非公有制企业-身在福中

函数极限的换元法
函数极限的换元法是一种相当实用的方法. 正如积分换元法在积分 计算中
有着十分广泛的应用，函数极限的换元法在函数极限的计算中也有着十分广泛的
应用. 运用函数极限的换元法，我们能够很快地求出许多复杂函数的极限. 下面
就来介绍并证明函数极限换元法的有关定理.
一、x趋向于
,,

这类情形的换元法法则比较简单. 我们有法则1.
法则1 若
limf(x)
存在，
limg(t)K< br>，那么有
limf(x)limf[g(t)]
.
xKtTxKtT

K=
,,
. T=
t
0
,t
0
,t
0
,,,
.
这个法则的内涵是很丰富的，它其实上包含18个具体的法则. 首先必须指

出的 是，
t
0
,t
0
我们必须把它们代入后再理解. 之
,t< br>0
,,,
都是形式上的符号，
所以这么做，是为了法则表示的简洁， 从而应用起来更有效率. 法则1告诉我们
的是，把K任意取定一个符号，然后再把T任意取定一个符号 ，所得到的命题
是成立的. 也就是说，法则1告诉我们有18条法则是成立的. 下面的法则2和法
则3会采用类似的记法.

二、x趋向于
x
0
,x
0

,x
0
这类情形的换元法法则比较复杂. 我们有法则2和法则3. 需要指出的是 ，

为了形式上的简洁和记忆的方便，我们说x向于
x
0
是指x从右 边趋向于x
0
，也就
是x
0
的右极限.
法则2 若
limf(x)
存在，
limg(t)(K)
，UF(T), 对tUF(T)有R[K, g(t), (K)]，
xKtT

< br>那么有
limf(x)limf[g(t)]
. K=
x
0
,x
0
. T=
t
0
,t
0
,t
0
,,,
.
,x
0
xKtT
该法则中有三个特别定义的符号，即(K), UF(T)与R[K, g(t), t
0
]. 形式上，当

K=x
0
,
x
0
,
x
0
时，(K)=x
0
. 规定UF(T)是一个集合，当T=t< br>0
时UF(T)表示t
0
的某一
个去心领域；当T=
t
0

时UF(T)表示t
0
的某一个去心右领域；当T=
t
0

时UF(T)表
示t
0
的某一个去心左领域；当T=时UF (T)表示的某个邻域；当T=+时UF(T)
表示+的某个邻域；当T=时UF(T)表示 的某个邻域. 规定R[K, g(t), x
0
]是

一个命题公式. 当K=x
0
时，表示命题g(t)x
0
；当K=
x
0时，表示命题g(t)>x
0
；当

K=
x
0
时，表示命题g(t)< x
0
.
法则2实际上也包含了18个具体的法则. 这些具体的法则在证明的时候将
会一一列出来. 法则2中定义了3个计算机程序意义上的“函数”，这 样做，可
以把18个具体的法则用比较精炼的语言叙述出来，形式上简洁，记忆方便，运
用灵活 . 如果f(x)在x
0
处连续，那么当x趋向于x
0
时，我们有更加便捷的 法则.
法则3若f(x)在x
0
处连续，
limg(t)x
0< br>，那么有
limf(x)limf[g(t)]
.
tT
xx< br>0
tT

T=
t
0
,t
0
,t
0
,,,
.
法则3中，我们要求f(x)在x
0
处连续，至于左连续和右连续的情况，我们就
不讨论了. 我们来分析一下三个法则的共同特点. 三 个法则都要求所求极限存在，
也就是说，这三个法则一般情况下是不能用来判断函数极限存在性的，而是 用来
在已经知道极限存在的情况下去计算函数极限的值. 其次，三个法则都是把计算
limf (x)
转化为计算
limf[g(t)]
. 法则1和法则2总共包含36种具体情况 ，一般
xx
0
tT
情况下，这两条法则就已经足够解决许多极限的计算问 题.

