试用期规定-幸福宣言

妙用换元法解高次方程
10数B
1050502065
李燕娣
摘 要
数学知识、数学思想与数学方法三者是密不可分的,人们在解决问题的过程
中都要经历问题——思考——总结的过程,而剖析这一过程正是我们数学教学的
重要任务。“换元法”是 初中数学中解决方程的一个重要方法，它体现了初中数
学的一些基本思想,如符号化思想、变元思想、转 化思想等。本文以“换元法”
巧解高次方程为例，把某个较为复杂的式子（根式、和式、积式、对数式、 指数
式、三角函数式等）看成一个整体，以一个新的未知数替换它，使我们所研究的
问题变得简 单化。用换元法解决高次方程有效地培养和训练了学生思维的灵活性,
简化和加速思维过程,同时化繁为 简,化难为易,提高了学生解决问题的能力,培
养学生辩证观点的有力工具。

引 言
如果我们教学只是结论式教学、就题论题式教学,那么就会把数学中的精华
——数学思想给 遗失了。这样学到的只是一些没有数学思想支撑的枯燥的知识。
而利用“换元法”处理方程问题则很好地 体现了数学教学思想的精华，虽然拼凑
的难度可能会较大,但通过部分换元后,再运用乘法公式及其他化 简进行变形,其
解法虽不能说拍案叫绝,却也能令人耳目一新。

正 文
方程即是含有未知数的等式，它的形式繁多，从低次方程至高次方程，由单
项等式至多项相乘，其求解未 知数的方法也纷繁众多、眼花缭乱，低次方程的解
决稍微较易，但逐渐升高次数时难度亦越来越高，所以 就不得不想一些较为方便
简单的方法来处理相关的方程问题。而“换元法”不失为一种独到精辟的方法之
一，“换元法”是初中代数中常用的一种技巧解题方法。中学数学中对于方程这
一部分,主要讲 解了一元一次方程、一元二次方程的解法和一次方程组(未知数的
个数一般比较少)及简单的二元二次方 程组的解法。后面又学到其他的方程(例
如：分式方程、高次方程、无理方程、指数方程与对数方程、三 角方程与反三角
方程等)都是经过变形,变成了上述所学的方程来解。而变形的主要方法之一就是
“换元法”。
“换元法”就是用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未
知 量或变量后，再利用其替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助
元素法，简称“换元法”。 其中，新的未知量叫做辅助元素，简称“辅助元”。 “换
元法”是中学数学的重要解题方法之一，在解 决函数、方程、不等式、数列及解
析几何的间题中起着重要的转化作用。当我们用一个新的字母代换题目 中的一个
“集团”时,可使原来题目隐藏的关系明朗化，给人以“柳暗花明”、化繁为简的

感觉,使问题迎刃而解。 实施“换元法”的关键在于恰当地选择新的变元代替旧
的变元，也 就是选择适当的辅助未知数。此文在接下来的论述中就很好地利用了
这一点。同时，要注意未知数允许值 范围的变化,即新变元的取值范围与旧变元
的取值范围的内在联系与转化。对于辅助未知数的选择没有一 般的通则可循,往
往因题而异,技巧性较强。但通过变换都能同样达到降低次数的目的。
用换 元法解方程也就是反过来将方程中含有未知数的单项式、多项式、分式
或根式等用未知数x表示。集中力 量分析方程中含有未知数的代数式之间的关系,
这是能否进行换元的关键。其中，在解决方程问题尤为恰 当，将高次方程化为低
次方程，复杂过程化为简单方程，轻而易举便可求得原方程的解。
这里讲述一道高次方程如何借助“换元法”来巧解方程的过程：
（2006年的一道青海题） 一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段
对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：
(x
2
-x)
2
-8(x
2
-x)+12=0．
学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗?
老师：这样，原方程可整理为x
4
-2x
3
-7x
2
+8x+1 2=0，次数变成了4次，用现有
的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点?
学生乙：老师，我发现方程中x
2
-x是整体出现的，最好不要去括号!
老师：很好，如果我们把x
2
-x看成一个整体，用y表示，即x
2-x=y，那么原
方程就变为y
2
-8y+12=0．
全体学生：(同学们都特别高兴)噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗?!
老师：大家真会观察和思考，太棒了!显然一元二次方程y
2
-8y+1 2=0的根是
y
1
=6，y
2
=2，那么就有x
2
-x=6或x
2
-x=2．
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，x
1
=3，x
2
=-2，x
3
=2，x
4
=-1，
嗬 ，有这么多根啊!
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处< br>在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．
上题老师通过其他方法的试探，最后无法 用现有知识解答，最后引导学生发
2
现规律x-x可以当作一个整体看待，这样一来，就引出了 换元法，降低方程的
次数了，由不知高阶方程的求解到转换为一元二次方程，这一元二次方程的解决对大家来说无疑是比较简单的。它的根也很快能求出，这里是呈现了一个学习的
情节，给出了换元法 ，既用换元法很好地体现其妙处，又考查了学生对数学方法
的运用水平及分析推理能力。
又例 1关于
x
的一元四方程
x
4
x
3
x
2
x10
.分析可知，因为方程
的次数较高，直接求解无疑是比较困难的， 通过观察方程的系数，具有对称的特

