一生的爱-做人

.
____________________________________ __________________________________________________ ____
【第一换元法例题】
1、
(5x7)dx(5x7)dx(5 x7)d(5x7)

9

9

9
15
1
(5x7)
9
d(5x7)


5
1111


(5x7)
9
d(5x7)(5x 7)
10
C(5x7)
10
C

551050< br>1
【注】
(5x7)'5,d(5x7)5dx,dxd(5x7)< br>
5

lnx1
dxlnx

x
x
dx

lnxdlnx

11

lnxdlnx(lnx)
2
C(lnx)
2
C
< br>22
111
【注】
(lnx)',d(lnx)dx,dxd(ln x)

xxx
2、

3（1）
tanxdx
< br>sinxsinxdxdcosxdcosx
dx

cosx

cosx

cosx

cosx



dcosx
ln|cosx|Cln|cosx|C

co sx
【注】
(cosx)'sinx,d(cosx)sinxdx,sinxd xd(cosx)

3（2）
cotxdx

cosxcos xdxdsinx
dx

sinx

sinx

sinx



dsinx
ln|sinx|Cln|sinx|C

sinx
【注】
(sinx)'cosx,d(sinx)cosxdx,c osxdxd(sinx)


4（1）
111
dxdx< br>
ax

ax

ax
d(ax)

1


d(ax)ln|ax|Cln|ax|C

ax
【注】
(ax)'1,d(ax)dx,dxd(ax)
4（2）
111
dxdx

xa

xa

xa
d(xa)

1


d(xa)ln|xa|Cln|xa|C

xa
【注】
(xa)'1,d(xa)dx,dxd(xa)

.
4（3）
111

11
1

11

dxdxdxdxdx

< br>


x
2
a
2

x
2
a
2
2a



xaxa2axaxa



11xa
C


ln| xa|ln|xa|

Cln
2a2axa
secx(secx tanx)sec
2
xsecxtanx
dx

dx
5（1）

secxdx

secxtanxsecxtanx< br>d(tanxsecx)d(tanxsecx)


ln|secx tanx|C

secxtanxsecxtanx
1cosxcosxdx dsinx
5（2）

secxdx


dx

dx
222

cosxcosxcosx1sinx
< br>


dsinx1

11

1sinx 111sinx
dsinxlnClnC


1sin
2
x2


sinx1sinx1

2sin x121sinx
cscx(cscxcotx)csc
2
xcscxcot x
dx

dx
6（1）

cscxdx

cscxcotxcscxcotx


d(cotxcscx)d (cscxcotx)


ln|cscxcotx|C
cscxcotxcscxcotx
cscx(cscxcotx)csc
2
xcscxcotx
dx

dx
6（2）

cs cxdx

cscxcotxcscxcotx


7（1）
d(cotxcscx)d(cscxcotx)


ln|csc xcotx|C

cscxcotxcscxcotx
1
1x2

dx

dx
1x
2
arcsinx C

7（2）

1
a
2
x
2
dx

dx
a
2
x
2


d x

x

a1


a

2< br>


x

d


a


x

1


a

2



x

d


a

x

1


a

2
 arcsin
x
C

a
8（1）
1dx
dx< br>
1x
2

1x
2
arctanxC


x

x

d

d

1dxdx1

a


1

a


1
arctan
x
C
，
dx
8 （2）

2
（
a0
）

a
2
x
2



x

2

a


x

2
a


x

2
aax
2
a
1

1

a< br>2

1


a
a

a






9（1）
sinx cosxdxsinxcosxsinxdxsinxcosxdcosx


35

25

25

.
cos
8
xcos
6
x


(1cosx) cosxdcosx

(cosxcosx)dcosxC

86
2575
9（2）
sin
3
xcos
5
xd xsin
3
xcos
4
xcosxdxsin
3
xc os
4
xdsinx


sin
4
xsin
6
xsin
8
x


sinx(1sinx) dsinx

(sinx2sinxsinx)dsinxC

438
322357

dx1111
dxdlnx
xlnx

lnxx

lnx

lnxdlnxlnlnxC

dx11111
10（2）

 dxdlnxdlnxC

2222

xlnxlnxxlnxlnxlnx
10（1）

2xdx2xdxdx
2
d(x
2
1)

4


4


arctan(x
2
1)C
11（1）

422222
x2x2x2x2x2x 21(x1)
xdx12xdx1dx
2
1d(x
2
1)< br>

4


4


11（2）
4

22222
x2x52x2x52x2x524( x1)

x
2
1

d

2

1d(x
2
1)11x
2
1






arctan()C

22
22
8442

x1

x1

1

1

2

2


12、sinx11
dxsinxdx2sinxdx2

sinxd x


x

x2x

2sinxdx2cosxC2cosxC



13、
edx

2x
1
2x
1
2x
1< br>2x
ed2xed2xeC

2

2

2

sin
4
x
C
14、

sinxcosxd x

sinxcosxdx

sinxdsinx
sinxdsinx
4
3333

15、
(2x5)
100
11
dx


(2x5)
100< br>dx

(2x5)
100
d(2x5)

