小学生网-岁月的年轮

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中学数学中换元法的应用与常见错误分析
目录
第一章 引言 ………………………………………………………
4

第二章在因式分解中的应用………………………………………
4

第三章在化简二次根式中的应用…………………………………
5

设元代数，化已知为未知………………………………………………… 5
设元代式，无理变有理…………………………………………………… 5

第四章在解方程中的应用…………………………………………
6

分式方程…………………………………………………………………… 6
一元二次方程……………………………………………………………… 7

三角有理方程
……………………………………………………
7

第五章在证明不等式中的应用……………………………………
8

三角换元法
………………………………………………………
8

改变换元后中间变量的范围
………………………………………
9

第六章换元法常见错误分析………………………………………
9
将复合函数与原函数混为一谈…………………………………………… 9
改变换元后中间变量的范围……………………………………………… 10
换元的选择不恰当………………………………………………………… 11
结论…………………………………………………………………………… 12

参考文献……………………………………………………………
12




11

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第一章 引言

换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。所谓 换元
法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造
原来的式子 ，使其简化，问题便于解决。
之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用
的。在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。
之所以说换元法应用广泛，是因为在因 式分解、化简二次根式、解方程、证
明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。
同时，由 于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此
需要对常见错误进行分析，防止犯错。
本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元
法运用中的常见错误 以及如何解决这些错误的方法。

第二章换元法在因式分解中的应用
因式分解是初 中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方
程以及三角函数的基础。学好因式分解，对 以后数学的学习有着非常重要的意义。
除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。
例1.分解因式：
xy

4

xy

4
（济南市 2007）
2
分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解 。换个角度
考虑，可以将
xy
看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次 多项
式。
解：设
xyu

原式
u
2
4u4




u2


2
22

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

xy2


2
例2.分解因式：
43x
2
x1x
2
2x34x
2
x4

分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用
换元法进行 因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：
4x
2
x4


3x
2
x1



x
2< br>2x3

，将其中两部分设为辅助元，则可以表示

2
出第三部分。
解：设
3x
2
x1A
，
x< br>2
2x3B
,则
4x
2
x4AB
。
原式
4AB

AB



AB


22
3x
2
x1x
2
2 x32x
2
3x2

使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助 元时，要反复比较式子中重复
出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。


2

2
第三章换元法在化简二次根式中的应用
在化 简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，
这时可以考虑通过换元将复杂的式 子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面
介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。
设元代数，化已知为未知
例3.若
x
1

1

，求
x
2
1x
的值
2002

2

2002

分析：
2002
是一个较大、带根号的无理 数，直接代入较复杂，因此可以尝试用
字母换元代入。
1

1
< br>2

x1
解：设
y2002
，则
x

，
y

2

y

2
11

1


y0

y
，且< br>
y
4

y

2
原式

1

1

1

1

1

1

1

1


yyy y

2

2


4

y2yyy

33

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y2002

设元代式，无理变有理
例4. 化简
aabb
aab
（陕西省 2008）
分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。
解：设
ax
，
by
，
x
3
xy
2
x

xy

xy

原式

2



xxy
xxy

xyab

解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样 会使得式
子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

第四章换元法在解方程中的应用
除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程 的一种常用的
方法。如果方程
F

x

0
的左端
F

x

是一个复合函数：
F

x

f

u

，
u


x< br>
，
而方程
f

u

0
和
u


x

是比较简单的方程，则可进行换元。令
u


x

，这样
方程就转化为
f

u

0
，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生
了变化， 应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程
类型及换元方法。
分式方程
形如
af

x


b
c0

f

x

令
uf

x

，原方程化为
au
b
c0
，即
au
2
b uc0

u
cc
2
4abcc
2
4ab
解得
u
，原方程化为两个简单方程
f

x
1


，
2a2a
44

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cc
2
4ab
f

x
2


，注意检验根。
2a
xx
2
15

例5 .解方程
2
x2
x1
分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换 元法来解。
x
2
11
x15

