石膏像素描-学校消毒制度

数学分析选讲课程论文
不定积分第一类换元法（凑微分法）

一、 方法简介
设
f(x)
具有原函数
F(u)
，即
F'(u) f(u)
，

f(u)duF(u)C
，如果
U
是< br>中间变量，
u

(x)
，且设

(x)
可 微，那么根据复合函数微分法，有
dF[

(x)]f[

(x )]

'(x)dx

从而根据不定积分的定义得

则有定理：
f[

(x)]

'(x)dx F[

(x)]C[

f(u)du]
u

(x)
.
设
f(u)
具有原函数，
u

(x)
可导，则有换元公式

f[

(x)]

'(x )dx[

f(u)du]
u

(x)

dy
dx
由此定理可见，虽然

f[

(x)]
'(x)dx
是一个整体的记号，但如用导数记号
中的
dx
及
d y
可看作微分，被积表达式中的
dx
也可当做变量
x
的微分来对待， 从
而微分等式

'(x)dxdu
可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：

1

f(axb)dx
○
2

f(sin
○
1

a
f(axb )d(axb)

(a0)
；
x)cosxdx
dxcos
2

f(sinx)dsinx
，

f(cos x)sinxdx

f(cosx)dcosx
dx
sin
2< br>，

f(tanx)
1
x


f(tanx )dtanx
，

f(cotx)
x
x
x

f(cotx)dcotx
x
；
3

f(lnx) dx

f(lnx)dlnx
，

f(e
○
x< br>4
○
)edx
x

f(e)de
；
，< br>
f(x)x
nn1
dx
1

n
f(x )dx
nn
(n0)
，

1dx11
f()
2< br>

f()d()
x
x
xx

f(x)< br>dx
x
2

f(x)d(x)
；
dx
1 x
2
5

f(arcsinx)
○


f(arcsinx)darcsinx
；

1

数学分析选讲课程论文

f(arctanx)
dx
1x
2


f(arctanx)darctanx
；
6复杂因式
○

二、典型例题
1

f(ax b)dx
○
例1.

(2x1)
例3.


1．解：令
u2x1
,
du2dx
,
1u1(2x 1)
dxC
2201122011
20112011
2010< br>1
a

f(axb)d(axb)

(a0)
；
dx
例2.

[1]
x
3
[1]
2

1x
xx
1x
4
3
xdx
1x
2
(1x)
23
例4.

dx
[1]


(2x1)
2010
C

2．解：令
tx
2
，


x3

2
1
1x

2
tdt
1t< br>
1

2
(t11)dt
1t
1
< br>
1

2
t1d(t1)

2
1t1
d(t1)

3
1
2
121
2
(t1)
2
21tC
(x1)
2
1xC
232
3
xdx
1x
2
3

3．解：


(1x)
23
1
2

d(1x)
2
2

(1x)(1x)
3
22
令
1x
2
t

原式

1< br>2

dt
3

1
2

dt
t1t


d(t1)
1t

tt
2

21tC211x
2
C

4．解：


xx
1x
4
3
dx< br>
x
3
4
dx
1x

2
x
1x
4
dx

数学分析选讲课程论文



1

4
d(1x)
1x
4
4

1

2< br>1
2
dx
2

4
2
1x
1
4
21x
2
4
arcsinxC
4




2

f(sin
○
x)cosxdx
dx
cos
[2]
2
1
2
(arcsinx1x) C



f(sinx)dsinx
，

f(co sx)sinxdx

f(cosx)dcosx
，
f(tanx)dt anx
，

f(cotx)
dx
sin
x
2
2

f(tanx)
x

x
dx


f(cotx)dcotx
[2]
；
例1.

tanxdx
例3.

例5.

例2.

2
sin
1sinxcosx
1sin
d x
sinxcos
3
x
[1]
dx
[1]
例4.

x
dx

[1]
x
例6.

sinxcosx
sinxcosx
sinxcos
ta nx
2
44
4

dx
dx
[1]
x
x

例7.设
a,b
为常数，且
a0
，计算
I


a
[1]
2
sinxbcos
22

1.解：设
ucosx
，
dusinxdx
，
dusin xdx



tanxdx
2．解：

3．解：

x
sin
2

cosx
dx
sinx
dx

du
u
ln(u)Cln( cosx)C

x

xd(cot
dx
x)xco tx

cotxdx

d(cosx)
2

xcotxlnsinxC

1sinxcosx
1sin< br>2
x

2cos
dx
2
dx
2
x


2cos

1
22
x


12sin
d(sinx)
2
x




cos
1
x(2sec
2
x1)
l n
2cosx
2cosx
arctan(sinx)




22
ln
2cos x
2cosx
arctan(sinx)