(2x5)
100
d(2x5)

22

.
1111


(2x5)
100
d(2x5)( 2x5)
101
C(2x5)
101
C

22101202

16、
xsinxdxsinxxdx

2

2
111
2222
sinxdxsinxdx cosx
2
C


222

17、
lnxlnx1lnx(1lnx)1
dxdxdlnx

x1ln x

1lnx
x

1lnx

1lnxdlnx



1lnxdlnx




1
dlnx
1lnx
1
1lnxd(1l nx)

d(1lnx)

1lnx
31
2
(1lnx)
2
2(1lnx)
2
C
3
e
arctanx
1
arctanxarctanxarctanxarctan x
dxedxedarctanxedarctanxeC
18、

22

1x1x
19、

x
1x2
1
dx

1
1x
2
xdx

1
21x
2
dx
2


1
21x
2
d(1x
2
)




20、

21x
2
d(1x
2
)1x
2
C


sinx
cosx
3
dx< br>
1
cosx
3
sinxdx

1
c osx
3
dcosx


cos

3
2
xdcosx2cos

1
2
xC

ex
111
xxxx
dxedxded(2e)ln(2e)C
21、

xxxx

2e2e2e2e
< br>ln
2
x1ln
3
x
222
dx

lnxdx

lnxdlnx

lnxdlnxC
22、

xx3

.
23、

dx
12xx
2


dx
2(1x)
2< br>

d(1x)
2(1x)
2


d (1x)
(2)
2
(1x)
2
arcsin
1x
C

2

11
d(x)d(x)
dxdx< br>2

2
24、

2





1
2
71
2
7
xx2
17(x)(x)
(x)
2
()
2
2424
2 2
11
d(x)x
2
22
C
2
arcta n
2x1
C



arctan
17777 7
(x)
2
()
2
222

25、计算

sinxcosx
a
2
sin
2
xb
2cos
2
x
222
dx
，
a
2
b< br>2

22222
【分析】因为：
(asinxbcosx)'a2 sinxcosxb2cosx(sinx)2(ab)sinxcosx

所以：
d(asinxbcosx)2(ab)sinxcosxdx


sinxcosxdx
222222
1
2222
d(asinx bcosx)

22
2(ab)
【解答】

sinxc osx
asinxbcosx
2222
dx

1d(a
2
sin
2
xb
2
cos
2
x)

22

22222222
asinxbcosx
ab2asinxbcosx
sinxcosxdx
1d(a
2
sin2
xb
2
cos
2
x)1

< br>2
a
2
sin
2
xb
2
cos
2
xC

2

22
ab
2a
2
sin
2
xb
2
cos
2
x
ab

.


【不定积分的第二类换元法】
已知

f(t)dtF(t)C


求
g(x)dxg(

(t))d

(t)g(

(t) )

'(t)dt
【做变换，令
x

(t)
，再求微分】




f(t)dtF(t)C
【求积分】
F(

1
(x))C
【变量还原，
t

1
(x)
】
__________ __________________________________________________ ______________________________
【第二换元法例题】
令 xt
sinxsint
2
sint
dxdt

2tdt

2sintdt
1、

2
x t
tt
x
2costC2cosxC

tx
变量还原

令xt
111t1

2dxdt

2tdt2

dt2


1dt


2（1）

2
xt< br>1t1t1t
1x

1t



2

tln|1t|

C2
tx
变量还原

xln|1x|C


令1+xt111t1

1

2
dxd(t1)

2(t1)dt2

dt2


1< br>
dt
2（2）

2
x(t1)
ttt1x

t

2

tln|t|

C21xln|1x|C

t1x
变量还原


3
4
111
3 4332
1xdxtd(t1)t4(t1)3tdt

32

34
34
x(t1)
(t1)
x< br>(t1)
3
3、

令1xt
4

.
33
44
74

(1x)(1x)

tt
63

C

12


12(t t)dt12



C


3

4

74
t1x

74

74
变量还原

4、

令xt
1111
2
dxdt2tdt2dt

222
 
2
xt
t(1t)t(1t)1t
x(1x)
2ar ctantC2arctanxC

tx
令et
11 111

11

dxdlntdtdt
5、




dt

x

xlnt
1e1t1ttt(1t)

