霸气游戏名字-成功学大师

用换元法突破基本不等式问题的几种策略
基本不等式是高中数学的重点内容之一，是现 行高考的重点和热点，是我们解决许多数学问
题的重要工具．对运用基本不等式求较复杂的最值问题，很 多学习者掌握起来有一定的难
度．本文介绍运用换元法来处理此类问题的几种策略，希望对读者有所帮助 ．
一、运用换元法，将问题化归为两种基本模型来解
现行苏教版必修 5 教科书给出了两种重要的模型(P110 例题 3；习题 10．9练习 16)．
模型1 已知 正数x，y满足
axby1
，求
mn
（其中a、b、m、n为正常数）

的最小值．
xy
ab
模型2 已知a，b为正的常数，正数x，y满足
1
，求
mxny
的最小值．
xy
为什么教材的编写者给出这两种基本模型?笔者认为主要是这两种情况下，分式的分母相对
简单，便于学习者掌控(合理地进行系数配凑)．
例1 若
a0,b0
，且
11
1
，则
a2b
的最小值是________．
2abb1
11
1
，求
xy
解法1 令
2 abx,b1y
，则问题转化为已知正数x，y满足
a2b
133
xy
的最小值．
222
运用模型2，
a2b




x3y


1

1
2< br>
x
1

y

31

3yx

313123


4

422
，
22

xy

2222

当
x 3y
，即
a
故所求最小值为
解法2 设
133
时等号成立．
,b
233
1+23
． 2
11



sin
2
x,cos
2
x.x

0,

，
2abb1
2

1


1


则
bt an
2
x,a

1
2
tan
2
x< br>
，
2
tanx
从而
a2b

2< br>3tan
2
x

3
，
22

tanx

2
当
tan
2
x3
时等号成立．
故所求的最小值为
1+23
．
2
11

1

1
a
2
2b
2
3
变式1 已知a，b为正数，且
ab1
，则
p
的最小值是______．

ab1
解 令
b1x
，则
ax2
， 即

a
2
x
1
．
2

2 (x1)
2
3x2a

12

12

所以
pa(ax)2



2




xa

3322
，
axa x

ax

ax

当
x2a
，即a222,b322
时等号成立．
所以，p的最小值是
322
．
二、通过换元，将陌生的问题转化为熟悉的问题
例2 已知x，y为正实数，则
4xy
的最大值为_______．

4xyxy
分析 这个问题最大的难点在于分母都是多项式，不利于掌控，可 以想到通过换元把分母转
化为一个字母(单项式)．
解 设
4xya,xy b
，则
a0,b0,x
ab4ba
．
,y
33
于是
4xy81

4ba

824ba4
 




，
4xyxy33
ab

33ab3
当
a2b
，即
2xy
时 等号成立．
4
故所求的最大值是．
3
变式2 是否存在常数c，使得不等式
成立？试证明你的结论．
解 令
x2ya,2x yb
，则
x
一方面，
xyxy
c
对任意正数 x，y恒
2xyx2yx2y2xy
2ba2ab
．
,y< br>33
xy2

ba

22





，
2xyx2y3

ab

33
当
ab
，即
xy
时等号成立，所以
c
令 一方面，
2
；
3
xy41

ab

42 2
=




，
x2y2xy33

ba

333
当
ab
，即
xy时等号成立，所以
c
综上，存在
c
2
，使得命题成立．
3
2
．
3
变式3 已知正实数a，b满足
2ab1
，则
4a
2
b
2

1
的最小值为___ ____．
ab
分析 这个问题貌似与两种模型相似，但仔细分析发现又大相径庭．如果按照
2ab
进行整
理，再通过换元可以转化为利用函数的单调性求简单函数的最值问题．
1
解 由
2ab122ab
，得
0ab
． < br>8

令
abt
，则
4a
2
b
2

1111
2


2ab

4 ab14ab14t
．
abababt
17
111
易 知
h(t)14t
在
(0,]
上是减函数，故
t
时 ，
h(t)
取得最小值．
2
t8
8
x
2
4y
2
变式4 已知实 数x，y满足
xy1
，且
x2y0
，则的最小值为_______．
x2y
x4y
2
(x2y)
2
4xy4
 t4
， 解 设
x2ya0
，则
x2yx2yt
当
t2
时，即
x2,y
1
时等号成立．
2
所以，所求表达式的最小值为4．
变式5 设
a3b4c
，
49m
恒成立，求实数m的最小值．

a3b3b4ca4c
解 令
a3bx,3b4cy< br>，则
x0,y0
，
a4cxy
，
49m
原不等式等价于

,
xyxy

49

4y9x

． 从而
m




xy

13
xyxy

又
3
4y9x
12
，当
yx
时 等号成立．
2
xy
所以，m的最小值是25．
变式6 已知等差数列< br>{a
n
}
的公差
d0
，且
a
1
, a
1
,a
13
成等比数列．若
a
1
1
， 数列
{a
n
}
的前n
项和是
S
n
，则2S
n
16
的最小值是_______．
a
n
3
2
a
1
a
13
，得
(12d)
2112d
，解得
d2
． 解 由
a
3
故
a
n
2n1,S
n
n
2
．
2S
n
16
2n
2
16n
2
8