三、证明
下面我们仅就T=t
0
和T=的情况给出 法则1和法则2的证明，法则3的证
明比较容易，故从略.
首先来证明T=t
0
的情况.
(1)若
limf(x)
存 在，
limg(t)
，那么有
limf(x)limf[g(t)]
.
x
tt
0
x
tt
0
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是M>0, 对x
U(;M)
，有
x
|f(x)A|<. 由于
limg(t)
，所以对于上面的M>0，总是>0，对t
U
o
(t
0
;

)
，
tt
0
有|g(t)| >M，即g(t)
U(;M)
，从而|f[g(t)]A|<.
总的来说 就是，对>0，总是>0，对t
U
o
(t
0
;

)
，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.
tt
0
x< br>(2)若
limf(x)
存在，
limg(t)
，那么有
limf(x)limf[g(t)]
.
x
tt
0
x
tt
0
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是M>0, 对x
U(;M)
，有
x
|f(x)A|<. 由于limg(t)
，所以对于上面的M>0，总是>0，对t
U
o< br>(t
0
;

)
，
tt
0
有g(t )>M，即g(t)
U(;M)
，从而|f[g(t)]A|<.
总的 来说就是，对>0，总是>0，对t
U
o
(t
0
;
)
，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.
tt
0
x
(3)若
limf(x)
存在，
limg(t)
，那么有limf(x)limf[g(t)]
.
x
tt
0
x
tt
0
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是M>0, 对x
U(;M)
，有
x
|f(x)A|<. 由于limg(t)
，所以对于上面的M>0，总是>0，对t
U
o< br>(t
0
;

)
，
tt
0
有g(t )<M，即g(t)
U(;M)
，从而|f[g(t)]A|<.
总 的来说就是，对>0，总是>0，对t
U
o
(t
0
;< br>
)
，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.
tt
0
x
(4)若
limf(x)
存在，
limg(t)x
0
， >0, 对t
U
o
(t
0
;

)
有g(t) x
0
，
xx
0
tt
0
那么有
lim f(x)limf[g(t)]
.
xx
0
tt
0
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是
1
>0, 对x< br>U
o
(x
0
;

1
)
，有
xx
0
|f(x)A|<. 由于“
limg(t)x
0
，
2
, 对t
Uo
(t
0
;

2
)
有g(t)x
0
”，所以对于上面
tt
0
的
1
>0，总是，0< <
2
，对t
U
o
(t
0
;

)
，有0<|g(t)x
0
|<
1
，即g(t)
U
o
(x
0
;

1
)
，
从而|f[ g(t)]A|<.
总的来说就是，对>0，总是>0，对t
U
o
(t
0
;

)
，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.
tt
0
xx< br>0
(5)若
lim

f(x)
存在，
limg(t) x
0
，>0, 对t
U
o
(t
0
;

)
有g(t)> x
0
，
xx
0
tt
0
f(x)limf[g(t)]
. 那么有
lim

xx
0
tt
0

o
证明 设
lim
，那么对>0, 总是>0, 对x
f(x) A
U
1

(x
0
;

1
)，有

xx
0
|f(x)A|<. 由于“
limg(t)x
0
，
2
, 对t
Uo
(t
0
;

2
)
有g(t)>x
0
”，所以对于上面
tt
0
o
的
1
>0，总是 ，0<<
2
，对t
U
o
(t
0
;

)
，有00
<
1
，即g(t)U

(x
0
;

1
)
，
从而 |f[g(t)]A|<.
总的来说就是，对>0，总是>0，对t
U< br>o
(t
0
;

)
，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.

tt
0
xx
0
(6)若
lim

f(x)
存在，
limg(t)x
0
，>0, 对t
U
o
(t
0
;

)
有g(t)< x
0
，
xx
0
tt
0
f(x)limf[g(t)]
. 那么有
lim

xx
0
tt
0
o
证明 设
lim
，那么对>0, 总是>0, 对x
f(x)A
U( x
0
;

1
)
，有
1


xx
0
|f(x)A|<. 由于“
limg(t)x
0
，
2
, 对t
Uo
(t
0
;

2
)
有g(t)0
”，所以对于上面
tt
0
o
的
1
>0，总是 ，0<<
2
，对t
U
o
(t
0
;

)
，有
1
0
<0，即g(t)< br>U

(x
0
;

1
)
，
从 而|f[g(t)]A|<.
总的来说就是，对>0，总是>0，对t
U
o
(t
0
;

)
，有|f[g(t)]A|< . 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.

