国际金融论文-包身工

高中数学换元法解题案例及练习题

解数学题时，把某个式子看成 一个整体，用一个变量去代替它，
从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造< br>元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至
新对象的知识背景中去研究， 从而使非标准型问题标准化、复杂问题
简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量 代换法。通过引进新的变量，可以
把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联< br>系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式 、化无理式为有理式、化超
越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有
广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又
称整体换元，是 在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个
字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形 才能发现。例如
解不等式：4
x
＋2
x
－2≥0，先变形为设2x
＝t（t>0），而变为熟悉的
一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角 换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利
用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行 换元。如求函数y＝
＋
1x
的值域时，易发现
x
x∈[0,1]， 设x＝sin
2
α ，α∈[0,]，问

2
题变成了熟悉的求三角 函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应
该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适 合条件x
2
＋

y
2
＝r
2
（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问
题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵 循有利于运算、有利于标准化的原则，
换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变 量
的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x
2
＋1)＝log
a
(4－x
4
) （a>1），则f(x)的值域是
_______________。
3.已知数列{an
}中，a
1
＝－1，a
n1
·a
n
＝a< br>n1
－a
n
，则数列通项a
n
＝
________ ___。
4.设实数x、y满足x
2
＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
13
x
5.方程
13
xS
2
S
2

2
＝3的解是_____________ __。
x
6.不等式log
2
(2
_______________。
－1) ·log
2
(2
x1
－2)〈2的解集是
【简解 】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－
对称轴t＝－1，当t＝
2
，y
max
＝
2
,
2
]，则
t
2
y＝
2
＋t－，
1
2
1
＋
2
；
2
2小题：设x
2
＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log
a< br>[-(t-1)
2
＋4]，所以
值域为(－∞,log
a
4] ；

3小题：已知变形为
1
a
n1< br>－
1
a
n
＝－1,设b
n
＝
1
n< br>1
a
n
，则b
1
＝－1,b
n
＝－1
＋(n－1)(-1)＝－n，所以a
n
＝－；
4小题：设x＋y＝k，则x
2
－2kx＋1＝0, △＝4k
2
－4≥0,所以k≥1
或k≤－1；
5小题：设3＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得
x2
1
y＝，所以
3
x＝－1；
6 小题：设log
2
(2
x
－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2∈(log
2
,log
2
3)。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x
2
－5xy＋4y
2
＝5 （ ①式） ，设S＝x
2
＋
y
2
，求
1
S
max
54
＋
1
S
min
的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x
2
＋y
2
联想到cos
2
α＋ sin
2
α＝1,于是进行三角换


xScosα
元， 设

代入①式求


ySsinα
S
max和S
min
的值。


xScosα
【解】设

代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5

ySsinα

解得 S＝
10
；
85sin2α
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
10

3
10
10
≤
13
85sin

≤
∴
1
S
max
＋
1
S
min
＝
8
31316
＋＝＝
5
101010
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝
8S10
的有界
S
8S10
性而求，即解不等式：||≤1。这种方法 是求函数值域时经常用
S
到的“有界法”。

【另解】 由S＝x
2
＋y
2
，设x
2
＝＋t，y
2
＝－t，t∈[－，]，
则xy＝±
S
2
－t
2
4
S
2
S
2
S
2
S
2
代入①式得：4S±5
S
2
－t
2
4
=5，
移项平方整理得 100t
2
+39S
2
－160S＋100＝0 。
∴ 39S
2
－160S＋100≤0 解得：
∴
1
S
max
1010
≤S≤

133
＋< br>1
S
min
＝
8
31316
＋＝＝

5
101010
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x
2
＋y
2
与三角公式cos
2
α＋sin2
α＝1的联系而联想和发现用三
角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解 法属于“均
值换元法”，主要是由等式S＝x
2
＋y
2
而按照均值换 元的思路，设x
2
＝
S
2
＋t、y
2
＝
S
－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到
2
了求值域的几种方法：有界 法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变< br>量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换
元后有可能简化代数式 。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得
3a
2
＋13b
2
＝5 ，求得a
2
∈[0,]，所以S＝(a－b)
2
＋(a＋b)2
＝2(a
2
＋b
2
)＝＋