所以 ．
a
n
32n2n1
令
tn1
，则
2 S
n
16
9
t24
，
a
n
 3t
当
t3
，即
n2
时等号成立．故所求的最小值是4．
24
例3 已知正实数x，y满足
x3y10
，求
xy
的取值范围．
xy
分析 问题给出的表达式中既有整式，又有分式，而求的是
xy
的取值范 围．如果将分母去掉，
就会出现
x,y,xy
及
x
2
y,x y
2
五个量，如果令
xyt0
作为变量的话，可以消去一个变量，得

到相应解法．
解 设
xyt0
，则
y


4


t23t4x
，条件变为
x1 0
．
xxt
x
故
10

1

x
t
23t

4


8

2

1


23t

，解得
t< br>
1,

．
x

t


3

即
xy
的取值范围是

1,

．

3

变式7 已知
x0,y0
，且满足
x 
y18
10
，则
2xy
的最大值为______．
2xy

8

t1818t
解 设
t2xy
，则
10
，即有
10
． 2xyxy2

18

t

结合柯西不等式，可得< br>



2xy



10< br>
t
2


xy


232

2
18
，
即

t18

(t2)0
，得到
2t18
，
当且仅当
x3,y12
时等号成立．
故所求的最大值为18．
x
2
4y
2
1

变式8 设实数
x1,y
，不等式
p
恒成立，求实数p的最大值．
2
2y1x1
解 令
2y1a
，
x1b，则
a0
，
b0
，
x
2
4y
2
(b1)
2
(a1)
2

且
2y1x 1ab
(a1)(b1)
ab

1ab

12ab


2

ab22ab8
，



ab
ababab


2
当
ab
，即
x2y
时等号成立．
所以，p的最大值是8．
三、换元转化为非基本不等式问题
例4 若实数a，b满足
a4ab2b
，则a的最大值是_________．
解 令
4abx0
，
by0
，则
by
2
, 4abx
2
．
x
2
y
2
故
ax2y
，
4即
x
2
y
2
4x8y0
，亦即
(x 2)
2
(y2)
2
20
．




令
x225cost,y425sint,t

0 ,

，则

2

ax2y225cost8 45sint1010sin(t

)20
，
当
t



2
时等号成立．
所以，a的最大值是20．
变式9 设
a,b,c
为直角
AB C
的三边长，其中c为斜边长，求使得
大k的值．
分析 因为
ABC为直角三角形，且c为斜边，考虑三角换元将多元最值问题转化为一元最
值问题．



解 不妨设
acsinx,bccosx,x

0,

，则 2

a
3
b
3
c
3
sin3
xcos
3
x1(sinxcosx)(1sinxcosx)1< br>．
u
abcsinxcosxsinxcosx
a
3
b
3
c
3
k
成立的最
abc
t
2< br>1
令
tsinxcosx2sin(x)
(1,2]
，则
sinxcosx
，
4
2

可得
uf(t) 
2
t
．由函数
f(t)
在
(1,2]
单调递减 ，得
f(t)
min
f(2)22
．
t1
于是，k的最大值是
22
．
变式10 已知正实数a， b满足
a
2
b
2
1
，
a
3
 b
3
1m(ab1)
2
，求实数m的最小值．
分析 问题 中含有三个未知数a、b、m，而且次数比较高，正面直接处理比较棘手．由
a
2
b
2
1
，
可以考虑用三角换元来处理．



解 设
acosx
，
bsinx，
x

0,

，则
sin
3
xc os
3
x1m(sinxcosx1)
3
，
2
 

再令
tsinxcosx2sin(x)
(1,2]
，
4

t
2
1

3
于是
t< br>
1

1(t1)m
，整理得
2
m
2t1

3



1
< br>．
2(t1)2

t1

1

1
32
3
2
，即m的最小值是在
t

1, 2

时为减函数，所以
m

1


2

2
t1
21

注意到
32
2< br>．
2
基本不等式问题的解题方法很多，其中换元法是将复杂的基本不等式问题转化为简 单问

题或者熟悉问题的重要策略．笔者相信，只要学习者能认真总结提炼，就一定能从根 本上把
握基本不等式问题的解题技巧，做到游刃有余．