§4.2换元积分法(第二类换元法)
输入法没有了怎么办-abac式的词语
§ 4.2 换元积分法(第二类)
I
授课题目(章节)：
§ 4.2 换元积分法 (
第二类换元
积分
法)
n
教学目的与要求：
1. 了解第二类换元法的基本思想
2.
掌握几种典型题的第二类换元积分法解法
川教学重点与难点：
重点：第二换元法中的三角代换及根式代换
难点：积分后的结果进行反代换
IV
讲授内容：
第一类换元积分法的思想是：在求积分
g(x)dx
时.如果
函数g(x)可以化为
f[
：
:
(x)]
：
「(
x
)
的形 式.那
么
g(x)dx = f[ (x)] (x)dx
二
f[ (x)]d
;:
(x)^
(x
f (u)du
= F(u) C =F[ (x)] C
所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想
•把被积函数凑出形如
f [- (x)F (x)
函数来.对于某些
函数第一换元积分法无能为力，例如
学习的第二类换元积分法。
..a^x
2
dx
.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换
x
二
(t)
将无理函数
f (x)
的积分.
f
(x)dx
化为
有理式
(
t)
卜
(
t)
的积分.
(
t)F
(t)dt
。即卩
f (x)dx= .
f
「
(t)
「
(
t)dt
若上面的等式右端的被积函数
f
「(
t)
「
(
t)
有原函数
G(t)<
br>，则.
(
t)]
：
(t)dt = G (t) • C
,
x = ' (t)
有反函数。 然后再把「(
t)
中的
t
还原成
4
(x)
，所以需要一开始的变量代换
定理2设
x
=?(t)
是单调、可导的函数，且
；
(t) = 0
，又设
f<
br>「：(
t)]
；
(t)
有原函数叮」(
t)
，则
C .f (x)dx
「
(t)]
，
(t)dt
=
「(
t) C
_1
(x)]
分析
要证明
.f(x)dx
=叫'
4
(x)] C
,只要证明叮
4
(x)]
的导数为
f (x)
,
§ 4.2换元积分法 1
4.2换元积分法2
dt
dx
§
dt 1
证明；
x=t(t)
单调、可导，.
x= (t)
存在反函数
t
=屮
J
(x)
，且——=—
dx dx dt
'■ (t)
>•：「」(
x)] =
dx
二
f (x)
-
A
(x)]
是
f (x)
是一个原函数
f (x)dx
—'
(
x)] C
.
第二换元法，常用于如下基本类型
类型1
：被积函数中含有 ；
a
2
- x
2
(
a 0
),可令
x=asint
(并约定
t
2
-x
2
= a cost
，
dx =
acostdx
，可将原积分化作三角有理函数的积分
例 1 求
：
;a
2
-
x
2
dx
(a
0)
解令
x = asint
■ ■ 2 2
，
t
(
2 2
,)
，贝
U . a -x -acost
dx^acostdt
.i _a
2
i i
2 2
「
x
2
dx
二
a costa costdt
a
2
(
11
cos2t)d
^l
t
7
sin2t C
2 2 2 ______________________
______________________________________
=——sin
tcost +C = ^arcsin
△
Ja
2
_x
2
+C
.
2 2 2 a 2
借助下面的 辅助三角形
把
sin t
,
cost
用
x
表示.
x
2
例
2
求
-
4
_x2
dx
解令
x = 2sint
,
」 」
；
2
t
(
2 2
,)
，则、
4 - x
二
2cost
,
dx
二
2costdt
4sin
2
t
1- cos2t
2cost
2costdt =
2
dt
=(2 - 2cos2 t)dt = 2t - sin 2t C
§ 4.2换元积分法
冷)则
3
=a
X x
-----------
2
=2t - 2sin t cost
C
=
2arcsin
2 2
4 - x C
■ --------
冗 冗
类型2 :被积函数中含有
■. a
2
x
2
（a 0）
可令
x = ata
nt
并约定
t
（-…「
）
，则
a
2
x
2
二
asect
；
dx
二
asec
2
tdt
；可将原积分化为三角有理函数的积分
例3求——
dx
(a 0)
Jx
2
+a
2
解令
x“
tant
,
t
(石
，
2
)
，则、口
med
,
d
-
asec
2
tdt
dx
x
2
a
2
=「
sectdt
=ln
sect +tant +C
C = In
x
十
Jx
2
+a
2
+C
1
.
例4求
dx
x
2
1 4
解令
x
=2tant
，
t
22
)
则
4
x
2
= 2sect
,
dx = 2
sec
2
tdt
dx
2sec t
』
x
2
.4 x
2
4tan t 2sect
2
dt
1
叭
t
4 tan
2
1
4
cost
sin2t
dt
cos
2
t
1 4 x
2
sin t
^dsi nt
」—
4 si nt
例
5
求
(x
2.
9)
2
dx
（分母是二次质因式的平方 ）
解令
x = 3tant
，贝
V x
2
9
二
9sec
2
1
，
dx = 3sec
2
tdt
dx
3sec
2
(x
2
9)
2
81sec
4
1
t dt
二丄
L
cos
2
tdt
27
§ 4.2换元积分法
2 2
4
1
54 54 54
2 54
1
sin 2t
sin t cost C
54
2 54
54 54
1 x
1 3x
=—arcta n — ——
P C
54
(1
cos2t)dt -
1
cos2tdt -
(cos2td2t
练习：
求
分）
2
1
一
2
dx
（第一换兀积分法
解
(x
2
-2x 5)
2
=[2
2
- (x -1)
2
]
2
，令
x
-1 =2tant
t dx
(x-2x 5)
2
x -1
arcta n —
16 2
1
2sec
2
1
2wl
1 x -1
-- !