例2． △AB C的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，
－
2
，求
cosB
5
3
10
13
1
20
2
1010
a∈[,] ，再求
S
max
13133
＋
1
S
min
的值。
1
1
＋＝
cosA
cosC
cos
AC
的值。（96
2
年全国理）

【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性
质，可得


AC120°

B＝60°
；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设cosα即cos
AC
。
2

AC120°

B＝60°

A＝60°α
，再代入可求

C＝60° －α

【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得

由
,

A＝60°α
A＋C＝120°，设

，代入已知等式得： < br>C＝60°－α

1
1
1
＋＝
cos(60
)
cosA
cosC
＋
1
cos(60

)
＝
1
13
cos

sin

22
＋
1
13
cos

sin

22
＝
cos

13
cos
2

sin2

44
＝
cos

3
cos
2

4
＝－2
2
,
解得：cosα＝
2
2
， 即：cos
AC
2
＝
2
2
。
1
1＋
cosA
cosC
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60° 。所以
＝－
2

cosB
＝－2
1
1
2< br>，设＝－
2
＋m，＝－
2
－m ，
cosA
cosC
11
，cosC＝，两式分别相加、相减得：
 2m2m
所以cosA＝
cosA＋cosC＝2cos
AC
2cos
AC
2
＝cos
AC
2
＝
22，
m
2
2
cosA－cosC＝－2sin
即：sinAC
2
AC
2
sin
AC
2
＝－
3
sin
AC
2
＝
2m
，
2
m2
＝－
22
2m
，＝－，代入
m
2
2
3( m
2
2)
sin
2
AC
2
AC
2< br>＋cos
2
＝
AC
2
＝
。 1整理得：3m
4
－16m－12＝0,解出m
2
＝6，代入cos

222
＝
2
m
2
2

【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
1
1
＋＝－2
2
”
cosA
cosC
分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式 进行运算，
除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如
未想到进行均值 换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A
＋C＝120°，B＝60°。所以
＋ cosC＝－2
2cos
2
2
1
1
＋＝－＝－2
2
cosB
cosA
cosC
，即cosA
2
cosAcos C，和积互化得：
AC
2
cos
AC
2
2
2
＝－
－
2
2
[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos2
AC
2
＝
2
2
－
＋cos(A-C)＝< br>AC
2
(2cos
2
AC
2
－1)，整理得：4 cos
2
AC
2
2cos－3
2
＝0,
解得：cos
AC
2
＝
2
2

例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－
sinx·cosx－2a
2
的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-
2
,
2
]，
y
, ,
－
x
2
由(sinx＋co sx)
2
＝1＋2sinx·cosx得：
t
2
1
sin x·cosx＝

2

2

1
∴ f(x)＝g(t)＝－
2
(t－2a)
2
1
＋
2
（a>0），t∈[-
1
2
2
,
2
]
t＝-2
时，取最小值：－2a
2
－2
2
a－

1< br>2
当2a≥
2
时，t＝
2
，取最大值：－2a
2＋2
2
a－
2
时，t＝2a，取最大值：
；
当0<2a≤
1
2
。

∴ f(x)的最小值为－2a

12
(0a)


22
。

12

2
2a22a(a)< br>
22

2
－2
2
a－
1
2
，最大值为
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋
c osx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次
函数在闭区间上的值域问题 ，使得容易求解。换元过程中一定要注意
新的参数的范围（t∈[-
2
,
2< br>]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学 思想方法，即由对称
轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到 题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积
等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函 数为f(sinx±cosx，
sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的 二次函
数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x
2
lo g
2
log
2
(a1)
2
4a
2
4(a 1)
2a
＋2x log
2
＋
a
a1
>0恒成 立，求a的取值范围。（87年全国理）
4(a1)
(a1)
2
2a
、 log
2
、l og
2
4a
2
a
a1
【分析】不等式中log
2
三项有何联
系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设lo g
2
3－log
2
2a
＝t，则
a1
log2
4(a1)
8(a1)a1
＝log
2
＝3＋log< br>2
＝
a
2a2a
a1
＝－2t，
2a
( a1)
2
2a
＝3－t，log
2
4a
2
a1
＝2log
2