tt
0
xx
0

上面对T=t
0
的情况给出了证明，当T 为
t
0
,t
0
时，证法完全类似，只需要把
t
0< br>换成其它的形式，并且把U
o
(t
0
)换成相应的区间，然后逐字逐句 重复.
然后来证明T=的情况.
(1)若
limf(x)
存在，
limg(t)
，那么有
limf(x)limf[g(t)]
.
x
t
xt
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是M>0, 对x
U(;M)
，有
x
|f(x)A|<. 由于
limg(t)
，所以对于上面的M>0，总是N>0，对t
U(;N)
，
t
有|g(t)|>M，即g(t)
U(;M)
，从而|f[g( t)]A|<.
总的来说就是，对>0，总是N>0，对t
U(;N)< br>，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.
tx
(2)若limf(x)
存在，
limg(t)
，那么有
limf(x) limf[g(t)]
.
x
t
xt
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是M>0, 对x
U(;M)
，有
x
|f(x)A|<. 由于limg(t)
，所以对于上面的M>0，总是N>0，对t
U(;N)< br>，
t
有g(t)>M，即g(t)
U(;M)
，从而|f[ g(t)]A|<.
总的来说就是，对>0，总是N>0，对t
U(;N )
，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.
tx
(3)若< br>limf(x)
存在，
limg(t)
，那么有
limf(x) limf[g(t)]
.
x
t
xt
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是M>0, 对x
U(;M)
，有
x
|f(x)A|<. 由于limg(t)
，所以对于上面的M>0，总是N>0，对t
U(;N)< br>，
t
有g(t)<M，即g(t)
U(;M)
，从而|f [g(t)]A|<.
总的来说就是，对>0，总是N>0，对t
U(; N)
，有|f[g(t)]A|<. 于是

limf[g(t)]Alimf(x)
.
tx(4)若
limf(x)
存在，
limg(t)x
0
，N> 0, 对t
U(;N)
有g(t) x
0
，
xx
0
t
那么有
limf(x)limf[g(t)]
.
xx
0
t
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是
1
>0, 对x< br>U
o
(x
0
;

1
)
，有
xx
0
|f(x)A|<. 由于“
limg(t)x
0
，N
2
, 对t
U( ;N
2
)
有g(t)x
0
”，所以对于上面
t
的
1
>0，总是N>N
2
，对t
U(;N)
， 有0<|g(t)x
0
|<
1
，即g(t)
U
o(x
0
;

1
)
，从
而|f[g(t)]A |<.
总的来说就是，对>0，总是N>0，对t
U(;N)
，有 |f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
. txx
0
(5)若
lim

f(x)
存在，limg(t)x
0
，N>0, 对t
U(;N)
有g(t)> x
0
，
xx
0
t
f(x)limf[g(t)]
. 那么有
lim

xx
0
t
o
证明 设
lim
，那么对>0, 总是>0, 对x
f(x)A
U( x
0
;

1
)
，有
1


xx
0
|f(x)A|<. 由于“
limg(t)x
0
，N
2
, 对t
U( ;N
2
)
有g(t)>x
0
”，所以对于上面
t
o
的
1
>0，总是N>N
2
，对t
U(;N)
，有00
<
1
，即g(t)
U

(x
0
;

1
)
，从而
|f[g(t) ]A|<.
总的来说就是，对>0，总是N>0，对t
U(;N)
，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.

t
xx
0
(6)若
lim

f( x)
存在，
limg(t)x
0
，N>0, 对t
U(;N)
有g(t)< x
0
，
xx
0
t
f(x)limf[g(t)]
. 那么有
lim

xx
0
t
o
证明 设
limf(x)A
，那么对>0, 总是
1
>0, 对x< br>U

(x
0
;

1
)
，有

xx
0
|f(x)A|<. 由于“
limg(t)x
0
，N
2
, 对t
U( ;N
2
)
有g(t)0
”，所以对于上面
t
o
的
1
>0，总是N>N
2
，对t
U(;N)
，有
1
0
<0，即g(t)
U

(x
0
;

1
)
，从
而|f[g(t )]A|<.
总的来说就是，对>0，总是N>0，对t
U(;N)，有|f[g(t)]A|<. 于是
limf[g(t)]Alimf(x)
.

t
xx
0
上面对T=的情况给出了证明，当T为+, 时，证法完全类似，只需要
把换成其它的形式，并且把U()换成相应的区间，然后逐字逐句重 复.