-------------------------
2
dt
1 sin t
cost C
=—(1 cos2t)dt -
16
16 16
8 x -2x 5
类型3 被积分函数中含有
2 2
x
2
-a
2
（a 0）
，当
x
—a
时，可令
x = asect
，并约定
t （0,
2
）
，则
x -a ata nt
,
dx
二
asect ta ntdt
，当
x
一
—a
时，可令
u = —x
，贝
y u
一
a
，可
dx
2 2
.x -
例6求
(a 0)
a
解 被积函数的定义域为（―〜
_a） （a,
■：：），
n
当
x (a,
：：)时，令
x = asect
，
t
(0, —
)
，
2
贝
V
x
2
- a
2
= ata nt
，
dx=asectta ntdt
有
丄 迪
1
醴二
sectdt
..
x
2
-a
2
ata nt
2 2
p
_____________________________________
二
ln(sec t tan t) C = In(
兰
———) C
=
ln(x
、
x
2
- a
2
) G
.
a a
§ 4.2换元积分法 5
当
x
三
（
-
：：
,-a）
时，令
x -
-u
，则
u
三
（
a, —）
有
22
=
-1 n(u +pu
?
— a
2
) +G =
一
1
n( —x + Jx
2
_a
2
) + C
1
、
.u
2
- a
2
二上
2
CT—a
2
)「
a
2
) C
i
—In
x - . x - a
a
2
~~2 2
■'
C
i
— ln( _x _ x ■ ■ a ) (C
i
_ In a
)
2 2 2
二
ln( _x _
一
x
2
-a
2
) C
2
二
x
E
(-
叫
-a) U
(
a,
+呵
时，
f
,
2x
= |
nx+lx
2
-a
2
+C
、
Jx
2
- a
2
例7求
解
x (1,
：：)时，令
x =
sect
,
t = (0,
—)则-
x
2
2
-1 - tant
,
dx = sect tantdt
，有
dt = costdt = sin t C =
x (
Y
；
1)
时，令
u - -X
,
dx
x
厂
x
2
：
1
du
u
厂
u
2
=
u (1,
::
)
有
-无论
x
T或
x 1
均有
-1
注意：（1）以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分
为
（2）
x
的函数时，常常用到同角三角函数的关
在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原
系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”
（3）
第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁
在既可用
•
§ 4.2换元积分法 6
dx
x i x - a
f~2 2
(a .0)
解法一(用第一换元法)
x a
时
f
J
x
、
x -a
2 2 -
-f
x
1
2
a
x
2
2 c !
f
d(-)
x
1-(
旦)
2
x
二
-arccos
a
C
,
a
x
x ” -a
时，令
u --x
则
dx
-du
(-u). u
-a
dx
22
二
-arccos
a
C = — arcco a
u a
两式合并
——
dx
1 arccos
a
2
f
' 2
解法二(第二换元法)
x.x
「
a
(1
)当
x a
时,
x =
asect
,
t
(
0,—)
则
x
2
- a
2
2
ata nt
,
dx = a
sect tan tdt
1 arccos-
a
C
.
a
x
dx
x
；
x
2
- a
2
(2
)当
x
：：：
-a
时，令
u = -x
dx
r~2
xi x - a
2
a sect ta nt
一
=丄
1dt
丄
C
dt
a a
a secta
tant
-du
r~2
2
—u i u -a
du
u
u
-a
2
2
1 a 1
a
arccos- a
C arccos— a -x
u
由
(1)(2)
dx
两种情况可得
f
2
xV
x
-2
-a
1 arccos
a
V
归纳总结
1、第二类换元积分法的思想
若.
f
(x)dx
中的被积函数
f(x)
为无理函数，可以选择适当的变量代换
x
二
■ (t)
，将无理函数
f
(x)
的积分.
f (x)dx
化为有理式的积分
f[
(t)
「(
t)dt
.
.f (x)dx
x
=
(t)
f
「
(t)F (t)dt
二
(t) C
二
，
(x)] C
2、第二类换元积分法适用的被积函数类型
§ 4.2换元积分法 7
类型1 ：被积函数中含有
2 2
a
2
- X
(
a
0
),可令
x = asint
(并约定
t (
2 2
「
)
)则
.a -x = a cost
；
dx =
acostdx
可将原积分化作三角有理函数的积分
类型
2
:被积函数中含有
a
2
x
2
(a
0)
可令
x = ata nt
并约定
t (-
2 2
)，则
a
2
x
2
二
asect
；
dx =asec
2
tdt
；可将原积分化为三角有理函数的积分
类型3 被积分函数中含有
x
2
- a
2
(a 0)
，当
x _
a
时，可令
x = asect
，并约定
t (0,
2
)
，则
x
2
—a
2
=atant
，
dx =asecttantdt
,当
x _
—a
时，可令
u = —x
，则
u _
a
，可
分化为三角有理函数的积分。
W
课堂练习：P208习题4-2 2 ( 37)
W
课外作业：P208 习题
4-2 2 ( 36) ( 37) ( 38) (40) (42)
§ 4.2换元积分法
将原积
8