代入后原不等式简化为（3－t） x
2
＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成
立，所以：

3t0

t3
，解得

∴ t<0

2
t0或t6
4t8t(3t)0

< br>即log
2
2a
<0
a1
0<
2a
<1，解得
a1
0 【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什
么会想到换元及如何设元，关键是发现 已知不等式中log
2
log
2
(a1)
2
2a
、log
2
4a
2
a1
4(a1)
、
a三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，
使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十 分熟练。一般地，
解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可
能要对所 给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，
这是我们思考解法时要注意的一点。
例
sinθ
cos
2
θ
cosθ
5. 已知＝，且
2
x
x
y
x
10
sin
2
θ＋
2
＝
22
(②式)，求
y
3(xy)
y
的值。
【解】 设
22< br>sinθ
cosθ
＝＝k，则
x
y
22
sinθ＝k x，cosθ＝ky，且sin
2
θ
k
2
x
2
＋< br>2
y
10k
2
10
＝
22
＝
33(xy)
＋cosθ＝k(x+y
即：
设
y
2
x< br>2
k
2
y
2
)＝1,代入②式得：
2
x

＋
x
2
y
2
＝

1
t
1
3
10
3
x
2
y
2
＝t，则t＋＝
10
, 解得：t＝3或 ∴＝±
3
x
y
3
或±
3
3

【另解】 由
x
y
sinθ
＝
c osθ
cos
2
θ
＝tgθ，将等式②两边同时除以
2
x< br>，再表
tg
2
θ示成含tgθ的式子：1＋tg
4
θ＝
(1tg
2

)
10
3(1
1
)
tg
2

＝
10
tg
2
θ，设
3
＝t，则3t
2
—10t＋3＝0，
∴t＝3或， 解得＝±
1
3
x
y
3
或±
3
。
3
sinθ
cosθ
【注】 第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减
x
y
少了变量的个数。第二种解法将已知变形为＝
x
y
si nθ
cosθ
，不难发现进行
结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变 形比较熟练。
在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y
k的范围。
(x1)
2
【分析】由已知条件
9
(y1)
2
＋
16
(x1)
2
满足
9
(y1)
2
＋
16
＝1，若x＋y－k>0恒成立，求
＝1，可 以发现它与a
2
＋b
2
＝1
有相似之处，于是实施三角换元。 (x1)
2
【解】由
9
(y1)
2
＋
16
＝1，设
x1
y1
＝cosθ，＝sinθ，
3
4< br>即：


x13cosθ

y14sinθ
代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三

< br>角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、
双曲线的方程相似的代数式 时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关
问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题 思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐
标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示
的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成
两部分中含x轴正方向的一部分。此题
不 等式恒成立问题化为图形问题：椭圆
上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区
域。即当直线x ＋y－k＝0在与椭圆下部
相切的切线之下时。当直线与椭圆相切

16(x1)< br>2
9(y1)
2
144
时，方程组

有相等的

xyk0
y

x


x
＋y－k>0
k
一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝
平面区域
－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x
3
)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B.
1
lg2 C.
2
lg2 D.
2
lg4
3

33
2. 函数y＝(x＋1)
4
＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数 列{a
n
}的公差d＝
1
，且S
100
＝145，则a1
＋a
3
＋a
5
＋……
2
＋a
99< br>的值为_____。

A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x
2
＋4y
2
＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则
2
a
1
2
＋
b< br>1
2
的范围是____________。
6. 不等式
x
>ax＋
3
的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
7. 函数y＝2x＋
x1
的值域是________________。
8. 在等比数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋…＋ a
10
＝2，a
11
＋a
12
＋…＋a
30
＝12，
求a
31
＋a
32
＋…＋a
60
。
9. 实数m在什么范围内取值，对任意
实数x，不等式sin
2
x＋2mc osx＋
4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A
y
X D C
O A B x
点在曲线x
2
＋y
2
＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x
轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。