，原方程化为
u
解：设
2
u
，则
xu
u2
x1
1
，< br>u
2
2

2
1x1
当
u
1

时，有
2

，即
x
2
2x10
，解得
x
1
x
2
1

2
x1
2
x
当
u
2
2
时，有
2
2
，即
2x
2
x20
，无实数解
x1
解得
u
1

经检验，
x1
是原方程的解。
一元二次方程 < br>形如
a

f

x

bf
x

c0

2
令
uf

x
，原方程化为一元二次方程
ax
2
bxc0

cc
2
4abcc
2
4ab
解得
u
，原方程化为两个简单方程
f

x
1


，
2a2a
cc
2
4ab
f

x
2



2a
当
f

x

是整式时 ，上述两方程的根都是原方程的跟，
当
f

x

是分式或无理式时，应进行验根。
例 6.解方程
6x
2
7x26x
2
7x3
（哈尔滨 2007）
分析：则可以将
6x
2
7x
看成整体进行换元，转化 为一元二次方程求解。
解：设
u6x
2
7x
，
原方 程化为
u
2
2u30
，解之得
u
1
3，
u
2
1

当
u
1
3
时，即
6x
2
7x3
，得
x
1

31
，
x
2


23

2

55

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当
u
2
1
时，即
6x
2
7x1
，
x
3
1
，
x
4
经检验
x
1

1

6
311
，
x
2

，
x
3
1
，
x
4< br>
是原方程的根
236
三角有理方程
形如
R

sinx,cosx

0


2u1u
2
x
运用万能代换
utan
，得代数有理方程
R

,
22

2

1u1u
因
utan



0
。需要注意的是，
x
的自变量允许值是
x

2n1


，< br>
nz

，缩小了未知量的范围，因
2
此用万能代换解三角 有理方程时，应注意有失根的可能。
例7.解方程
sinxcosx1

分析：运用万能代换，将原方程化为代数有理方程，再求解。
解：设
utan
x
，
2
2u1u
2
1
，解之得
u1
原方程化 为
22
1u1u
因此
tan
x

1
，
x2n



nz


22
经检验，
x
1


2
2n

，
x
2


2n1


是原方程的根 < br>从以上分析可以看出，换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，因
此不同的方程就有不同 的换元方法。因此，这种方法灵活性大，技巧性强，适当
的换元，可以将复杂的方程化简，方便求解。

第五章换元法在证明不等式中的应用
不等式作为一个重要的分析工具和分析手段， 在数学中具有举足轻重的地
位。在不等式证明中，有些问题直接证明较为困难，但如果通过换元的思想与 方
法去解决就方便多了。下面列举两种基本的换元方法。
三角换元法
三角换元是常用的一种换元方法，多用于条件不等式的证明。在解类似这些
66

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问题时，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题 转化为三角问题，再充分利
用三角函数的性质解决问题。
例8.已知
a,bR，且
a
2
b
2
1
，求证：
a
2< br>2abb
2
2

分析：由条件不难想到公式
sin
2
cos

2
1
，假设
arsin< br>
，
brcos

，其
中
r1
，


0,2


，这样就将代数问题转化为三角问题 了。
证明：设
arsin

，
brcos

，其中
r1
，



0,2


，
则
a
2
2abb
2
r
2
co s

2
2r
2
sin

cos

r
2
sin

2


r
2
cos2

r
2
sin2





2r
2
sin
< br>2



2

4

当
r1
，



2
或
9

时， 等号成立。
8
增量换元法
一般的，对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给 定字母顺序（如
a>b>c）的不等式，常用增量法进行换元，换元的目的是通过减元，使问题化难为易，化繁为简。
例9.已知
a
>2,
b
>2,求证：
ab
<
ab

分析：因为
a,b
都在常量2附近变化， 运用增量换元法，设
a2m
，
b2n
，
其中
m>0，
n
>0，再运算证明。
证明：设
a2m
，
b2n
，其中
m
>0，
n
>0
则
aba b2m2n

2m

2n



4mn42m2nmn


mnmn
<0
故
ab
<
ab

不等式证明是中学数学中的一个难点，换元法是常用的一种方法，然而在具
体解题时要根据不同的条件 和结论进行相应的换元，技巧性很强。
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v1.0 可编辑可修改