12tan
1< br>2
dtanx
2
x


1
22
l n
2cosx
2cosx
arctan(sinx)arctan(2tan x)C

4.解：

dx
sinxcos
4
x< br>

sin
2
xcos
4
2
x
s inxcosx
dx

cos
sinx
4
x
dx 

sin
2
xcos
2
2
x
sinx cosx
dx


3

数学分析选讲课程论文





5.解：

dx
sinxcos
3
dcosx< br>cos
1
3
4
x



1
dcosx
cos
2
x


sinx


dx
3cosx
cosx
lncscxcotxC
x


tan

dx
xcos
2
4
x


sin
2
xcos
2
2
x
tan xcos
1
2
2
x
dtanx



1tanx
tanx
dtanx
tanxlntanxC

6.解：令
u2x
，再令
vcosu
，有


sinxcosx
sin
4
xcos
4
xdx
1

2
1
4
1
2
sin2x< br>cos2x
2
1
dx
2
1



2
dcosu
1
2

1
2
sin2x

4
sinu
cosu
1
2
dv
2
1
2
du
sin
2

u
 
cosu
1
2
2
cosu
2

1v

2


7 ．解：
I
arctanvCarctan(cos2x)C

< br>cos
1
2a
2
tanx
2
x(atan
2
22
xb)
22
2
dx

a
1
2
tanxdtanx
2
tan
2
xb
2





d(atan
atan
22
xb)
xb
2

2a
ln(atan22
xb)C

2
3

f(lnx)dx
○
x
1

[3]
f(lnx)dlnx
，
f(e
x
)e
x
dx

f(e)de
[2]
xx
；
例1.

例3.

例5.
dx
x(12lnx)
e
x
x
例2.

e
5x
dx

34e
dx
[2]
例4.

例6.

dx
x1ln
2
[2]

x
[ 1]
1e
x
x
dx
2
[1]
23
x< br>xx
(1e
2
)
94
dx
x

例7.


1.解：

xe
x
x
dx
[1]
e2
例8.

lntanx
cosxsinx
dx
[2]

dx
x(12lnx)


12lnx

4
dlnx

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
1
5
1
2

d(12lnx)
12 lnx
1
5
1
5

1
2
ln12lnx C

2.解 ：令
u5x
，
du5dx



e
5x
dx

edu
u
eC< br>u
e
5x
C

3.解：令
u34e
x
，
du4e
x
dx
，

< br>e
x
x
34e
dx
1

4u
1
du
1
4
x
lnuC



1
4
ln(34e)C
1
x
dx

4.解：令
ulnx
，
du


dx
x1ln
2

duarcsinuC


x

1
1u
2

arcsin(lnx)C

xx
2
x
5.解：

1e
x
x
dx
2

(1e
2< br>)2e
2
x
dxx2

e
2
x
dx
2

(1e
2
)
(1e
2
)< br>x
2
(1e
2
)

x4

d(e
2
1)
x

x4
x
C

(1e
2
)
2
1e< br>2
3
x
3
x
()d[()]
xx
231
22
6.解：

x

dx

dx 
x

3
2x
31
x2
94
()1l n[()]1
222
3
x
()1
1
ln
2C


3
x
2(ln3ln2)
()1
2


xe
x
x
1
2(ln3ln2)
xd(e2 )
e2
x
x
ln
32
32
x
xx< br>x
C

7.解：

dx
e2

2

xd(e2)

x

2xe
x
22

e
x
2dx


5

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令e
x
2t
2
,
e
x
2t
2< br>,
xln(2t
2
)
,
dx
2t
2 t
2
dt

原式
2xe
x
2

2t
2t
x
t
2
22
2t
2
dt
2xe24

2t
2
dt


2xe
x
24

(1 
2
2t
2
)dt

2xe
x
24t8
1t
2
arctan
2< br>C

x

2xe
x
24e
x
242arctan
e2
2
C
8.解：

lntanx
cosxsinx
dx

l ntanx
tanx
dtanx

lntanxd(lntanx)

(lntanx)
2


2
C


○
4

f(xn
)x
n1
dx
1
n
n

f(x )dx
n
(n0)
，

f(
1dx11
x
)
x
2


f(
x
)d(
x
)

f(x)
dx
x
2

f(x)d(x)；
例1.

e
3x
dx
[2]
例2.
x
3
dx
[4]
x

x
2

1
例3.

x1x
dx
[4]
例4.
dx
[1]
1x

x(lnxalnxb)

例5

1
2
3
(x1)
[1]
6.
dx
x
2
x
2
dx
例
(a0)
[1]

x(ax)
例7

arcsinx
dx
[1]

1x
1.解：
dx
1dx
2
x

e
3x


dx
2e
3x< br>dx
2

e
3x
d(3x)
2
e
3x
C

x

33
x
32
2.解：< br>
2
dx
1
dx
2

11
)d( 1x
2
)

1x
2

x
1x
2
2

(1x
2

1x
2

6
，

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
x1x
1x
1
3
3
(1x)
2< br>
2
1x
2
C

xdx
1x
2
2
3.解：

dx

x(1x)
1x2
dx

xdx
1x
2



对于右端第一个积分，凑微分得


x
1x
2
dx

(1x)
2

1
2
d(1x)

2
1xC

2
第二个积分中，用代换
xsint



x2
2
dx
1x

t
2
sin
2< br>t
cost

1
4
1
2
costdt
1cost
2
1
2
2
2
dt

1
2


原式

4.解：

1
2
sin2tCarcsinx
C
x1x
2
C

arcsinx(x2)1x

lnxb
dx
dx
x(lnxalnxb)
1
ab


lnxa
x(ab)
1
ab
3

lnxbd(lnxb)




