－1,b
n
＝
a
n
a
n
1
n
－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a
n
＝－；
3小题：设x＋y＝k，则x
2
－2kx＋1＝0, △＝4k
2
－4≥0,所以k
≥1或k≤－1；
4小题：设3
x< br>＝y，则3y
2
＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
3.5用换元法解题时应遵循的原则：
整体性原则（反复比较式子中重复出现的整体结构，以便找到最
恰当的辅助元）；
简洁性原则（选择简洁代换和使新变量范围尽量最简）；

1
3
9

浅谈中学数学中的配方、换元法
统一性原则（体现在减元，改变函数结构，降幂等思想，有助于
寻找问题的突破口）；
等价性原则（利用换元解题时，需使新变量的允许值和原变量的
可取值范围之间保持等价）。

10

青海民族大学毕业论文
结论
换元法和配方法是两种常用的数学解题方法，对于一些较繁
较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行 巧妙的换元或配方，可
以收到事半功倍的效果。通常说的换元法 ,是把一个未知的代数式子
用一个字母来表示 ,从而使原问题得到简化 .但有时 ,也需要把
问题中的某个确定的常值用字母来代替 ,使问题获得巧妙的解答。所
谓配方，就是 把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配
成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中
常常涉及。有时题中指定用 配方法或换元法求解，而更多的则是隐含
在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法 或换
元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求
解，以达到快速解题的 目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中
代数中，占有很重要的地位和份量。换元法是数学中一个非 常重要而
且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓
换元法，就是在一 个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式
的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于 解决。


11

浅谈中学数学中的配方、换元法
致谢
大学四年的学习如白驹过隙般在不经意之间匆匆而过，人生黄金
的生活已然接近 了尾声，伴随着答辩的临近，我们的大学生活就要和
我说再见了．回顾这两个多月的论文写作过程，真的 让我感慨万千：
首先，我要感谢的是我的论文指导教师赵宁老师，在我论文的设
计过程中给我 提供了很多专业性的指导和新颖的建议，赵老师严谨而
热情的工作态度给我留下了深刻的印象，若没有赵 老师的帮助，这次
的毕业论文设计不会这样顺利．所以，借此机会我向赵老师致以深深
的感谢和 敬意．
其次我要真诚地感谢我学习生涯中其他的老师、同学和朋友，在
我的课题研究中，他们 或多或少提供的信息是我灵感的来源，在知识
和工具上都给了我很大的帮助，所以同样致以感谢． 最后我要感谢四年的大学生活，四年的历练让我对自己的人生观、
价值观有了新的认识，让我对以后 将要走的路有了更加明确的方向
感．在今后的人生路上，我将会更加努力的学习，不辜负老师、朋友以及家人的期望．






12

青海民族大学毕业论文
参考文献：
[1] 郑毓信,肖柏荣,熊萍, 数学思维与数学方法论 [M]. 成都：
四川教育出版社。(配方法和换元法的定义及性质)
[2] 张雄，李得虎，数学方法论与解题研究 [M]. 北京：高等教
育出版社。（4.4再现性典例中的例1、2、3、4）
[3] 周房安，数学 选择题解答策略[J].广东教育，2006,(04).62～
63。(3.3示范性典例中的例1。 3.4再现性典例中的例2、3)
[4] 傅钦志，高考解题中的优先策略[J].高中数理化，2004,(02).1～2。（3.3示范性典例中的例2、3。 4.4示范性典例中
的例1、2、3）
[5]肖学平，中学数学的基本思想和方法.科学出版 社。(3.5和4.5
中分别配方法的遵循规则和换元法中应遵循的规则)








13