t1t

x变量还原
变量还原
te
x


ln|
t< br>|

ln|1
t
|
C
ln
C 
ln
C

te
x
1t1e
x

令xt
dx11t< br>2
1

65
6、

dt6 tdt6dt61dt

3

232322

 
6
xt
(1t)t(1t)t1t
(1x)x

1t

变量还原
tx
6
6(xarctan

6(tarctant)C
6
【注】被积函数中出现了两个根式
m
66
x)C

k
x,
n
x时，可令
xt
，其中
k
为
m,n
的最小公倍数。 < br>
t
2

dxt
2
3

dt3

tln|1t|C


3
7（1）< br>
3
1t
1x2
xt2

2
< br>令x2t
3

3
(x2)
2
3
3
3

x2ln|1x2|C


6


2
tx

变量还原
2
t
2
11x
2dt2t2ln|t1|ln| t1|C

dx

2

7（2）

1
t1
x
2
xx
t1
令
1x
t< br>x
1x1x1x
22ln|1|ln|1|C

1x
xxx
t
变量还原
x

.
n
【注】被积函数中含有简单根式

n
axb
或
axb
cxd
时，可令这个简单根式为
t
，即可消去根式。
dx
8(1)

8
x(1 x
2
)
1
dt
2
t
8
1
642
t






dt ttt1dt


22


1
1
1

1

1

1t1t
x

t
11

t
8

t
2

t
8

t
2

1
令 t
x
d
1
t

变量还原
t
7
t
5
t
3
11111
tarctantC
7

5

3
arctanC

1< br>7537x5x3xxx
t
x
11
1ln1ln
1l nx111lnt
tt
dx

d

2
dt

dt

222
2
8（2）

1
(xlnx)tt
x
1

1


1tlnt


1

1
t
lnl n

t

t

t

t
1
令t
x



1

1tlnt

(1lnt)dt

2
1

1tln t

d(1tlnt)
2
1
C
1tlnt

1x
CC
1
11
xlnx
t1ln
x
xx
变量还原
【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试 一试倒变换。

2t2t
1
22
1sinxt2dt
1t1t
dxd2arctan
9、

1t
2
1t
2
1t
2
sinx(1cosx)
x2a rctant

2t
2

2t
(1)(1)
2 222
1t1t1t1t
x
令tant
2
1

1

1

t
2
1



t2

dttln|t|C
2

t

42
2
x

变量还原
tan

x1x< br>2
tanln|tan|C
1
4222
t
x
【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。

.

令xasint，|t|

2
10（1）

axdx

a
2
a
2
sin
2
tdasinta
2

cos
2
tdt

tarcsin
x
a
22

d x
a
2
x
2
2
令xasint，|t|
x< br>a

2


tarcsin
x


dttCarcsinC

x
a
tarcsin
a
2
a
2
sin
2
t
a
变量还原
dasint
1cos2ta
2
a
2

sin2t

a

dt

(1cos2 t)dt

t

C
222

2
< br>a
2
x1
arcsinxa
2
x
2
C
x
2a2
tarcsin
变量还原
a
< br>10（2）

dx
ax
22
令xatant，|t|< br>x
a


tarctan

2
datant
aatant
222


sectdtln|s ecttant|C

xa
2
x
2
|Cln|x a
2
x
2
|C

ln| 
x
aa
tarctan
变量还原
a
因为：
(x ax)'2ax
2222
a
2
ax
2
22
所以：
(xax)'dx2axdx

22
2

a
2
ax
22
dx

即：

1

1
axdx


(xa2
x
2
)'dxa
2

2

a< br>2
x
2
22


dx


2
1a
2222
xaxln|xax|C

22
10（3）

dx
xa
22
令xasec t，0t


2

dasect
asec ta
222


sectdtln|secttant|C

xx
2
a
2
|Cln|xx
2
a
2
|C

ln|
xasect
aa
变量还原

因 为：
(xxa)'2xa
2222
a
2
xa
2
22

所以：
(xxa)'dx2xadx

2 2

2

a
2
xa
22
dx

.
即：

1

1
xad x


(xx
2
a
2
)'dxa
2

2

x
2
a
2
22

dx


2
1a
2222
xxaln|xxa|C

22
【注】当被积函数中出现
a
2
x
2
,a2
x
2
,x
2
a
2
因子时，可以用三角变 换，化为三角函数的积分问题。
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【附加】【应用题】
已知生产
x
单位的某种产品，边 际单位成本是
C'(x)(
102，又知边际收益为
R'(x)120.1x< br>，且
R(0)0
，
求：（1）利润函数
L(x)
；
（2）利润最大时的产量；
（3）利润最大时的平均价格。

【解答】
C(x)100
)'
2
，产量为 1 个单位时，成本为
xx

.
C(x)100
)'
2

xx
100100
所以：
C(x)C
1
，由
C
1
(1)102
得：
C
1
2
，


C(x)2
，


C(x)1002x

xx
（1）因为：
C'(x)(
又已知：
R'(x)120.1x
，
R(0)0
，


R(x)12x0.05x

2
于是：
L(x)R(x)C(x)10x0.05x100

（2）令
L'(x)100.1x0
得：
x100

因为 ：
L'(100)0,L0
，所以当
x100
时利润最大，
L
max
(100)400

（3）利润最大时的平均价格为：
P
2
R(100)700
7

100100