2

lnxad(lnxa)
3

2
3(ab)
[(lnxa)
2
(lnxb)
2
]C

5.解：

1
x
2
3
(x1 )
x
2
dx


3
(1
11
2
)d()
xx

3
(1
1
x
)d( 1
2
1
x
)



dx
x(ax)
arcsin
1x
x
35
(1
1
5
5
)
3
C

x
a
6.解：


2

dx
2
 2arcsinC

a(x)
7.解：

dx
2

arcsinxd(1x)


21xarcsin

21xarcsin


7
x2

1x
1x
dx

x2xC

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5

f(arcsinx)
○
dx
1x
dx
1x
[3]< br>2
2


f(arcsinx)darcsinx


f(arctanx)

f(arctanx)darctanx
； < br>arctanx
dx
[4]
例1.

例3.

例5.

10
2arccosx
dx
1x
2
例2.

[1]

x(1x)
xdx
1arctan
x(1x)
x
dx
例4.

[1]
[1]
23

1x(arcsinx)< br>4
arcsinx
x
10
2

1x
2dx
2

10
2arccosx
1x
dx
2arccosx
2
1.解：

2.解：

1x

10

2arccosx
darccosx
2ln10C

arctanx
x(1x)
dx
2arctanx< br>1x
dx

2arctanxd(arctanx)


(arctan
3.解：

1arctan
x(1x)
x
dx
x)C
2

x
2

1arctan
x[1(x)]
dx

x1)

2

1arctanxd(arctan
3


xdx
1x(arcsinx)
423
4
3
( 1arctanx)
2
C
2
3

1
2
darcsinx
2
2
3
4．解：


1
2

1
4
dx
(arcsinx)
2
1x
4


(arcsinx)


(arcsinx
2
)
2
C

5．解：

arcsinx
1x
2
dx

arcsin xd(arcsinx)
1
2
(arcsinx)C

2
令
xsint
，


dx
x
22

1x

dsintsin
2
t1sin
2

t
1x
x

sin
2
dt
2
t


cottC

8
C

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

a rcsinx
x
2
1x
2
dx

arcsin xd(
1x
x
2
1x
x
2
)arcsi nx(
1x
x
2
)

dx
x



arcsinx
x
2
arcsinxlnxC





1x
2
2
d x
1x

(
1
2
arcsinx
1x
2
2

x
arcsinx
2
1x
1x
x
2
2
)dx




6复杂因式
○
x1
x1
1
1 x
2
arcsinxarcsinxlnxC

2
4
arctan
1
x
2
例1.

例3.

例 5.

dx
[4]
例2.

dx
[1]
1x
dx
[1]

2
ln
1x
1x
例4.

ln(x1x)
2
1x
1sinx
1cosx
d x
[1]

1cosx
sinx
dx
[1]
例6.

e
x
(
1
1
x
2
)d x
[1]

1.解：

x1
x1
4
2
d(x
dx
1
x
2
)
dx

x
2
1
x
2

1
x
(x
1
x

)2


1
x
1
2
x
arctan
2
C
12
arctan
x1
2x
2
C

2.解：
(arctan)'
1
1
2
1()
x
11< br>()'

2
x
1x
arctan

1
x
2

3.解：

(ln
< br>

1x
1x
1x
1
2
dx
(arctan
2
1x
1x
1x
2
1
x
)d(arctan
1
x
)
1
2
( arctan
1
x
)C
2

)'
ln

1
2
1x
dx
ln
1x
1x
d(ln
1x
1x
)
1
4
(ln
1x
1x
)C
2


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数学分析选讲课程论文
4.解：

dx
x1
2
ln(xx1)C

2
< br>

ln(x1x)
2
2
1x
dx

2
3
ln(x1x)d(ln(x
3
2
x1))

2

[ln(x1x)]
2
C
2

5.解：

1cosx
sinx
2cos
dx
x
2
x2
)
2lntan
dx
2
2

2sin< br>x
2
cos
x
4
x
4

dx
sin
x
2

d(tan

2

x
4
C

tan
x
6. 解：

e(
x
1sinx
1cosx
)dx

e(1sinx)(1cosx)
1cos
e
x
2
2
x
x
dx




sin
x
x
dx

ecosxsin
x
2
x
dx

sin
)
e
x
x
dx

ecotxdx


ecotxdx

x
x



ed(cotx)

ed(

ecotx

x
1
sinx

sin
e
x
x
dx
e
x
sinx
C

参考文献

[1]牟俊霖 等 2004年洞察考研数学（理工类）——名师授课听课笔记[M] 航空工业出版社，
2003.
[2]同济大学数学系 高等数学（第五版）[M] 高等教育出版社，2003.
[3]刘玉琏、傅沛仁 等 数学分析讲义（第五版）[M] 高等教育出版社，2008.
[4]李正元、李永乐、袁荫棠 2011年数学复习全书 数学一（理工类）[M] 国家行政学院出
版社，2010.


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