第六章换元法常见错误分析
虽然合理运用换元法能够做到化繁为简 ，化难为易的作用，但在使用过程中
如果不注意等价转化，往往会出现不易察觉的错误。错误常表现为：
将复合函数与原函数混为一谈
函数
yF

x

经过换元
x


u

就变为
yF
< br>

u

这种形式的复合函数。常
常出现只考虑
y F



u

的单调性，而不考虑


u

的单调性的情况，最终导致错
解。
例10.试讨论函数
y
ax
1x
2
（
a
<0）的单调性
错解：设
xcos

,



0,


，则
y
acos

acot


sin

因为
ycot

在

0,


上是减函数，且
a
<0
所以
y
ax
1x
2
（
a
<0）是增函 数
分析：换元过后，只考虑了
yacot

的单调性，没有考虑
xcos

的单调性，
导致了错解。正确的解答应该在考虑
yacot< br>
的单调性的同时，还考虑到
xcos

的单调性，两者结合，最终 得出结论。
正确解：设
xcos

,


< br>0,


，则
y
acos

acot< br>

sin

因为
yacot

在

0,


上是增函数，又因为
xcos

在

0,


上是减函
数
所以
y
ax
1x
2
（
a
<0）是减函数
对于
yF



u

这种形式的复合函数，在考虑
yF



u

的单调性的同时，
还要考虑


u

的单调性，两者结合，最终得出结论。
改变换元后中间变量的范围
88

v1.0 可编辑可修改
换元后，根据原自变量的范围错误地确定中间变量的取值范围的情况也常常
发生。
例 11.若
log
16
xlog
x
16log
x
y3
，求
y
的取值范围
错解：设
x16
u
， 则：
u

3

3

u

< br>
2

4
2
2
3
log
16
y
3
，所以
y16
u3u3
且
u0
，
uu
y168
，又
x
>0且
x1
，即< br>u0
，
y16
3

所以
y8,16
3



16
3
,


分析： 在用
x1
推得
y16
3
时，还包含了
u3
的 情况，这实际上是错解了
u
的
范围，造成了非等价转化，从而缩小了
y
的范围。
正确解：设
x 16
u
，则：
u

3

9

u



2

4
2

2
3
log
16
y
3
，所以
y16
u3u 3
且
u0

uu
y168

所以
y

8,


通过原自变量的范围求解 中间变量范围时一定要特别注意，既不能扩大范
围，也不能缩小范围，在遇到比较难判断的点时，可以代 回原方程进行检验。
换元的选择不恰当
换元的选择不恰当，不仅会使得计算变复杂，很多时候还会导致错解。
例12.设
x 1y
2
y1x
2
1
，求
xy
的最值 < br>


0,2


，错解：因为
x1，
y1
，所以设
xcos

，即

0,
ysin

，
则
cos

cos
sin

sin

1
，
两边平方得：
s in2

0
，


k


k z


2

2
,

,
3


2


xycos

sin

2sin< br>




4


k
 

2sin




kz


4

2
99

v1.0 可编辑可修改
xy
的最大值为1，最小值为-1
分析：事实上，由已知可得0x1
，
0y1
，而上题假设将原函数的定义域
扩大了，且条件 中没有
x
2
y
2
1
，就导致了错解。正确解法是重新换 元，再求
xy
的最值。
正确解：因为
x1
，
y1< br>，又
y1x
2
1x1y
2
，
所以
x0
，同理
y0
，即
0x1
，
0y1




设
xcos

，
ysin
，

,



0,

< br>
2

则
cos

sin

si n

cos

1
，即
cos





1

又


2





2
，所以



0
，即






xy cos

sin

cos

sin
2sin




，其中
4


4




4



3


4
4
时，即

0
，
x y
取最小值为1，
时，即


当


当



4


2

4

4
，
xy
取最小值为
2

运用换元法时要慎重选 择中间变量，一旦换元不恰当，就会导致解题错误。
快速而又正确地找出中间变量就需要多解题，积累经 验。
利用换元法能使问题处理简单快捷，但由于学生概念不清，在代换过程中往
往会出现这样 那样的错误，并且很难检查出。以上三种最为常见，在解题时更要
注意。


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