点，所以使用换元法，便可大大降低难度，是问题迎 刃而解。首先，显然可知
x0
11
不是方程的解，所以除以
x
2
后得到：
x
2
x
2
0
.设
yx
，则有
xxx
y
2
y
，

2

根据

与0大小的比较便可求得y的值，再1
代回
yx
，也就求出了
x
.
x
例2解 方程
(x1)(x2)(x3)(x4)3
，对于这一个多个因数相乘，可以把第一
项跟第四项先相乘，第二项跟第三项相乘，即



x1

(x4)



(x2)(x3)

3
，
这里利用技巧先算其中两个的乘积，得出的结果为
(x
2
5x 4)(x
2
5x6)3

由观察可设
x
2
5x5y
再代进去，明显地二次变为了一次，计算量就变小了。
这里也充分地显现了换 元法的价值。
通过上述例题的分析可得，要想提高学生用“换元法”解方程的能力,应当
抓住以下问题： 用 字母表示代数式的能力是用换元法解方程的基础，为了提高
学生用字母表示代数式的能力,将方程中的未 知数x换成单项式、多项式、分式
或根式。
下面再来剖析这一高次方程

x
2
3x4

x
2
3x5

6

直接求解显然不实际，变可想到把其中能合并的作为一个整体来求解，解法
一：令< br>x
2
3x

y
，则原方程变为
(y4)(y 5)6
，即
y
2
9y140
，解之得
y2或
7
。当
y2
时，
x
2
3x
2
，解之得
x
1
1,x
2
2
。当y7
时，
x
2
3x70
无实根。所以，原方程的解为
x
1
1,x
2
2
.
再次分析，又可用下 面的方法来求解，即所设的元不同，原方程也变换的不
同，如下解法二：令
x
2
3x4y
，则原方程变为
y(y1)6
，解之得
y
1< br>2,y
2
3
.由
x
2
3x42
，得
x
1
1,x
2
2
.而方程
x
2
3x43
无实
根，所以方程的解为
x
1
1, x
2
2
。所以方程最后的结果便求出来了。
用换元法解方程
( x
2
8x7)(x
2
8x15)150
，一般学生都会 解,采用多
种换元法:令
yx
2
8x,yx
2
8x 7,yx
2
8x15
都可完满解答。但从培
养学生的思维能力考虑, 如果取7和15的算术平均数11，令
yx
2
8x11
，则
原 方程化为（y－4）（y＋4）＋15＝0，它不含y的一次项，此种换元更简单！所
以应发展求异思维 ,培养思维的广阔性，同样是换元法，但要求有更简单的设元，

就用更易求得的设元，缩 减计算量，提高做题能力，培养技能。
也就是说，问题解决的方法往往不是唯一的，每个学生都有自己 的生活背
景、家庭环境，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。在解决问
题是要 鼓励学生尝试从不同角度、不同思路去考虑，并尝试评价不同方法之间的
差异，寻找解决问题的最佳途径 ，这也是学生思维灵活性、开放性的一种表现。
教师还要鼓励学生大胆尝试、猜测，允许学生给出不同答 案，并用文字、字母或
图表等清楚的表达解决问题的过程，解释结果的合理性。事实上现实生活中的许< br>多问题的解决方式不唯一，答案也并不是唯一的，只要能解释其合理性，就应该
允许其存在，现实 生活是这样，源于生活的数学也是这样，问题解决更应该这样。
“换元法”思想内涵丰富,是培养学生 观察能力、直觉能力和整体意识的方
法之一,同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力,产生 居高临下之
功效,我们不仅在细微之处见精神更要从宏观之中探世界换元引参是整体
思想的集中 体现,在整体思想中扮演着不可或缺的角色.换元引参是一种重要的
思想方法,它在数学解题中有着广泛 的应用.
在中学数学教学中,换元思想的形成,发展和换元法的运用,是一个系统的工
程。在 高中数学教学中,换元思想的应用尤其广泛,但有不少内容已在初中部分渗
透。为了加强初高中数学教学 的系统性和连贯性,使学生多层次的认识和运用换
元思想,重视体现换元思想是十分必要而又切实可行的 。“换元法”在求解高次方
程中的运用方便有效，巧妙性自然不言而喻。同时锻炼了学生的变通及思考能 力，
不断提升其能力。